工程数学《复变函数》(第四版)课件 1-6 西安交大

复 变 函 数
教师： 赵璐 邮箱：zhaolu.nan@gmail.com
§6 复变函数的极限与连续性
一、函数的极限
1 定义： 设 w f z 定义在 z0 的去心邻域 0 z z0 内，
如果有一确定的数 A 存在， 对于任意给定的 0, 相应地必有一正数 0 , 使得当 0 z z0 时有 f z A , 那么称A 为当 z 趋向 z0 时的极限， 记为 lim f z A , 或记为 当z z0时，f z A
对复平面内使分母不为零的点都是连续的.
f ( z ) f ( z0 ) , z C ③ 函数 f ( z ) 在曲线C上 z0点处连续是指 lim z z
0
在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的函数f(z) ,
在曲线上是有界的，即 M 0, 使得当 z C 时，恒有
f z M .
1 f z , gz 在z0处连续
w f gz 在z0处连续 .
5
3 结论：
① 有理整函数(多项式) w Pz a0 a1 z a2 z 2 an z n 对复平面内所有的z都是连续的. ② 有理分式函数 w
P z [P(z),Q(z)为多项式] Q z
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作业：教材P34 31
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lim
0 0
x x0 y y0
lim u x , y u0 ,
x x0 y y0
lim v x , y v 0
定理二
lim f z A,
z z0
lim g z B ,
z z0
1 lim f z g z A B;
z z0
2 lim f z g z AB;
f z A 3 lim B 0 z z 0 g z B
z z0
3
Rez 例 证明函数 f z 当z 0时的极限不存在 . z x [证法1] 令z x iy, 则f z 2 2 x y x u x , y , v x, y 0. 2 2
x y 让z沿直线 y kx趋于零，则有 x lim u x , y lim lim 2 2 x 0 x 0 x 0 y kx y kx x y y kx
x 0 y 0
z0
1 k x
2
x
2

1 k
2
1
lim u x , y 不存在， lim f z 不存在.
y
z z0
v
z
f z
z0
A

x
u
2
将求复变函数的极
注意： z 趋向 z0 的方式是任意的 2 两个定理： 定理一
极限的存在性问题 限问题转化为求两个二
元实变函数的极限问题
u x , y iv x , y u0 iv0 x yi x iy
z → z0
如果 f ( z )在区域D内处处连续，那么就说 f ( z )在D内连续。
2 两个定理： 定理三
f z u x, y iv x, y 在z0 x0 iy0处连续
u x, y , v x, y 在 x0 , y0 处连续
定理四
f z gz0 0在z0处 连 续. f z gz , f z gz , g z 2 h gz 在z0处连续 , w f h在h gz0 处连续
[证法2] 令z r cos i sin , 则f z
r cos cos . r 让z沿不同射线 arg z 趋于零时， f ( z )趋于不同的值 .
z 0
lim f z 不存在.
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二、函百度文库的连续性
1 定义：如果 lim f ( z ) = f ( z0 )，那么就说 f ( z ) 在 z 0 处连续。