8_4 定积分在经济问题中的应用举例
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例 设某产品生产Q 个单位，边际收益 R 为 Q R 20 (Q 0). 10 (1)求生产40个单位产品时的总收益,平均收益.
(2)求从生产40个单位产品到60个单位产品时的总收益.
解
Q Q (1) R (20 )dQ 20Q 720 0 20 0 10 40 Q R (20 )dQ / 40 720 / 40 18 0 10
0 0 x x
200 0.0Fra Baidu bibliotek x 2 2 x
(2) L( x) R( x) C ( x) 18 x (200 0.02 x 2 2 x)
由 L( x) 0.04 x 16 0 得 x 400
又 L( x) 0.04 0, 故 L(400) 3000 为极大值， 从而为最大利润。
rt
P(t )e rt dt
T
0
P(t )e rt dt
计算将来值时，P(t)dt 在 T-t 年获得利息,
从而在 [t ,t + dt] 内, 收益流的将来值 [ P(t )dt ]e
r (T t )
P(t )e
r (T t )
dt
总的将来值
T
0
P(t )er (T t ) dt erT 总现值
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解 C (6) C (4) C( x)dx (2 x 40)dx 100(万元)
6 4
x
6
4
2.某公司按利率10%(连续复利)贷款100万元购买某 设备使用10年后报废，公司每年收入b万元. (1)b为 多少时，公司不会亏本？(2) 当b=20万元时，求内部 利率；(3)当b=20万元时，求收益的资本价值. 解：(1)10年共收入
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第四节
第八章
定积分在经济问题中的应用举例
一、由边际函数求总量函数 二 、收益流的现值和将来值
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定积分在经济生活中的应用研究性课题，是适应
社会主义市场经济形势的要求，数学介入经济学使得 经济理论更加清晰、严密与完整，使经济学成为社会
科学中最“科学”的学科。从1969年至1990年共有27
rt
P(t )e rt dt
T
0
P(t )e rt dt
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若有一笔收益流的收益流量为 P(t) (元/年）, 考虑从现在开始 t =0 到 t = T年后这一时间段的将来 值和现值.（以连续复利率 r 计息）
收益现值 [ P(t )dt ]e 总现值
b a
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b
dQ (1)若已知某产品总产量Q 的变化率为 f (t ),则从时 dt 间 t a 到 t b (a b )该产品的总产量 Q f (t )dt .
a b
(2)设某产品总产量Q,若已知该产品成本对产量的变化 率为f (Q ),则产量从 a 到 b 总成本为 C f (Q )dQ.
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思考与练习
1. 投产某产品的固定成本为36万元，且成本对产量 x 的变化率(边际成本)为 C( x) 2 x 40(万元/百台), 试求产量由4(百台)增至6(百台)时的总成本的增值， 及产量为多少时，可使平均成本达到最低？
C ( x) 0 (2 x 40)dx C (0) C ( x) x x x 2 40 x +36 x 36 40 = x x 36 C ( x) 0 x 6, 而C ( x) 3 0， 所以6百台为最低点. x
若 t 年后要得到 B 元人民币，则现在需 要存入银行多少金额（现值）
P Be
rt
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收益流 收益若是连续地获得，则收益可被看 作是一种随时间连续变化的收益流. 收益流量 收益流对时间的变化率.记为P(t). 将收益流存入银行并加上利
收益流的将来值 息之后的存款值.
收益流的现值 收益流的现值是这样一笔款项， 若将它存入银行，将来从收益流中获得的总收益， 与包括利息在内的银行存款值有相同的价值.
x x 0
u( x) u(t ) dt u(0)
经济应用函数 u(x) 常为需求函数、生产函数、 成本函数、收益函数等. 在经济管理中，可以利用 边际函数 u′(x), 求出总量函数 u(x) 或u(x) 在区间
[ a, b] 上的改变量 u(b) u(a) u( x) a u( x)dx.
例
某企业一项为期10年的投资需购置成本80万
元，每年的收益流量为10万元，求内部利率 （ 注：内部利率是使收益价值等于成本的利率）. 解 80 10e t dt
0 10
[
10
e t ]10 0
10 （ e 10 ） 1
0.04
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内容小结
1.由边际函数求总量函数
u( x) u(t )dt u(0)
0 x
u(b) u(a) u( x) a u( x)dx
b a
b
2.收益流为 P(t)的从t =0 到 t = T年后现值和将来值
P(t )e rt dt 总现值
0
T
总的将来值
T
0
P(t )er (T t ) dt e rT总现值
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例
假设以年连续复利率 0.1 计息 ,求收益流量
为100元/年的收益流在20年内的现值和将来值.
P(t )e dt 100e0.1t dt 解 现值 0 0
rt
T
20
1000(1 e2 )
864.66(元)
将来值 0 P(t )e
be0.1(10t ) dt 10b(e 1) 0 10e b 0.110 贷款本息和 100e e 1
10
(2) 100
0
10
0
20e
t
e10 (1 5 ) 1 dt
(3) W 20e
10
0.1t
200 dt 100 100 e
T r (T t )
dt 100e0.1(20t ) dt
0
20
1000e 2 (1 e2 )
6389.06(元)
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例
设有一项计划现在需要投入1000万元，在10年
中每年收益为200万元，若连续利率为5%，求资本价
值W（设购置的设备10年后完全失去价值）. 解
40
2 40
Q Q (2) R (20 )dQ 20Q 300 40 20 40 10
60
2
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60
二 、收益流的现值和将来值
若以连续复利 r 计息，一笔 P 元人民币从 现在存入银行，t 年后的价值（将来值）
B Pe
rt
位经济学家获得诺贝尔经济奖，其中有14位是因为提 出数学方法应用于经济分析中才获此殊荣，其他人也 部分地应用了数学，纯作文字分析的几乎没有。
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一、由边际函数求总量函数
设经济应用函数 u(x) 的边际函数为 u( x), 则有
所以，
x
0
u( x)dx u( x) 0 u( x) u(0)
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若有一笔收益流的收益流量为 P(t) (元/年）, 考虑从现在开始 t =0 到 t = T年后这一时间段的将来 值和现值.（以连续复利率 r 计息）
分析 在区间 [0,T]内任取一小区间 [t ,t + dt], 在[t ,t + dt]内所获得的金额近似为 P(t)dt ， 从 t =0 开始, P(t)dt 这一金额是在 t 年后的 将来获得的,因此在[t ,t + dt]内， 收益现值 [ P(t )dt ]e 总现值
a b
(3)若某商品收益的变化率 f (Q ) 为已知时,则销售 N 个单 位的商品的总收益为R f (Q )dQ.
0 N
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例. 设生产某种商品每天的固定成本为200元，边际成
本函数 C( x) 0.04 x 2 (元/ 单位)，求总成本函数C(x). 如果商品的单价为18元，且产品供不应求，求总利润 函数L(x)，并决策每天生产多少单位可获得最大利润. 解 (1) C ( x) C (0) C(t )dt 200 (0.04t 2)dt
资本价值=收益流的现值-投入资金的现值
P(t )e rt dt 1000 W 0
200e0.05t dt 1000
0 10
T
200 0.05t 10 [ e ]0 1000 0.05 4000(1 e0.5 ) 1000
573.88(万元)
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例 设某产品生产Q 个单位，边际收益 R 为 Q R 20 (Q 0). 10 (1)求生产40个单位产品时的总收益,平均收益.
(2)求从生产40个单位产品到60个单位产品时的总收益.
解
Q Q (1) R (20 )dQ 20Q 720 0 20 0 10 40 Q R (20 )dQ / 40 720 / 40 18 0 10
0 0 x x
200 0.0Fra Baidu bibliotek x 2 2 x
(2) L( x) R( x) C ( x) 18 x (200 0.02 x 2 2 x)
由 L( x) 0.04 x 16 0 得 x 400
又 L( x) 0.04 0, 故 L(400) 3000 为极大值， 从而为最大利润。
rt
P(t )e rt dt
T
0
P(t )e rt dt
计算将来值时，P(t)dt 在 T-t 年获得利息,
从而在 [t ,t + dt] 内, 收益流的将来值 [ P(t )dt ]e
r (T t )
P(t )e
r (T t )
dt
总的将来值
T
0
P(t )er (T t ) dt erT 总现值
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解 C (6) C (4) C( x)dx (2 x 40)dx 100(万元)
6 4
x
6
4
2.某公司按利率10%(连续复利)贷款100万元购买某 设备使用10年后报废，公司每年收入b万元. (1)b为 多少时，公司不会亏本？(2) 当b=20万元时，求内部 利率；(3)当b=20万元时，求收益的资本价值. 解：(1)10年共收入
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第四节
第八章
定积分在经济问题中的应用举例
一、由边际函数求总量函数 二 、收益流的现值和将来值
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定积分在经济生活中的应用研究性课题，是适应
社会主义市场经济形势的要求，数学介入经济学使得 经济理论更加清晰、严密与完整，使经济学成为社会
科学中最“科学”的学科。从1969年至1990年共有27
rt
P(t )e rt dt
T
0
P(t )e rt dt
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若有一笔收益流的收益流量为 P(t) (元/年）, 考虑从现在开始 t =0 到 t = T年后这一时间段的将来 值和现值.（以连续复利率 r 计息）
收益现值 [ P(t )dt ]e 总现值
b a
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b
dQ (1)若已知某产品总产量Q 的变化率为 f (t ),则从时 dt 间 t a 到 t b (a b )该产品的总产量 Q f (t )dt .
a b
(2)设某产品总产量Q,若已知该产品成本对产量的变化 率为f (Q ),则产量从 a 到 b 总成本为 C f (Q )dQ.
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思考与练习
1. 投产某产品的固定成本为36万元，且成本对产量 x 的变化率(边际成本)为 C( x) 2 x 40(万元/百台), 试求产量由4(百台)增至6(百台)时的总成本的增值， 及产量为多少时，可使平均成本达到最低？
C ( x) 0 (2 x 40)dx C (0) C ( x) x x x 2 40 x +36 x 36 40 = x x 36 C ( x) 0 x 6, 而C ( x) 3 0， 所以6百台为最低点. x
若 t 年后要得到 B 元人民币，则现在需 要存入银行多少金额（现值）
P Be
rt
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收益流 收益若是连续地获得，则收益可被看 作是一种随时间连续变化的收益流. 收益流量 收益流对时间的变化率.记为P(t). 将收益流存入银行并加上利
收益流的将来值 息之后的存款值.
收益流的现值 收益流的现值是这样一笔款项， 若将它存入银行，将来从收益流中获得的总收益， 与包括利息在内的银行存款值有相同的价值.
x x 0
u( x) u(t ) dt u(0)
经济应用函数 u(x) 常为需求函数、生产函数、 成本函数、收益函数等. 在经济管理中，可以利用 边际函数 u′(x), 求出总量函数 u(x) 或u(x) 在区间
[ a, b] 上的改变量 u(b) u(a) u( x) a u( x)dx.
例
某企业一项为期10年的投资需购置成本80万
元，每年的收益流量为10万元，求内部利率 （ 注：内部利率是使收益价值等于成本的利率）. 解 80 10e t dt
0 10
[
10
e t ]10 0
10 （ e 10 ） 1
0.04
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内容小结
1.由边际函数求总量函数
u( x) u(t )dt u(0)
0 x
u(b) u(a) u( x) a u( x)dx
b a
b
2.收益流为 P(t)的从t =0 到 t = T年后现值和将来值
P(t )e rt dt 总现值
0
T
总的将来值
T
0
P(t )er (T t ) dt e rT总现值
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例
假设以年连续复利率 0.1 计息 ,求收益流量
为100元/年的收益流在20年内的现值和将来值.
P(t )e dt 100e0.1t dt 解 现值 0 0
rt
T
20
1000(1 e2 )
864.66(元)
将来值 0 P(t )e
be0.1(10t ) dt 10b(e 1) 0 10e b 0.110 贷款本息和 100e e 1
10
(2) 100
0
10
0
20e
t
e10 (1 5 ) 1 dt
(3) W 20e
10
0.1t
200 dt 100 100 e
T r (T t )
dt 100e0.1(20t ) dt
0
20
1000e 2 (1 e2 )
6389.06(元)
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例
设有一项计划现在需要投入1000万元，在10年
中每年收益为200万元，若连续利率为5%，求资本价
值W（设购置的设备10年后完全失去价值）. 解
40
2 40
Q Q (2) R (20 )dQ 20Q 300 40 20 40 10
60
2
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60
二 、收益流的现值和将来值
若以连续复利 r 计息，一笔 P 元人民币从 现在存入银行，t 年后的价值（将来值）
B Pe
rt
位经济学家获得诺贝尔经济奖，其中有14位是因为提 出数学方法应用于经济分析中才获此殊荣，其他人也 部分地应用了数学，纯作文字分析的几乎没有。
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一、由边际函数求总量函数
设经济应用函数 u(x) 的边际函数为 u( x), 则有
所以，
x
0
u( x)dx u( x) 0 u( x) u(0)
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若有一笔收益流的收益流量为 P(t) (元/年）, 考虑从现在开始 t =0 到 t = T年后这一时间段的将来 值和现值.（以连续复利率 r 计息）
分析 在区间 [0,T]内任取一小区间 [t ,t + dt], 在[t ,t + dt]内所获得的金额近似为 P(t)dt ， 从 t =0 开始, P(t)dt 这一金额是在 t 年后的 将来获得的,因此在[t ,t + dt]内， 收益现值 [ P(t )dt ]e 总现值
a b
(3)若某商品收益的变化率 f (Q ) 为已知时,则销售 N 个单 位的商品的总收益为R f (Q )dQ.
0 N
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例. 设生产某种商品每天的固定成本为200元，边际成
本函数 C( x) 0.04 x 2 (元/ 单位)，求总成本函数C(x). 如果商品的单价为18元，且产品供不应求，求总利润 函数L(x)，并决策每天生产多少单位可获得最大利润. 解 (1) C ( x) C (0) C(t )dt 200 (0.04t 2)dt
资本价值=收益流的现值-投入资金的现值
P(t )e rt dt 1000 W 0
200e0.05t dt 1000
0 10
T
200 0.05t 10 [ e ]0 1000 0.05 4000(1 e0.5 ) 1000
573.88(万元)
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