正弦交流电路

1
P
T
1
pdt
T
UI
sin
2tdt
0
T0
T0
P=0表明电感元件不消耗能量。只有电源与电感元件间 的能量互换。用无功功率来衡量这种能量互换的规模。
无功功率
电感元件的无功功率用来衡量电感与电源间能量互换 的规模，规定电感元件的无功功率为瞬时功率的幅值 （它并不等于单位时间内互换了多少能量）。它的单 位是乏（var）。
过程。在一个周期内，电感元件吸收和释放的能量相等。 返回
3.6 电容元件的交流电路
电压电流关系
对于电容电路： i dq C du dt dt
如果电容两端加正弦电压：
i
＋
u
C
_
u Um sin t
则：
i
C dUm sint
dt
CUm cost
CUm sin t 90
Im sin t 90
30°
70.7 I2m
52
122.7
Im
+1
返回
3.3 电阻元件、电感元件和电容元件
电阻元件：消耗电能，转换为热能（电阻性） 电感元件：产生磁场，存储磁场能（电感性） 电容元件：产生电场，存储电场能（电容性）
在直流电路中（稳态），电感元件可视为短路， 电容元件（稳态）可视为开路。
在交流电路中，电感元件和电容元件中的电流均不 为零。
1t
10
1t
1t
u C
idt C
idt
C
idt
0
u0
C
idt
0
式中u0为t=0时电压的初始值。如果u0＝0则：
1t
u idt C0
电容元件的电场能量
把式
i
dq
C
du
两边乘以u并积分得：
dt dt
t uidt
0
t 0
Cudu
1 2
Cu2
电容元件中存储的电场能量为：
1 Cu2 2
正弦量的瞬时值由旋转的有向线段在纵轴上的投影表示。
u Um sin t
ω
Um
t
有向线段可以用复数表示。 有向线段OA可用复数形式表示：
直角坐标式：
A a jb rcos j sin
指数式：
A re j
极坐标式式：
A r
j b
r
O
A
a 1
复数的加减运算可用直角坐标式，乘除法运算可用 指数式或极坐标式。
100cos45 j100sin 45 60cos30 60sin30
70.7 j70.7 52 j30
122.7 j40.7 129e j1820A
（2）用相量图求解 画出相量图，并作出平行四边形，其对角线即是总电流。
+j
I1m
70.7
40.7
30
45° 18°20′
3.1 正弦电压与电流
直流电和正弦交流电
前面两章分析的是直流电路，其中的电压和电流的大小 和方向是不随时间变化的。
I，U
O
t
直流电压和电流
返回
正弦交流电的电压和电流是按照正弦规律周期性变化的。
ui
实际方向和参考方向一致
＋
O
－
t
正弦电压和电流 实际方向和参考方向相反
i
i
+
_u
R
+
_u
R
正半周 实际方向和参考方向一致
例题3.2
i
在如图所示的电路中，设：
i1 I1m sin(t 1) 100sin(t 45)A i1 I2m sin(t 2) 60sin(t－30)A
求总电流 i。
i1
i2
[解](1)用复数形式求解
根据基尔霍夫电流定律：
Im I1m I2m I1me j1 I2me j2 100e j45 60e j30
i Im sin t 2
O
ωt
则 u和 的i 相位差为：
t 1 t 2 1 2
当 1 时，2 比 u超前i 角，比 滞u后 角i。
同相反相的概念
同相:相位相同，相位差为零。
反相:相位相反，相位差为180°。
下面图中是三个正弦电流波形。 与i1 同i2相， 与i1反相i3 。
i
i1
i2
负半周 实际方向和参考方向相反
3.1.1 频率和周期
正弦量变化一次所需要的时间（秒）称为周期（T）。每
秒内变化的次数称为频率（ ）f，单位是赫兹（Hz）。
ui
频率是周期的倒数:
f =1/T
O
2 3 4 t
T
3T
2T t
2
2
T
正弦量变化的快慢还可用角频率来表示：
2 2f
小
T
常
我国和大多数国家采用50Hz的电力标准，
电压和电流频率相同，电压比电流相位滞后90°。 返回
从而： Im C Um
Um U 1
Im I C
(1/ωC)单位为欧[姆]。电压U一定时(1/ωC)越大电流I越 小,可见它对电流起阻碍作用, 定义为容抗：
p
p
I U
O
P
ωt
返回
3.5 电感元件的交流电路
电压电流关系
设一非铁心电感线圈(线性电感元件，L ＋
为常数),假定电阻为零。根据基尔霍夫电压 u
定律：
_
i
_
eL L
＋
u
eL
L
di dt
设电流为参考正弦量： i Im sint
u
L
d I
m
sin dt
t
LI
m
cost
LIm sin t 90
一个正弦量可以用旋转的有向线段表示，而有向线段 可以用复数表示，因此正弦量可以用复数来表示。
表示正弦量的复数称为相量
复数的模表示正弦量的幅值或有效值
复数的辐角表示正弦量的初相位
正弦电压 u Um sin t 的相量形式为：
幅值相量：Um Um cos j sin Ume j Um 有效值相量U U cos j sin Ue j U
识
有些国家（美国、日本等）采用60Hz。
例题3.1 已知 f =50Hz,求T 和ω。
[解]T=1/ f =1/50=0.02s, ω=2πf =2×3.14×50＝314rad/s
3.1.2 幅值和有效值
瞬时值和幅值
正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字母表示，如 、i u、e 等。
瞬时值中的最大的值称为幅值或最大值，用带下标m的大写字母表示， 如Im、Um、Em等。
返回
3.4 电阻元件的交流电路
电压电流关系
i
设图中电流为：i Im sint
根据欧姆定律：
＋
u
R
_
u iR RIm sin t Um sin t
电压和电流频率相同，相位相同。
从而： Um RIm
相量形式的欧姆定律
u Um U R i Im I
U RI
返回
瞬时功率
电压和电流瞬时值的乘积就是瞬时功率：
udt
L
udt
0
i0
L
udt
0
式中 i为0 t=0时电流的初始值。如果 ＝i0 0则：
1t
i udt L0
电感元件的磁场能量
把式
u
eL
L
di dt
两边乘以 i并积分得：
t uidt
0
t 0
Lidi
1 2
Li2
因此电感元件中存储的磁场能量为：
1 2
Li
2
返回
3.3.3 电容元件
电容的定义
由复数知识可知：j为90°旋转因子。一个相量乘上+j 则旋转+90°；乘上-j 则旋转- 90°。
注意： 相量用上面打点的大写字母表示。
相量图
把表示各个正弦量的有向线段画在一起就是相量图， 它可以形象地表示出各正弦量的大小和相位关系。
U
Ι
电压相量
ψ２ ψ１ 比电流相量
超前 角
I
U
注意 1. 只有正弦周期量才能用相量表示。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上。
O
t
相位： t
初相位： 0
i Im sin t
i
相位： t 初相位： ψ
t
说 明
初相位给出了观察正弦波的起点或参考点。
相位差
两个同频率的正弦量的相位之差或初相位之差称为相位差。
正弦交流电路中电压和电流的频率是相同的，但初相不
一定相同，设电路中电压和电流为：
u
u Um sin t 1
i
Q UI I 2 X L
思考题
无功功率是否与频率有关？
返回
电压、电流、功率的波形
i
_
＋
u eL L O
_
＋
i
u
π
2π ωt
i
i
i
i
+
_
_
+
_
+
+
_
U
储能 放 能 储能 放 能
p
p
+
+
I O
-
ωt -
在第一个和第三个1/4周期内，电流在增大，磁场在建立，p 为正值（u 和 正i负相同），电感元件从电源取用能量，并转换 为磁场能量；在第二个和第四个1/4周期内,电流在减小， p为 负值（u 和 一正i 一负），磁场在消失，电感元件释放原先储 存的能量并转换为电能归还给电源。这是一个可逆的能量转换