第2章 单纯形法的几种特殊情况.
合集下载
第二章 单纯形法
ˆ= z+ cT x
å
jÎ J N
ˆj = z + s kx ˆk = z ， s jx
ˆ 也是 (LP) 的最优解，而且由 q > 0 知， x ˆ 不同于 x ．这样，由 (LP) 的可行域 故x ˆ 与 x 连线上的任意一点都是 (LP) 的可行解，并且它们的目标 为凸集的性质知， x
函数值为 z ．因此， (LP) 有无穷多个最优解．
2.1 单纯形法的原理
单纯形法的迭代过程主要由以下三个基本部分 构成：确定初始基本可行解、判别当前基本可行 解是否是最优解、从一个基本可行解转换到相邻 且改善了的基本可行解．单纯形法要解决的三个 问题是： （1） 如何判断当前的基本可行解是否已达到了最 优解； （2） 若当前解不是最优解，如何去寻找一个改善 了的基本可行解； （3） 如何得到一个初始的基本可行解。
则在第一个不等式约束的两端乘以 1 ，将其变换为“ ”形式，然 后在不等式的左端添加松弛变量 x4 ； 在第二个不等式约束左端减去剩 余变量 x5 后，再加上人工变量 x6 ；在第三个等式约束的左端添加人工 变量 x7 ，得到：
3 x1 2 x2 4 x3 x4 2 x1 x2 3 x3 x1 x2 x3 x j 0, j 1, 2, , 7 x5 x6
ci bi
i 1 m n
m
m
i 1 j m 1
ca x
i ij
n
j
j m 1
cx
j
n
j
(2-5)
m ci bi c j ci aij x j i 1 j m 1 i 1
若用 z 表示当前基本可行解 x 对应的目标函数值，则根据(2-3)式容 易计算 z
å
jÎ J N
ˆj = z + s kx ˆk = z ， s jx
ˆ 也是 (LP) 的最优解，而且由 q > 0 知， x ˆ 不同于 x ．这样，由 (LP) 的可行域 故x ˆ 与 x 连线上的任意一点都是 (LP) 的可行解，并且它们的目标 为凸集的性质知， x
函数值为 z ．因此， (LP) 有无穷多个最优解．
2.1 单纯形法的原理
单纯形法的迭代过程主要由以下三个基本部分 构成：确定初始基本可行解、判别当前基本可行 解是否是最优解、从一个基本可行解转换到相邻 且改善了的基本可行解．单纯形法要解决的三个 问题是： （1） 如何判断当前的基本可行解是否已达到了最 优解； （2） 若当前解不是最优解，如何去寻找一个改善 了的基本可行解； （3） 如何得到一个初始的基本可行解。
则在第一个不等式约束的两端乘以 1 ，将其变换为“ ”形式，然 后在不等式的左端添加松弛变量 x4 ； 在第二个不等式约束左端减去剩 余变量 x5 后，再加上人工变量 x6 ；在第三个等式约束的左端添加人工 变量 x7 ，得到：
3 x1 2 x2 4 x3 x4 2 x1 x2 3 x3 x1 x2 x3 x j 0, j 1, 2, , 7 x5 x6
ci bi
i 1 m n
m
m
i 1 j m 1
ca x
i ij
n
j
j m 1
cx
j
n
j
(2-5)
m ci bi c j ci aij x j i 1 j m 1 i 1
若用 z 表示当前基本可行解 x 对应的目标函数值，则根据(2-3)式容 易计算 z
单纯形法的几种特殊情况
单纯形法的几种特殊情况单纯形法是一种线性规划的解法方法，用于寻找最优解。
在实际应用中，存在一些特殊情况，需要对单纯形法进行一些调整或者使用其他方法来解决。
下面将介绍几种特殊情况：1.无解情况（不可行解）：在一些情况下，约束条件可能是冲突的，导致不存在可行解。
例如，所有约束条件加在一起可能无法满足，或者一些约束条件是矛盾的，比如两个约束条件同时要求一些变量分别为正和负。
在这种情况下，单纯形法无法找到最优解，因为没有可行解。
解决方法：可以使用其他的线性规划求解方法，或者对约束条件进行调整，使其变为可行的。
例如，可以通过增加松弛变量或引入人工变量来处理不等式约束条件，在目标函数中增加人工变量的惩罚项，逐步通过单纯形法逼近可行解。
2.多个最优解：在一些情况下，线性规划问题可能存在多个最优解。
这种情况下，目标函数的值相同，但对应的解并不相同。
单纯形法只能找到一个最优解，无法得知是否存在其他最优解。
解决方法：需要使用其他算法或方法来找到额外的最优解。
例如，可以通过改变目标函数的系数或增加一些额外的约束条件，以影响单纯形法的方向，从而找到其他的最优解。
3.无界问题：在一些情况下，线性规划问题可能是无界的，即目标函数可以无限大地增加或无限小地减小。
这种情况下，单纯形法将无法找到有限的最优解。
解决方法：可以通过增加约束条件或调整目标函数的系数，使得问题变为有界的。
另外，也可以使用其他线性规划求解方法来处理无界问题。
4.退化情况：在单纯形法中，可能存在一些情况下的解陷入循环，无法继续优化。
这种情况下，称为退化。
解决方法：可以使用退化处理技术，例如人工变量法、卡工法、两阶段法等，来克服退化问题，并继续求解最优解。
5.基变量的选择：在单纯形法中，需要选择初始基变量，以便进行迭代求解。
但是，对于一些问题，选择合适的初始基变量可能非常困难，并且可能会影响最终的最优解。
解决方法：可以使用启发式的方法，例如字典法，以确定合适的初始基变量。
单纯形法专业知识讲座
转(2)
从环节(2)-(5)旳每一种循环，称为一次单纯形迭代.
24
单纯形表计算环节举例 给定线性规划问题
例1 Max z = 50x1 + 30x2 4x1+3x2 ≤ 120
s.t 2x1+ x2 ≤ 50 x1，x2 ≥ 0
Max z = 50x1 + 30x2
4x1+ 3x2 + x3
= 120
数
0 CN CB B1 N
16
单纯形表
相应于基B旳单纯形表: (2.15)-(2.17)旳表格形式
cj
c1
… cm
cm+1
…
cn
CB XB b
x1
… xm
xm+1
…
xn
I
c1 x1 b’1
1
…0
a’1,m+1
…
a’1n
1
c2 x2 b’2
0
…0
a’2,m+1
…
a’2n
2
…
…
…
…
cm xm b’m
5
B2 = ( P3 P4 P2 )
z= 0 + 40 x1 + 50 x2 ④ x3 + 2x2 = 30 - x1 ①
x4 + 2x2 = 60 – 3x1 ② 2x2 = 24 - x5 ③
Max z = 40 x1 +50 x2
x1 +2x2 +x3
=30
3x1 +2x2 +x4 =60
2x2
由最小θ比值法求：
θ= min
b’i
a'i,m+k
单纯形法与对偶问题
D
k
d '1 k d '2 k = ... d ' mk
,则 B
∆b -1 ∆b = ∆b ... ∆b
k k
∗ d' ∗ d' ∗ d'
2k 3k
k
mk
X B1 ∆b k ∗ d'1k X B 2 ∆b k ∗ d'2k 新的最优解为 X' B， X' B = 有 + ... ... X ∆b ∗ d' mk Bm k
学
S2 0 0 1 0 0 0
S3 0 -1 1 1 50 -50
b 50 50 250 27500
2
22
§1 单纯形表的灵敏度分析
我们对b1进行灵敏度分析，因为在第一个约束方程中含有松弛变量S1,
所以松弛变量在最终单纯形表中的系数列（， 2， T就是B-1的第一列。 1 − 0）
x 50 因为d'11 = 1 > 0, d'21 = −2 < 0, X1 = 50, X 2 = 50, 可以Max − Bi | d 'i1 > 0 = − = −50 1 d i1 x − 50 而Min − Bi | d 'i1 < 0 = = 25, 故有当 − 50 ≤ ∆b1 ≤ 25, 即250 ≤ b + ∆b ≤ 325第一个 d i1 −2 约束条件的对偶价格不变。
2
X1 S2 X2 ZJ CJ -ZJ
50 0 100
1 0 0 50 0
从上表我们可以发现各个松弛变量的Zj值，正好等于相应变量的对偶价格。
k
d '1 k d '2 k = ... d ' mk
,则 B
∆b -1 ∆b = ∆b ... ∆b
k k
∗ d' ∗ d' ∗ d'
2k 3k
k
mk
X B1 ∆b k ∗ d'1k X B 2 ∆b k ∗ d'2k 新的最优解为 X' B， X' B = 有 + ... ... X ∆b ∗ d' mk Bm k
学
S2 0 0 1 0 0 0
S3 0 -1 1 1 50 -50
b 50 50 250 27500
2
22
§1 单纯形表的灵敏度分析
我们对b1进行灵敏度分析，因为在第一个约束方程中含有松弛变量S1,
所以松弛变量在最终单纯形表中的系数列（， 2， T就是B-1的第一列。 1 − 0）
x 50 因为d'11 = 1 > 0, d'21 = −2 < 0, X1 = 50, X 2 = 50, 可以Max − Bi | d 'i1 > 0 = − = −50 1 d i1 x − 50 而Min − Bi | d 'i1 < 0 = = 25, 故有当 − 50 ≤ ∆b1 ≤ 25, 即250 ≤ b + ∆b ≤ 325第一个 d i1 −2 约束条件的对偶价格不变。
2
X1 S2 X2 ZJ CJ -ZJ
50 0 100
1 0 0 50 0
从上表我们可以发现各个松弛变量的Zj值，正好等于相应变量的对偶价格。
单纯形法
cj 基 解
3 5 000 x1 x2 x3 x4 x5
0 x3 8 1 0
5 x2 6 0 1
第 0 x5 12 3 0
二
次
30 -3 0
迭 代
0
x3
4
5 x2 6
00 01
3 x1 4
10
1 00 0 1/2 0 0 -2 1
0 5/2 0 1 2/3 -1/3 0 1/2 0 0 -2/3 1/3
Simplex Method 第二章 单纯形法
SM
第2章 单纯形法
2.1 单纯形法的基本思想 2.2 单纯形法的计算过程 2.3 人工变量法 2.4 单纯形法补遗
2
第2章 单纯形法
2.1 单纯形法的基本思想
单纯形法有三种形式： ① 方程组形式 ② 表格形式 ③ 矩阵形式
2.1.1 方程组形式的单纯形法
2x2 0 +1x4 0 = 12 ②
3x1 + 4x2 0 0 +1x5 = 36 ③
条典
⑴ 当前基：m阶排列阵 ⑵ 目标方程中：一切基变量
的系数 σj = 0
满足条典的方程组称为典式(方程组)。 初始基本可行解
排列阵：
每行每列有且仅有一个元素 为1，其余元素全为0 的方阵。
X0 = (0, 0, 8, 12, 36)T z0 = 0
2.3 人工变量法
考虑标准型 (M)： 分别给每个约束方程硬性加入一个非负变量
a11x1 +a12x2+…+a1nxn +xn+1
a12x1 +a22x2+…+a2nxn
+xn+2
… … ………
第二章 单纯形法
最小比值规则
当确定进基变量后, 当确定进基变量后,以进基变量的系数列向量 中的正数为分母, 中的正数为分母,以相应的方程右端常数为分子求 最小比值,所得到的最小比值的分母就是主元 主元. 最小比值,所得到的最小比值的分母就是主元.主 元所在的方程中的基变量就是离基变量 离基变量. 元所在的方程中的基变量就是离基变量.即:
bi bl min α ik > 0 = a ik a lk
令新的非基变量 x3 = x 4 = 0 ,得到新的 基本可行解: 基本可行解: T 经济含义—— 经济含义—— 分别生产甲,乙产品20 20个 分别生产甲,乙产品20个,此时可获得 利润200百元. 200百元 利润200百元.
几个名词
进基, 进基,进基变量 离基, 离基,离基变量 最大检验数规则 最小比值规则 主元/ 主元/主方程 迭代(旋转运算) 迭代(旋转运算)
增加单位产品甲比乙对目标函数 的贡献值大(600>400),故先把非 的贡献值大(600>400),故先把非 ), 变成基变量, 基变量 x1 变成基变量,称为让 x1 进基, 进基变量. 进基,同时称 x1 为进基变量.
R( A) = R( A, b ) = 3 < 5
则该函数约束等式方程组有无穷多组解. 则该函数约束等式方程组有无穷多组解.
分析目标函数表达式
max z = 6 x1 + 4 x 2 + 0 x3 + 0 x 4
非基变量的系数都是正数,若将它们转换 非基变量的系数都是正数, 为基变量,目标函数值则就会可能增加. 为基变量,目标函数值则就会可能增加. 经济含义:每分别多生产一个单位产品甲, 经济含义:每分别多生产一个单位产品甲, 目标函数值分别增加6 乙,目标函数值分别增加6,4,即利润分 别增加600 600元 400元 别增加600元, 400元.
第二章 单纯形法
此时基变量为： x3 , x2 , x1
非基变量为：x4 , x5 得到另一基本可行解为：
X 2 4,6,4,0,0
T
z1 42
迭代结果
2 1 x3 x4 x5 4 3 3 1 x4 6 x2 2 2 1 x4 x5 4 x1 3 3
最小比值规则
当确定进基变量后，以进基变量的系数列向量 中的正数为分母，以相应的方程右端常数为分子求 最小比值，所得到的最小比值的分母就是主元。主 元所在的方程中的基变量就是离基变量。即：
bi bl min ik 0 aik alk
令新的非基变量 x3 x4 0 ,得到新的 基本可行解: T
12 36 12 x2 m in , 2 4 2
2是主元，其所在方程为主方程，且
x4 为离基变量。
此时基变量为： x3 , x2 , x5
非基变量为： x1 , x4 得到另一基本可行解为：
X1 0,6,8,0,12
T
z1 30
迭代结果
8 x1 x3 1 6 x2 x4 2 3 x 2 x x 12 1 4 5
单纯形法的3种形式——
方程组形式（代数形式） 表格形式 矩阵形式
单纯形法的基本思路——
基于LP问题的标准形，先设法找到某个基本 可行解（称为初始基本可行解）； 开始实施从这个基本可行解向另一个基本可 行解的转换，要求这种转换不仅容易实现， 而且能改善（至少保持）目标函数值； 继续寻找更优的基本可行解，进一步改进目 标函数值。当某一个基本可行解不能再改善 时，该解就是最优解。（或者是出现无可行 解、无最优解、无穷多最优解的情况）
线性规划-大M法、两阶段法与几种特殊情况
进基变量的相持
出基变量的相持
max
z=
4x1
+2x2
-3x3
+5x4
s.t.
2x1
-x2
+ x3
+2x4
≥50
(1)
3x1
-x3
+2x4
80
(2)
x1
+x2
+x4
= 60
(3)
x1,
x2,
x3,
x4
≥ 0
1-4 线性规划- 大M法、两阶段法及几种特殊情况
单击添加副标题
单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述你的观点
School of Business ECUST
单纯形法
单纯形法的一般思路+例子
单纯形表结构+例子
单纯形法的计算步骤
单纯形法的矩阵描述
大M法
两阶段法
几种特殊情况
无可行解
无界解
多重最优解
1
X3
0
-3 0 2 0 0 -2-M -M
σj
-1 0 1 0 1 -1 0
1
X5
0
0 0 1/2 3/2 0 -1/2-M -3/2-M
2
X5
0
-1 2+2M -M -M 0 0 0
σj
3/1
0 1 0 0 1 0 0
3
X5
0
X1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
3/2
X2
2
1/2/1/2
1 0 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2
1/2
[经济学]单纯形法与对偶问题
![[经济学]单纯形法与对偶问题](https://img.taocdn.com/s3/m/0043005331b765ce05081479.png)
’小于0，可知
c1≤50时，也就是x1的 目标函数c1’在0≤c1’≤100时最优解不变。
j ' min a 1 j 0 50 。这样可以知道当-50≤Δ a ' 1 j
3 50 j ' 50，有 max a 0 1 j 50 同样有 a13 1 a'1 j
δj δj Max a'kj 0 ΔCk Min a'kj 0（其中 k是某个固定的值， j是1到n的所有数） a' a' kj kj
管 理 运 筹 学
7
§1
单纯形表的灵敏度分析
例： 目标函数：Max z=50X1+100X2 约束条件：X1+X2≤300 2X1+X2≤400 X2≤250 X1，X2≥0 最优单纯形表如下 迭代次数 基变量 X1 S2 X2 ZJ CJ -ZJ
管 理 运 筹 学
2
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶问题
• §1 • §2 • §3 • §4
单纯形表的灵敏度分析 线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质 对偶单纯形法
管
理
运
筹
学
3
单纯形表
管
理
运
筹
学
4
§1
单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量系数Ck灵敏度分析（在什么范围内变化， 最优解不变，与第二章，第三章联系起来） 在线性规划的求解过程中，目标函数系数的变动将会影响检 验数的取值，但是，当目标函数的系数的变动不破坏最优判 别准则时，原最优解不变，否则，原最优解将发生变化，要 设法求出新的最优解。下面我们具体的分析 1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等 变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广 矩阵不变，又因为Xk是非基变量，所以基变量的目标函数的 系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变成了Ck+ Ck。这时 K= Ck-Zk就变成了 Ck+ Ck- Zk= K+ Ck。 要使原来的最优解仍为最优解，只要 K+ Ck≤0即可，也 就是Ck的增量 Ck≤ - K。
c1≤50时，也就是x1的 目标函数c1’在0≤c1’≤100时最优解不变。
j ' min a 1 j 0 50 。这样可以知道当-50≤Δ a ' 1 j
3 50 j ' 50，有 max a 0 1 j 50 同样有 a13 1 a'1 j
δj δj Max a'kj 0 ΔCk Min a'kj 0（其中 k是某个固定的值， j是1到n的所有数） a' a' kj kj
管 理 运 筹 学
7
§1
单纯形表的灵敏度分析
例： 目标函数：Max z=50X1+100X2 约束条件：X1+X2≤300 2X1+X2≤400 X2≤250 X1，X2≥0 最优单纯形表如下 迭代次数 基变量 X1 S2 X2 ZJ CJ -ZJ
管 理 运 筹 学
2
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶问题
• §1 • §2 • §3 • §4
单纯形表的灵敏度分析 线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质 对偶单纯形法
管
理
运
筹
学
3
单纯形表
管
理
运
筹
学
4
§1
单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量系数Ck灵敏度分析（在什么范围内变化， 最优解不变，与第二章，第三章联系起来） 在线性规划的求解过程中，目标函数系数的变动将会影响检 验数的取值，但是，当目标函数的系数的变动不破坏最优判 别准则时，原最优解不变，否则，原最优解将发生变化，要 设法求出新的最优解。下面我们具体的分析 1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等 变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广 矩阵不变，又因为Xk是非基变量，所以基变量的目标函数的 系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变成了Ck+ Ck。这时 K= Ck-Zk就变成了 Ck+ Ck- Zk= K+ Ck。 要使原来的最优解仍为最优解，只要 K+ Ck≤0即可，也 就是Ck的增量 Ck≤ - K。
单纯形法
基本可行解一定是可行解，但可行解不一定是基本可行解。
4. 基本解与基本可行解： 基本可行解一定是基本解， 但基本解不一定是基本可行解。
可行解
基 本 可 行 解
非可行解
基本解
5. 最优解与基本解： 最优解不一定是基本解， 基本解也不一定是最优解。
6
§1 单纯形法的基本思路和原理
一般来说判断一个基是否是可行基，只有在求出其基本解以后，当其基本解 所有变量的解都是大于等于零，才能断定这个解是基本可行解，这个基是可行 基。那么我们能否在求解之前，就找到一个可行基呢？也就是说我们找到的一个 基能保证在求解之后得到的解一定是基本可行解呢？由于在线性规划的标准型中 要求bj都大于等于零，如果我们能找到一个基是单位矩阵，或者说一个基是由单位
非基变量：与非基向量pj相应的变量xj叫非基变量，非基变量有n－m个。
3
§1 单纯形法的基本思路和原理
由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找
到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就
可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解。 在此例中我们不妨找到
1 1 B3 1 0 1 0 0 0 1
j 1, 2,, n
以下用 xi i 1,2,, m 表示基变量，用 x j j m 1, m 2,, n 表示 非基变量。
15
§2 单纯形法的表格形式
把第i个约束方程移项，就可以用非基变量来表示基变量xi， xi bi ai ,m1 xm1 ai ,m2 xm2 ai ,n xn
8
§1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验 所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。
运筹学讲义-单纯形方法(ppt 78页)
为变量xj关于基B的判别数，j=1,2, -------, n。
7 2020/11/2
五、 单纯形方法
2、判别向量与判别数： （的b）判λ别N=向CN量-C，BB其-1中N为任对一应分基量Bλ的j=c所j-C有BB非-1基Aj变量XN 为-非---基-, 变n。量xj关于基B的判别数，j=m+1,m+2, ----（c）所有基变量的判别向量是零向量，所有基变
（一）人工变量消除法——M法 2、M法的辅助线性规划问题：
原问题：
Max z=c1x1+c2x2+……+cnxn s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn=b1 a21 x1+ a22x2+…… +a2nxn =b2
……
am1x1+am2x2+……+amnxn=bm x1,x2, ……,xn ≥ 0
函数值Z/ >0，则原问题无解。 [证明]（请同学们自己做一做）。 （3）辅助问题在最优基B下目标函数的值Z/=0，此时有 两种情况：第一种情况，若辅助问题的最优基B对应的 基变量中无人工变量，则该最优基也是原问题的可行 基，这时候只要在单纯形表中去掉人工变量所在的列 和最后一行，即可得到原问题的初始可行单纯形表。
9 2020/11/2
五、 单纯形方法
（三）单纯形方法：表上作业法
1、单纯形表的构造
方法1：C-CBB-1A=(CB,CN)-CBB-1(B,N) =(0,CN-CBB-1N)
两边同乘上X得：
（C-CBB-1A）X= (0,CN-CBB-1N)X，化简得： Z=CBB-1b+(CN-CBB-1N) XN
3 X2 1.5 0.5 1 0.25 0
7 2020/11/2
五、 单纯形方法
2、判别向量与判别数： （的b）判λ别N=向CN量-C，BB其-1中N为任对一应分基量Bλ的j=c所j-C有BB非-1基Aj变量XN 为-非---基-, 变n。量xj关于基B的判别数，j=m+1,m+2, ----（c）所有基变量的判别向量是零向量，所有基变
（一）人工变量消除法——M法 2、M法的辅助线性规划问题：
原问题：
Max z=c1x1+c2x2+……+cnxn s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn=b1 a21 x1+ a22x2+…… +a2nxn =b2
……
am1x1+am2x2+……+amnxn=bm x1,x2, ……,xn ≥ 0
函数值Z/ >0，则原问题无解。 [证明]（请同学们自己做一做）。 （3）辅助问题在最优基B下目标函数的值Z/=0，此时有 两种情况：第一种情况，若辅助问题的最优基B对应的 基变量中无人工变量，则该最优基也是原问题的可行 基，这时候只要在单纯形表中去掉人工变量所在的列 和最后一行，即可得到原问题的初始可行单纯形表。
9 2020/11/2
五、 单纯形方法
（三）单纯形方法：表上作业法
1、单纯形表的构造
方法1：C-CBB-1A=(CB,CN)-CBB-1(B,N) =(0,CN-CBB-1N)
两边同乘上X得：
（C-CBB-1A）X= (0,CN-CBB-1N)X，化简得： Z=CBB-1b+(CN-CBB-1N) XN
3 X2 1.5 0.5 1 0.25 0
第2章线性规划建模及其单纯形法
目标函数 Max z =1500x1+2500x2 约束条件 s.t. 3x1+2x2≤65
2x1+x2≤40 3x2≤75 x1 ,x2 ≥ 0
7
这是一个典型的利润最大化的生产计划问题。 其中，“Max”是英文单词“Maximize”的缩写，含 义为“最大化”； “s.t.”是“subject to”的缩写，表示“满足于…”。 因此，上述模型的含义是：在给定条件限制下，求 使目标函数z达到最大的x1 ,x2的取值
a21x1 + a22x...2 + … + a2nxn≤ b2 am1x1 + am2x2 + … + amnxn≤ bm
x1 , x2 , … , xn≥0
20
•标准形式 •目标函数： Max z=c1x1 + c2x2 + … + cnxn
•约束条件： a11x1 + a12x2 + … + a1nxn=b1 a21x1 + a22x...2 + … + a2nxn=b2 am1x1 + am2x2 + … + amnxn=bm x1 , x2 , … , xn≥0
4 x1 + 2 x2 + 3 x3 - 9 x4≥ 39 6 x2 + 2 x3 + 3 x4≤-58 x1 , x3 , x4 ≥0
31
解8x3:+7首x4先；，将目标函数转换成极大化:令z=-f=3x1–5x2– 其次考虑约束，有3个不等式约束，引进松弛变量 x5 ,x6 ,x7 ≥0 ； 由于x2无非负限制，可令x2=x2’-x2”,其中x2’≥0 x2”≥0 由于第3个约束右端项系数为-58，于是把该式两端乘 以-1。 于是，我们可以得到以下标准形式的线性规划问题：
2x1+x2≤40 3x2≤75 x1 ,x2 ≥ 0
7
这是一个典型的利润最大化的生产计划问题。 其中，“Max”是英文单词“Maximize”的缩写，含 义为“最大化”； “s.t.”是“subject to”的缩写，表示“满足于…”。 因此，上述模型的含义是：在给定条件限制下，求 使目标函数z达到最大的x1 ,x2的取值
a21x1 + a22x...2 + … + a2nxn≤ b2 am1x1 + am2x2 + … + amnxn≤ bm
x1 , x2 , … , xn≥0
20
•标准形式 •目标函数： Max z=c1x1 + c2x2 + … + cnxn
•约束条件： a11x1 + a12x2 + … + a1nxn=b1 a21x1 + a22x...2 + … + a2nxn=b2 am1x1 + am2x2 + … + amnxn=bm x1 , x2 , … , xn≥0
4 x1 + 2 x2 + 3 x3 - 9 x4≥ 39 6 x2 + 2 x3 + 3 x4≤-58 x1 , x3 , x4 ≥0
31
解8x3:+7首x4先；，将目标函数转换成极大化:令z=-f=3x1–5x2– 其次考虑约束，有3个不等式约束，引进松弛变量 x5 ,x6 ,x7 ≥0 ； 由于x2无非负限制，可令x2=x2’-x2”,其中x2’≥0 x2”≥0 由于第3个约束右端项系数为-58，于是把该式两端乘 以-1。 于是，我们可以得到以下标准形式的线性规划问题：
单纯形法图解法及原理
单纯形法中的回归分析和误差分析
回归分析
可以通过对单纯形法求解结果进行回归分析，来评 估分析模型的预测准确性和误差范围。
误差分析
对求解过程中出现的误差进行识别和纠正，可以提 高最终结果的精度和可靠性。
单纯形法中的灵敏度分析
1 定义
指在问题模型的基础上， 分析经济因素变动后，最 优解是否发生变化及变化 的情况。
单纯形法在金融中的应用
• 风险投资的有效分配和投资策略的优化 • 金融风险评估和监控，包括信用风险、市场风险和操作风险等 • 资产组合的优化选取和资产价格预测分析，对于促进金融市场的稳定
化和发展有着重要的作用。
单纯形法在工程中的应用
设计优化
单纯形法可以帮助设计和优化复杂的工程模型，包 括航空航天、交通工程、化工工程等多个领域。
设备管理
通过对设备状况的分析和优化，可以减少维护需求 和停机时间，提高工艺效率和生产率。
单纯形法在决策分析中的应用
1 多因素决策
提供一种有效的决策分析方法，可以支持并评估多因素决策，如投资策略、市场营销、 人力资源等。
2 风险评估
通过单纯形法进行风险评估，可以识别和监控潜在风险，促进企业决策者更加科学的做 出决策，并降低风险损失。
可靠性分析
用于识别和减少潜在风险，从而提高模型求解结果 的可靠性。可靠性分析方法可以借鉴于统计学中的 相关理论与方法。
单纯形法在物流中的应用
供应网络优化
单纯形法可以应用在供应网络优化中，包括货物流通路径分析，成本和生产率优化等模型的 构建和求解等。
运输路线规划
单纯形法可以辅助选择最佳的运输路线，并对路线进行规划和优化，从而提高物流效率和降 低成本。
单纯法的工作原理
二章二节单纯形法
B b b = ≥ 0, 可行。 问题：若B0=I，则X0=？ − − X = 0 0
0 0 −1
2. 最优性检验
问题：用什么检验？
b B N
—— 目标。
−1 −1 B N N N
X 而目标z = CX = (C C ) = C ( B b − B NX ) + C X X = C B b + (C − C B N ) X
解：增加松弛变量 x3 , x 4 , x5 , 则约束化为
= 360 9 x 1 + 4 x 2 + x 3 4 x 1 + 5x 2 +x4 = 200 s .t . + x 5 = 300 3x 1 + 10x 2 x 1, x 2, x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0
易见，增加的松弛变量的系数恰构成一个单位阵I。
一、单纯形法的预备知识
1.线性规划的标准型 用单纯形法求解线性规划的前提是先将模 型化为标准型：
Maxz = CX AX = b s.t. X ≥ 0
其中，A 的秩为m （m ≤ n） ≥ 0。 ,b
m ×n
标准型的特征：Max型、等式约束、非负约束
非标准形式如何化为标准
1)
Min型化为Max型
1 2 3 1 2 4 1 4
求相应于基B1和B2的基本解，它们是否基本可行解？
1 0 解：B = , B 0 1
1 −1 1
1 0 1 0 1 1 = , B b = 0 1 3 = 3, 0 1
−1 1
相应于基B 的基本解为X = ( 0,0,1,3) , 是基本可行解。
例3：下面为某线性规划的约束 =1 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 3 2 x1 − x2 x ,L , x ≥ 0 4 1 请例举出其基矩阵和相应的基向量、基变量。
0 0 −1
2. 最优性检验
问题：用什么检验？
b B N
—— 目标。
−1 −1 B N N N
X 而目标z = CX = (C C ) = C ( B b − B NX ) + C X X = C B b + (C − C B N ) X
解：增加松弛变量 x3 , x 4 , x5 , 则约束化为
= 360 9 x 1 + 4 x 2 + x 3 4 x 1 + 5x 2 +x4 = 200 s .t . + x 5 = 300 3x 1 + 10x 2 x 1, x 2, x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0
易见，增加的松弛变量的系数恰构成一个单位阵I。
一、单纯形法的预备知识
1.线性规划的标准型 用单纯形法求解线性规划的前提是先将模 型化为标准型：
Maxz = CX AX = b s.t. X ≥ 0
其中，A 的秩为m （m ≤ n） ≥ 0。 ,b
m ×n
标准型的特征：Max型、等式约束、非负约束
非标准形式如何化为标准
1)
Min型化为Max型
1 2 3 1 2 4 1 4
求相应于基B1和B2的基本解，它们是否基本可行解？
1 0 解：B = , B 0 1
1 −1 1
1 0 1 0 1 1 = , B b = 0 1 3 = 3, 0 1
−1 1
相应于基B 的基本解为X = ( 0,0,1,3) , 是基本可行解。
例3：下面为某线性规划的约束 =1 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 3 2 x1 − x2 x ,L , x ≥ 0 4 1 请例举出其基矩阵和相应的基向量、基变量。
第2章 单纯形法的几种特殊情况
并不满足原来的约束条件3，可知原线性规划问题无可行解，或者说 其可行解域为空集，当然更不可能有最优解了。 像这样只要求线性规划的最优解里有人工变量大于零，则此线性规划 无可行解。
二、无界解
在求目标函数最大值的问题中，所谓无 界解是指在约束条件下目标函数值可以取
例2、用单纯形表求解下面线性 规划问题。
迭代 次数 基 变 量 x1 s3 x2 zj cj-zj CB x1 50 50 0 50 1 0 0 50 0 x2 50 0 0 1 50 0 s1 0 -1 -2 2 50 -50 s2 0 1 1 -1 0 0 s3 0 0 1 0 0 0 100 50 200 15000 b
3
从检验数可知此基本可行解x1=100,x2=200,s1=0,s2=0,s3=50,也是最优解
管 理 运 筹 学
9
§4 几种特殊情况
四、退化问题
在单纯形法计算过程中，确定出基变量时有时存在两个以上的相同 的最小比值，这样在下一次迭代中就有了一个或几个基变量等于零，这 称之为退化。
例4.用单纯形表，求解下列线性规划问题。
解：加上松驰变量s1,s2,s3化为标准形式后，
填入单纯形表计算得：
3 目标函数 max z 2 x1 x3 2 约束条件 x1 x2 2, 2 x1 x3 4, x1 x2 x3 3, x1 , x2 , x3 0.
管 理 运
0 1 0 0 0 1 0 0
筹
1 6 0 1 9 1
学
1 —
4
§4 几种特殊情况
从单纯形表中，从第一次迭代x2的检验数等于2，可知所得的基本可行 解x1=1,x2=0,s1=0,s2=9不是最优解。同时我们也知道如果进行第2次迭代， a22 =-1, a12 那么就选x2为入基变量，但是在选择出基变量时遇到了问题： =-1, 找不到大于零的比值来确定出基变量。事实上如果我们碰到这种情况就可 以断定这个线性规划问题是无界的，也就是说在此线性规划的约束条件下， 此目标函数值可以取得无限大。从1次迭代的单纯形表中，得到约束方程： x1 x2 s1 1, 移项可得：
二、无界解
在求目标函数最大值的问题中，所谓无 界解是指在约束条件下目标函数值可以取
例2、用单纯形表求解下面线性 规划问题。
迭代 次数 基 变 量 x1 s3 x2 zj cj-zj CB x1 50 50 0 50 1 0 0 50 0 x2 50 0 0 1 50 0 s1 0 -1 -2 2 50 -50 s2 0 1 1 -1 0 0 s3 0 0 1 0 0 0 100 50 200 15000 b
3
从检验数可知此基本可行解x1=100,x2=200,s1=0,s2=0,s3=50,也是最优解
管 理 运 筹 学
9
§4 几种特殊情况
四、退化问题
在单纯形法计算过程中，确定出基变量时有时存在两个以上的相同 的最小比值，这样在下一次迭代中就有了一个或几个基变量等于零，这 称之为退化。
例4.用单纯形表，求解下列线性规划问题。
解：加上松驰变量s1,s2,s3化为标准形式后，
填入单纯形表计算得：
3 目标函数 max z 2 x1 x3 2 约束条件 x1 x2 2, 2 x1 x3 4, x1 x2 x3 3, x1 , x2 , x3 0.
管 理 运
0 1 0 0 0 1 0 0
筹
1 6 0 1 9 1
学
1 —
4
§4 几种特殊情况
从单纯形表中，从第一次迭代x2的检验数等于2，可知所得的基本可行 解x1=1,x2=0,s1=0,s2=9不是最优解。同时我们也知道如果进行第2次迭代， a22 =-1, a12 那么就选x2为入基变量，但是在选择出基变量时遇到了问题： =-1, 找不到大于零的比值来确定出基变量。事实上如果我们碰到这种情况就可 以断定这个线性规划问题是无界的，也就是说在此线性规划的约束条件下， 此目标函数值可以取得无限大。从1次迭代的单纯形表中，得到约束方程： x1 x2 s1 1, 移项可得：
华南理工大学 运筹学 第2章 线性规划的单纯形解法-2 工商管理学院
第2章
线性规划的单纯形解法
1
单纯形法的扩展
1-目标函数为求最小值的问题
2
单纯形法的扩展
1-目标函数为求最小值的问题
3
单纯形法扩展的示例1
例2-8
Z = 3x1 + 5x2 x1 £4 x2 £ 6 3x1 + 2 x2 £ 18 x1 , x2 ³ 0
min W 3x1 5 x2 s.t. x1 4 x2 6 3x1 2 x2 18 x1 , x2 0
21
改进单纯形法
单纯形表法 示意
22
改进单纯形法
单纯形表法 示意
23
改进单纯形法
单纯形表法 示意
24
改进单纯形法
2- 单纯形法迭代计算的矩阵形式算法描述
定义CN = CN - CB B-1 N为非基变量XN的检验向量 Z CB B-1b + CN XN
25
改进单纯形法
2-单纯形法迭代计算的矩阵形式算法描述
初始基变量组合XB ( x4 , x5 )
T
s.t.
8 x1 4 x2 5 x3 x4 2 x1 2 x2 x3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
320 x5 100
1 0 -1 B (p 3 ,p 4 ) B 0 1 1 -1 c1 c1 CB B p1 5 (0, 0) 0 1 -1 c2 c2 CB B p 2 4 (0, 0) 0 1 -1 c3 c3 CB B p 3 2 (0, 0) 0
min W = x6 + x7 s.t. Þ x1 - 2 x2 + x3 + x4 -4 x1 + x2 + 2 x3 - 2 x1 + x3 - x5 + x6 =11 =3 + x7 = 1
线性规划的单纯形解法
1
单纯形法的扩展
1-目标函数为求最小值的问题
2
单纯形法的扩展
1-目标函数为求最小值的问题
3
单纯形法扩展的示例1
例2-8
Z = 3x1 + 5x2 x1 £4 x2 £ 6 3x1 + 2 x2 £ 18 x1 , x2 ³ 0
min W 3x1 5 x2 s.t. x1 4 x2 6 3x1 2 x2 18 x1 , x2 0
21
改进单纯形法
单纯形表法 示意
22
改进单纯形法
单纯形表法 示意
23
改进单纯形法
单纯形表法 示意
24
改进单纯形法
2- 单纯形法迭代计算的矩阵形式算法描述
定义CN = CN - CB B-1 N为非基变量XN的检验向量 Z CB B-1b + CN XN
25
改进单纯形法
2-单纯形法迭代计算的矩阵形式算法描述
初始基变量组合XB ( x4 , x5 )
T
s.t.
8 x1 4 x2 5 x3 x4 2 x1 2 x2 x3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
320 x5 100
1 0 -1 B (p 3 ,p 4 ) B 0 1 1 -1 c1 c1 CB B p1 5 (0, 0) 0 1 -1 c2 c2 CB B p 2 4 (0, 0) 0 1 -1 c3 c3 CB B p 3 2 (0, 0) 0
min W = x6 + x7 s.t. Þ x1 - 2 x2 + x3 + x4 -4 x1 + x2 + 2 x3 - 2 x1 + x3 - x5 + x6 =11 =3 + x7 = 1
第2章(单纯形法)0
2.1.1 旋转变换
如果有两个方程组，它们具有相同的解集， 则称这两个方程组是等价的。对于两个等价方程 组，任意一个方程组的解必定是另外一组的解。 单纯形法是通过某种变换使约束方程组 P1x1+P2x2+…+Pmxm+Pm+1xm+1+…+Pnxn=b 转换为一系列易于求解的等价方程组，从而获得 它的基本解
为入基列）
2013-7-12
2 单纯形法
0 - 21
2.1.2 最小比值规则与旋转行
基本定理表明求解线性规划问题只须考察约 束方程的基本可行解，运用旋转变换可以由一个
基本可行解迭代到另一个基本可行解。不过，旋
转变换要保持这种可行性，旋转元或旋转行的确 定必须服从一定的规则。
2013-7-12
2 单纯形法
2013-7-12 2 单纯形法 0 - 20
( l , k ) 旋转变换(取主变换)的要素
blk 旋转元（主元素）
Ql
Pk
旋转行（主元行，旋转元所在的行）
旋转列（主元列，旋转元所在的列）
xJl
PJl
旋出变量（换出变量)
出基列（旋出变量xJl所在的列）
xk
旋入变量（换入变量xk所在的列即旋转列Pk
旋转行的确定
x2 x3 x4
-4 2 1 -6 -3 -2 [3] 13 0 0 1 1 0 0 0 1 0 - 24 0
XB
x1 x2 x3 x1 x2 x5 x1 x4 x5 x1 x4 x3
x1
x5
-1 -1 [1] 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 -3 -1/2 3/2
b
1 3 2 -2 3 -3 5 5 2 8 8 5/3 5/3 1/3 1/3 7 3/2 1/2
第2章--单纯形法的几种特殊情况学习资料
450-25M
6 30 4 780-4M
2
管理运筹学
§4 几种特殊情况
解：在上述问题的约束条件中加入松驰变量，得标准型如下：
目标函数 max z x1 x2
约束条件 x1 x2 s1 1,
填入单纯形表计算得：
迭 基 CB x1
x2
s1
代变 次量
1
1
0
数
3x1 2x2 s2 6,
s2 M 9. 显然这是线性规划的可行解，此时目标函数
z x1 x2 M 1 M 2 M 1.
管理运筹学
5
§4 几种特殊情况
由于M可以是任意大的正数，可知此目标函数值无界。
上述的例子告诉了我们在单纯形表中识别线性规划问题是无界的方法： 在某次迭代的单纯形表中，如果存在着一个大于零的检验数 ，并 ij 且该列 的系数向量的每个元素aij(i=1,2,…,m)都小于或等于零，则此线性规划问题 是无界的，一般地说此类问题的出现是由于建模的错误所引起的。
2x1 x2 s2 400, x2 s3 250, x1, x2 , s1, s2 , s3 0.
填入单纯形表计算得：
管理运筹学
7
迭 基变 CB x1 代量
次 数
50
s1 s2 0 s3
01 02 00
zj
0
cj-zj
50
s1 s2 1 x2
01 02 50 0
zj
0
cj-zj
50
x1 2 s2
x1 s2 30, x1 x2 s3 a1 40, x1, x2 , s1, s2, s3, a1 0.
填入单纯形表计算得：
管理运筹学
1
§4 几种特殊情况
二3 单纯形法
线性规划的单纯形法
经过整理后，不妨设线性规划模型为：
s.t.
max z c j x j
n
x1
j 1
a1,m1 xm 1 a1n xn b1 a2 ,m1 xm 1 a2 n xn b2
x2
含有正系数入基变量的 约束条件的右端项
入基变量的正系数
线性规划的单纯形法
基变量集={x4 , x5 ，x1，x7}
寻找新的基可行解 主元素
单纯形法 规范型
z 60x1 30x 2 20x 3 8 x 1 6 x 2 x 3 x 4 48 20 4 x1 2 x 2 1.5 x 3 x 5 2 x1 1.5 x 2 0.5 x 3 x6 8 x2 x7 5
线性规划的单纯形法
所以约束方程 AX=b 就可以表示为
XB AX=(BN) =BX B +NX N =b XN
用可行基Ｂ的逆阵Ｂ-1左乘等式两端，再通过移项可推得：
XB =B-1b-B-1NXN
-1 若令所有非基变量 X N =0 , 则基变量 XB =B b
B1b 由此可得初始的基本可行解 X= ，即 0 基可行解中基变量的值依次为B-1b中的分量。
15x 2 5 x 3 30x 6 z 240 x 3 x 4 4 x 6 16 x 2 0.5 x 3 x 5 2 x 6 4 x1 0.75x 2 0.25x 3 0.5 x 6 4 x2 x7 5
j j 0. 记 m t max j
xm+t 为入基变量
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§4 几种特殊情况
一、无可行解
例1、用单纯形表求解下列线性规划问题
目标函数 max z 20 x1 30 x2 约束条件 3x1 10 x2 150, x1 30, x1 x2 40, x1, x2 0.
解：在上述问题的约束条件中加入松驰变量、剩余变量、人工变量得到：
目标函数 max z 20 x1 30 x2 Ma1 约束条件 3x1 10 x2 s1 150, x1 s2 30, x1 x2 s3 a1 40, x1 , x2 , s1 , s2 , s3 , a1 0.
填入单纯形表计算得：
管 理 运 筹 学
管 理 运 筹 学
5
§4 几种特殊情况
由于M可以是任意大的正数，可知此目标函数值无界。
上述的例子告诉了我们在单纯形表中识别线性规划问题是无界的方法： ij 在某次迭代的单纯形表中，如果存在着一个大于零的检验数 ，并且该列 的系数向量的每个元素aij(i=1,2,…,m)都小于或等于零，则此线性规划问题 是无界的，一般地说此类问题的出现是由于建模的错误所引起的。
管
理
运
筹
学
7
§4 几种特殊情况
迭 基变 代 量 次 数 s1 s2 s3 zj cj-zj s1 s2 x2 zj cj-zj x1 s2 x2 zj cj-zj 50 0 50 0 0 50 CB x1 50 0 0 0 1 2 0 0 50 1 2 0 0 50 1 0 0 50 0 x2 50 1 1 1 0 50 0 0 1 50 0 0 0 1 50 0 s1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 -2 0 50 -50 s2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 s3 0 0 0 1 0 0 -1 -1 1 50 0 -1 1 1 0 0 300 400 250 0 50 150 250 12500 50/1 150/2 — 300/1 400/1 250/1 b 比值
管 理 运
0 1 0 0 0 1 0 0
筹
1 6 0 1 9 1
学
1 —
4
§4 几种特殊情况
从单纯形表中，从第一次迭代x2的检验数等于2，可知所得的基本可行 解x1=1,x2=0,s1=0,s2=9不是最优解。同时我们也知道如果进行第2次迭代， a22 =-1, a12 那么就选x2为入基变量，但是在选择出基变量时遇到了问题： =-1, 找不到大于零的比值来确定出基变量。事实上如果我们碰到这种情况就可 以断定这个线性规划问题是无界的，也就是说在此线性规划的约束条件下， 此目标函数值可以取得无限大。从1次迭代的单纯形表中，得到约束方程： x1 x2 s1 1, 移项可得：
加入松弛变量s1 , s2 , s3，我们得到标准形： 目标函数 max z 50 x1 50 x2 约束条件 x1 x2 s1 300, 2 x1 x2 s2 400, x2 s3 250, x1 , x2 , s1 , s2 , s3 0.
填入单纯形表计算得：
x2 3s1 s2 9.
x1 1 x2 s1 , s2 x2 3s1 9. 不妨设x2 M , s1 0, 可得一组解： x1 M 1, x2 M , s1 0, s2 M 9. 显然这是线性规划的可行解，此时目标函数 z x1 x2 M 1 M 2M 1.
0
1
9-7/10M 30 11+7/10M 0 0 1 0 20 0 1 0 0 30 0
2
6 30 4 780-4M 2
管
理
运
筹
学
§4 几种特殊情况
从第二次迭代的检验数都小于零来看，可知第2次迭代所得的基本可 行解已经是最优解了，其最大的目标函数值为780-4M。我们把最优解 x1=30,x2=6,s1=0,s2=0,s3=0,a1=4,代入第三个约束方程得x1+x2-0+4=40,即有： x1+x2=36≤40.
并不满足原来的约束条件3，可知原线性规划问题无可行解，或者说 其可行解域为空集，当然更不可能有最优解了。 像这样只要求线性规划的最优解里有人工变量大于零，则此线性规划 无可行解。
二、无界解
在求目标函数最大值的问题中，所谓无 界解是指在约束条件下目标函数值可以取
例2、用单纯形表求解下面线性 规划问题。
1
§4 几种特殊情况
迭 基变 代 量 次 数 s1 s2 a1 zj cj-zj x2 s2 a1 zj cj-zj x2 x1 a1 zj cj-zj 30 20 -M 30 0 -M CB x1 20 0 0 -M 3 1 1 -M 20+M 3/10 1 7/10 x2 30 10 0 1 -M 30+M 1 0 0 s1 0 1 0 0 0 0 1/10 0 -1/10 3+M/10 -3-M/10 1/10 0 -1/10 3+M/10 -3-M/10 s2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 -3/10 1 -7/10 11+7M/10 -11-7M/10 s3 0 0 0 -1 M -M 0 0 -1 M -M 0 0 -1 M -M a1 -M 0 0 1 -M 0 0 0 1 -M 0 0 0 1 -M 0 150 30 40 -40M 15 30 25 450-25M 15/(3/10) 30/1 25/(7/10) 150/10 — 40/1 b 比值
目标函数 max z x1 x2 约束条件 x1 x2 1, 3 x1 2 x2 6, x1 , x2 0.
任意的大。下面我们用单纯形表来求第二
章中的例子。
管 理 运 筹 学
3
§4 几种特殊情况
解：在上述问题的约束条件中加入松驰变量，得标准型如下：
目标函数 max z x1 x2 约束条件 x1 x2 s1 1, 3 x1 2 x2 s2 6,
s1 0 s2 0 b 比 值
填入单纯形表计算得：
迭 基 代 变 次 量 数 s1 s2 0 zj cj-zj x1 s2 1 zj cj-zj 1 0 CB x1 1 x2 1
x1 , x2 , s1 , s2 0.
0 0
1 -3 0 1 1 0 1 0
-1 2 0 1 -1 -1 -1 2
1 0 0 0 1 3 1 -1
三、无穷多最优解
例3、用单纯形法表求解下面的线性规划问题。
目标函数 max z 50 x1 50 x2 约束条件 x1 x2 300, 2 x1 x2 400, x2 250, x1 , x2 0.
管 理 运 筹 学解法已求了解，现在用单纯形表来求解。
一、无可行解
例1、用单纯形表求解下列线性规划问题
目标函数 max z 20 x1 30 x2 约束条件 3x1 10 x2 150, x1 30, x1 x2 40, x1, x2 0.
解：在上述问题的约束条件中加入松驰变量、剩余变量、人工变量得到：
目标函数 max z 20 x1 30 x2 Ma1 约束条件 3x1 10 x2 s1 150, x1 s2 30, x1 x2 s3 a1 40, x1 , x2 , s1 , s2 , s3 , a1 0.
填入单纯形表计算得：
管 理 运 筹 学
管 理 运 筹 学
5
§4 几种特殊情况
由于M可以是任意大的正数，可知此目标函数值无界。
上述的例子告诉了我们在单纯形表中识别线性规划问题是无界的方法： ij 在某次迭代的单纯形表中，如果存在着一个大于零的检验数 ，并且该列 的系数向量的每个元素aij(i=1,2,…,m)都小于或等于零，则此线性规划问题 是无界的，一般地说此类问题的出现是由于建模的错误所引起的。
管
理
运
筹
学
7
§4 几种特殊情况
迭 基变 代 量 次 数 s1 s2 s3 zj cj-zj s1 s2 x2 zj cj-zj x1 s2 x2 zj cj-zj 50 0 50 0 0 50 CB x1 50 0 0 0 1 2 0 0 50 1 2 0 0 50 1 0 0 50 0 x2 50 1 1 1 0 50 0 0 1 50 0 0 0 1 50 0 s1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 -2 0 50 -50 s2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 s3 0 0 0 1 0 0 -1 -1 1 50 0 -1 1 1 0 0 300 400 250 0 50 150 250 12500 50/1 150/2 — 300/1 400/1 250/1 b 比值
管 理 运
0 1 0 0 0 1 0 0
筹
1 6 0 1 9 1
学
1 —
4
§4 几种特殊情况
从单纯形表中，从第一次迭代x2的检验数等于2，可知所得的基本可行 解x1=1,x2=0,s1=0,s2=9不是最优解。同时我们也知道如果进行第2次迭代， a22 =-1, a12 那么就选x2为入基变量，但是在选择出基变量时遇到了问题： =-1, 找不到大于零的比值来确定出基变量。事实上如果我们碰到这种情况就可 以断定这个线性规划问题是无界的，也就是说在此线性规划的约束条件下， 此目标函数值可以取得无限大。从1次迭代的单纯形表中，得到约束方程： x1 x2 s1 1, 移项可得：
加入松弛变量s1 , s2 , s3，我们得到标准形： 目标函数 max z 50 x1 50 x2 约束条件 x1 x2 s1 300, 2 x1 x2 s2 400, x2 s3 250, x1 , x2 , s1 , s2 , s3 0.
填入单纯形表计算得：
x2 3s1 s2 9.
x1 1 x2 s1 , s2 x2 3s1 9. 不妨设x2 M , s1 0, 可得一组解： x1 M 1, x2 M , s1 0, s2 M 9. 显然这是线性规划的可行解，此时目标函数 z x1 x2 M 1 M 2M 1.
0
1
9-7/10M 30 11+7/10M 0 0 1 0 20 0 1 0 0 30 0
2
6 30 4 780-4M 2
管
理
运
筹
学
§4 几种特殊情况
从第二次迭代的检验数都小于零来看，可知第2次迭代所得的基本可 行解已经是最优解了，其最大的目标函数值为780-4M。我们把最优解 x1=30,x2=6,s1=0,s2=0,s3=0,a1=4,代入第三个约束方程得x1+x2-0+4=40,即有： x1+x2=36≤40.
并不满足原来的约束条件3，可知原线性规划问题无可行解，或者说 其可行解域为空集，当然更不可能有最优解了。 像这样只要求线性规划的最优解里有人工变量大于零，则此线性规划 无可行解。
二、无界解
在求目标函数最大值的问题中，所谓无 界解是指在约束条件下目标函数值可以取
例2、用单纯形表求解下面线性 规划问题。
1
§4 几种特殊情况
迭 基变 代 量 次 数 s1 s2 a1 zj cj-zj x2 s2 a1 zj cj-zj x2 x1 a1 zj cj-zj 30 20 -M 30 0 -M CB x1 20 0 0 -M 3 1 1 -M 20+M 3/10 1 7/10 x2 30 10 0 1 -M 30+M 1 0 0 s1 0 1 0 0 0 0 1/10 0 -1/10 3+M/10 -3-M/10 1/10 0 -1/10 3+M/10 -3-M/10 s2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 -3/10 1 -7/10 11+7M/10 -11-7M/10 s3 0 0 0 -1 M -M 0 0 -1 M -M 0 0 -1 M -M a1 -M 0 0 1 -M 0 0 0 1 -M 0 0 0 1 -M 0 150 30 40 -40M 15 30 25 450-25M 15/(3/10) 30/1 25/(7/10) 150/10 — 40/1 b 比值
目标函数 max z x1 x2 约束条件 x1 x2 1, 3 x1 2 x2 6, x1 , x2 0.
任意的大。下面我们用单纯形表来求第二
章中的例子。
管 理 运 筹 学
3
§4 几种特殊情况
解：在上述问题的约束条件中加入松驰变量，得标准型如下：
目标函数 max z x1 x2 约束条件 x1 x2 s1 1, 3 x1 2 x2 s2 6,
s1 0 s2 0 b 比 值
填入单纯形表计算得：
迭 基 代 变 次 量 数 s1 s2 0 zj cj-zj x1 s2 1 zj cj-zj 1 0 CB x1 1 x2 1
x1 , x2 , s1 , s2 0.
0 0
1 -3 0 1 1 0 1 0
-1 2 0 1 -1 -1 -1 2
1 0 0 0 1 3 1 -1
三、无穷多最优解
例3、用单纯形法表求解下面的线性规划问题。
目标函数 max z 50 x1 50 x2 约束条件 x1 x2 300, 2 x1 x2 400, x2 250, x1 , x2 0.
管 理 运 筹 学解法已求了解，现在用单纯形表来求解。