5对数函数与指数函数的导数精品PPT课件

1 x2 x 2 1 x2
1
.
1 x2
x 1 x2 (4) y ln
x
解:函数的定义域为 (0,), y ln( x 1 x2 ) ln x.
y
1
( x 1 x2 ) 1
x 1 x2
x
1
[1 1 1 (1 x2 )] 1
x 1 x2
2 1 x2
x
1
(1 2x ) 1 1 1 .
e2t (2t ) sin(t ) e2t cos(t ) (t )
2e 2t sin(t ) e 2t cos(t ).
故当t=1/2时,质点运动速度v0为:
v0
s
|
t
1
2
1
[2
sin(
e
2
)
cos( 2
)].
例5:求曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程.
二、新课: 指、对函数的导数：
1.对数函数的导数:
(1) (ln x) 1 .
x
1
下面给出公式的证明,中间用到重要极限 lim(1 x) x e.
x0
证: y f ( x) ln x,
y ln( x x) ln x ln x x ln(1 x );
x
x
y
1
ln(1 x ) 1
x
ln(1
x )
1
ln(1
x
)
x x
,
x x
x x x
xx
x
y
lim
y
1
lim
ln(1
x
)
x x
1
ln[ lim (1
x
)
x x
]
x0 x x x0
x
x x0
x
1 ln e 1 .
x
x
(2)
(loga
x)
1 x
log a
e.
证:利用对数的换底公式即得:
(loga
x)
( ln x ) ln a
(3) y 1 . 2x 1 ln x
(4) y sin x cos(ln x) cos x ln x. x
例4:设一质点的运动规律为 s e2t sin(t ), , 为
常数,试求t=1/2时质点运动的速度v0.
解: v st (e2t ) sin(t ) e2t [sin(t )]
x 1 x2
x lg e
x2
. 1
y
1 lg e 21 x2
2
(1 x2 )
x lg e x2 1.
(3) y 2e2x cos 3x e2x (3sin 3x) e2x (2cos 3x 3sin 3x).
(4) y a5x ln a (5 x) 5a5x ln a.
例2:求下列函数的导数:
解:设y=au,u=cosv,v=1/x,则:
y
(a u )u
uv
vx
cos 1
ax
ln a ( sin
1 )( x
1 x2
)
ln a x2
sin
1 x
cos 1
a x.
(3) y ln( 1 x2 x)
解: y 1 ( 1 x2 x) 1 (1 1 2x 1)
1 x2 x
1 ln a
1 x
log a x
e
.
2.指数函数的导数:
(1) (e x ) e x .
(2) (a x ) a x ln a(a 0, a 1).
由于以上两个公式的证明,需要用到反函数的求导法则,这 已经超出了目前我们的学习范围,因此在这里我们不加以证明, 直接拿来使用.
三、例题选讲：
例1:求下列函数的导数:
e2 x e2 x (1) y e x e x ;
解:
y
(ex ex )2 2 ex ex
ex
ex
ex
2 ex
; (ex
ex )
ex
ex;
y
e
x
ex
(e
x
2 ex
)2
(e x
ex
)
ex
ex
2e x (1 e2x (1 e2x )2
)
.
cos 1
(2) y a x (a 0, a 1)
解:设该y切线x与 ln曲x线相x切(ln的x切) 点 为ln(xx0,x0xlnx01). ln x 1. x
故曲线在点(x0,x0lnx0)处的切线斜率为lnx0+1. 由已知可得:lnx0+1=1,即x0=1,故切点为(1,0). 所以所求切线方程为y-0=x-1,即x-y-1=0.
练习2:分别求曲线①y=logxe; ② y e xe ln x 在点(e,1)处
(1)y=ln(2x2+3x+1) (2)y=lg 1 x2
(3)y=e2xcos3x
(4)y=a5x
解:(1)
y
2x2
1 3
x
1
(2x2
3
x
1)
4x 2x2
3 3x
1
.
(2)法1: (2)法2:
y lg e ( 1 x2 ) lg e
lg(1
x
x
2
2
);
x 1 x2
2 1 x2 x 1 x2 x
例3:已知f(x)为可导函数,试求下列函数的导数: (1)y=f(lnx); (2)y=f(e x2 ); (3)y=f(ex)e f ( x) .
解:(1) y [ f (ln x)] f (ln x) (ln x) 1 f (ln x). x
解此类题应注意: (1)分清是由哪些函数复合而成的. (2)用逐步的方法来进行求导.
练习1:求下列函数的导数:
1
(1) y 2 x ; (2) y 2log3 x (3) y 1 ln x
(4) y sin(ln x) sin x ln x
答案:
(1)
y
ln 2 x2
2
1
x.
(2) y 2log3 x ln 2 . x ln 3
(2) y [ f (e x2 )] f (e x2 ) (e x2 ) f (e x2 ) (e x2 ) ( x2 ) 2xex2 f (ex2 ).
(3) y [ f (e x )]e f ( x) f (e x ) [e f ( x) ] f (e x ) e x e f ( x) f (e x ) e f (x) f ( x) e [ f (x) f (e x )e x f (e x ) f ( x)].
对数函数与指数函数的导数
一、复习与引入：
1. 函数的导数的定义与几何意义. 2.常见函数的导数公式.
3.导数的四则运算法则.
4.复合函数的导数公式.
5.由前面几节课的知识,我们已经掌握了初等函数中的 幂函数、三角函数的导数,但还缺少指数函数、对数 函数的导数,而这就是我们今天要新学的内容.
有了指数函数、对数函数的导数,也就解决了初等函数的可导 性.结合前一章节的知识,我们可知,初等函数在其定义域内都是 连续而且可导.