常用连续型随机向量分布

2.在
X
处取得概率密度函数的最大值，在
处有拐点，表现为钟形曲线。
医药数理统计方法
4. 正态分布有两个参数，即均数µ和标准差σ。 µ是位置参数，σ是变异度参数(形状参数)。
医药数理统计方法
（１）当σ恒定时，μ愈大，则曲线沿Ｘ轴愈向 右移动；反之，μ愈小，曲线沿x轴愈向左移动。
（２）当μ恒定时， σ愈大，表示Ｘ的取医药值数理愈统计方法
医Байду номын сангаас数理统计方法
医药数理统计方法
医药数理统计方法
中间频数多，左右两 侧基本对称的分布。
医药数理统计方法
（一）正态分布的概念
医药数理统计方法
设连续随机变量 X 概率密度为
f (x)
1
( x )2
e , 2 2 x
2
其中 和 都是常数， 任意， 0 ，则称X服从
参数为 和 2 的正态分布. 记作 X ~ N(, 2)
医药数理统计方法
x
1
x2
( x) P{ X x}
e 2 dx
2
y (x)
y (x)
在标准正态分布表中相应于x0 的值 ( x0 ) 是指总体取值
小于x0 的概率，即 ( x0 ) P( x x0 )
医药数理统计方法
医药数理统计方法
若X~N（0，1），查表可得 P（X x） ( x) P（X x） 1 ( x) P（x1 X x2） ( x2 ) ( x1 )
( 5
医药数理统计方法
第三章 随机变量及其分布
第四节 常用连续型随机变量分布
主要内容
*一、正态分布 二、对数正态分布 三、韦布尔分布 四、指数分布
通常分为两类：
医药数理统计方法
离散型随机变量
随
如“新生婴儿数”，
机 变
“医生做手术的数量”等.
量 连续型随机变量
例如，“身高”，“体重”， “红细胞计数”等。
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
u X
(u)
1
u2
e2
2
N(, 2)
N (0,1)
-∞＜X＜+∞
-∞＜u＜+∞
对 X : N (, 2 ) ，有
医药数理统计方法
定理3 6 F ( x) ( x ) P( X x)
P{X x} 1 ( x )
P{a X b} (b ) (a )
(2) P{| X | 2} 1 P{| X | 2} 1 P{2 X 2}
1 [(2) (2)] 1 [(2) (1 (2))]
2 2(2) 2 20.97725 0.0455
（三）正态分布转换为标准正态分布
医药数理统计方法
对于任意一个服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量， 可作如下的标准化变换，也称u变换，
(1)若已知σ=5，试求药片片重在140与155之间的概率；
(2) 为何值时 , P{145 X 155} 0.8?
(1) P{140 X 155} (155 150) (140 150)
5
5
(1) (2) (1) (1 (2)) 0.84135 1 0.97725 0.8186
*一、正态分布
医药数理统计方法
正态分布是一种很重要的连续型随机变量的概
率分布。医学中有许多变量(资料)是服从或近似服
从正态分布的。许多统计分析方法都是以正态分布
为基础的。因此在统计学中，正态分布无论在理论
研究上还是实际应用中，均占有重要的地位。
医学资料中有许多指标如身高、体重、红细胞 数、血红蛋白、收缩压、脉搏数等频数分布都呈正 态分布。
f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.
（二）正态分布密度函数的特征 f(X)
医药数理统计方法
图形特点： (1)钟型 (2)中间高、两头低、 左右对称
X
1. E( X ) , D( X ) 2（证明略）
（二）正态分布密度函数的特征
f(X)
2. 关于
对称。
即正态分布以均数为中心，
左右对称。
医药数理统计方法
医药数理统计方法
3 ~ 原则
医药数理统计方法
例3-19 设 X : N (3, 22 ) ,求 (1)P{2 X 4};(2)P{| X | 2}.
解 （1） P{2 X 4} ( 4 3) ( 2 3)
2
2
(0.5) (2.5) (0.5) (1 (2.5))
0.69146 1 0.99379 0.68525
当 x 0 时，( x)可查标准正态分布表求值； 当 x 0 时， ( x) 1 ( x)
例3-18 设 X ~ N (0,1) ,求
医药数理统计方法
(1)P{0.5 x 1.5};(2)P{| x | 2}.
解：(1) P{0.5 x 1.5} (1.5) (0.5)
0.9332 0.6915 0.2417
例3-20
医药数理统计方法
已知某种药片的片重X服从正态分
布 N (, 2 ) ，其中μ=150(mg)。
(1)若已知σ=5，试求药片片重在140与155之间的概率；
(2) 为何值时 , P{145 X 155} 0.8?
(2) P{145 X 155} (155 150) (145 150)
),
Y
:
N (2, 22 )
，且X与Y相互
独立，则
X Y
:
N
(
1
2
,
2 1
2 2
)
二、标准正态分布
（一）标准正态分布概念
医药数理统计方法
• 标准正态分布是均数为0，标准差为1的正态分布。
记为N(0,1)。
标准正态分布是一条曲线。
概率密度函数：
(x)
1
x2
e2
(-∞＜ x ＜+∞)
0
2
（二）标准正态分布的概率计算
(2)P{| X | 2} 1 P{ X 2} 1 P{2 X 2}
1
(
2
2
3
)
(
2 2
3
)
1
(0.5)
(2.5)
1 [1 (0.5)] [1 (2.5)] 0.69146 1 0.99379 0.69767
医药数理统计方法
例3-20 已知某种药片的片重X服从正态分 布 N (, 2 ) ，其中μ=150(mg)。
分散，曲线愈“胖”；σ愈小，x的取值愈集中在μ附
近，曲线愈“瘦”。
5、正态曲线下的总面积等于1，即
医药数理统计方法
1
e
(
x u )2 2 2
dx
1
2
定理3-5 （1）若X服从正态布 N( , 2) ，则对任意 常数a、b有：
aX b : N( a b,a2 2 )
（2）若 X
:
N
(
1
,
2 1