2.4 同轴线及其高次模解析
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课Biblioteka Baidu练习
1. 写出矩形波导和圆波导的主模及其截止波长； 2. 画出矩形波导横截面的场结构图；
3. 圆波导中有二类简并波型，请写出所有简并波型。
§2.4 同轴线及其中的高次波型
同轴线：内、外导体构成的双导体传输线,如常见的同轴 电缆就是一种软的同轴线. 主模：TEM波 传输线理论分析 本节内容：从电磁场的角度，对TEM波、及TE波和TM波高次 波型加以讨论.
§2.4 同轴线及其中的高次波型
令
p b/a
则上式可写为
m（m=0, 1, 2… ）指 m阶Bessel函数和m阶 Neumann函数。
J m Kc a N m pKc a J m pKc a N m Kc a 0
——本征方程，Kc叫本征 值。这是一个超越方程 图解法
2 1 1 t2 2 2 2 r r r r
2
§2.4 同轴线及其中的高次波型
2.4.1 同轴线中的TEM波 （Hz=0, Ez=0）
2 t E(r, ) 0 2 t H (r , ) 0
考虑到同轴线的边界条件
Eφ=Hr=0
所以，TEM波的电场只有Er ，磁场只有Hφ分量 有这么多的分量为0，那么直接用Maxwell 方程组求剩余的场分量就非常方便了
§2.4 同轴线及其中的高次波型
TEM波的其余分量满足Maxwell方程组：
Er jH Er (2-148) z H jEr H (2-149) z
H Er
Er H
rH C
C为常
数，由 边界条 件决定
B (H ) 0 (2-150)
• 将同轴线应看作波导分析，采用圆柱坐标系，与圆波导相
似，满足同样的波动方程，只是边界条件不同。 • 图2-32给出了几个同轴线中的高次模 不讨论高次波型场量的表示式，只讨论它们的截止波长λc
§2.4 同轴线及其中的高次波型
1.TM波 直接把分析圆波导时得到的纵向场分量的通解用在 这里,它也是同轴线的纵向场分量的通解: cos m jz E z B1J m K c r B2 N m K c r C e (2-157) sin m
§2.4 同轴线及其中的高次波型
教材上给出3种情况下，截止波长的计算方法： （１）Kca和Kcb较大，且a、b相差不大时：
c
2 (b a ) n
(2-161)
与m无关，就是说，在某同轴线中，如果可以传输 TM01波，那么同时也可以传输TM11、TM21波TM31等波 型。最低次TM01波的截止波长为上式n=1时。 （２） Kca和Kcb较大， 且a、b相差较大时(n=1,2; m=0, 1, 2, 3)：
轴向电流：
2 I H dl 0 H rd I 0e jz (2-154) l
内外导体间电压：
U
b a Er dr
b a
I 0 j z I 0 b j z e dr ln e 2r 2 a
Zc U 60 b 138 b ln lg I r a r a
y
目的：抑制高次模
o
r
x
b
a
z
§2.4 同轴线及其中的高次波型
沿z轴传播的各种波型的电磁场满足波动方程
2 2 t H (r, ) Kc H (r, ) 0
2 2 t E(r, ) Kc E(r, ) 0
柱坐标下，电场和磁场为 ˆE (r, ) z ˆEr (r, ) E (r , ) r ˆEz (r, ) ˆH (r, ) z ˆHr (r, ) H (r , ) r ˆH z (r, ) 横向算子为
§2.4 同轴线及其中的高次波型
场结构 纵向场 结构见 图2-31
说明
(1) 电场只有径向（r向），磁场只有角向(φ向). (2) TEM波是无色散波型，即其相速不随工作频率变化，
而且相速和群速相等，都等于波的传播速度:vp=vg=v (3) 波导波长和工作波长相等：λg=λ
§2.4 同轴线及其中的高次波型
边界条件确定
当 r=a，r=b 时，Ez=0
即
B1J m K c a B2 N m Kc a 0
B1J m Kcb B2 N m Kcb 0
消去B1和B2，可得： J m Kc a N m Kcb J m K cb N m K c a 0
(2-155) (2-155)
特性阻抗：
可见Zc是唯一的，与TE或TM波不同
§2.4 同轴线及其中的高次波型
2.4.2 同轴线中的高次波型
• 用同轴线的主模TEM传输功率，不用高次模，即用单模传输；
• 为达到单模传输，就要研究高次模产生的条件；
• 当同轴线的尺寸与波长可比拟时，同轴线中出现高次模： 即E波和H波；
Kca/a=Kc. （３）m、n大于表中的值时：公式（2-163） 最低次TM波为 TM01：
c 2(b a)
§2.4 同轴线及其中的高次波型
(2-159) 近似Kc解
数值法 解析法
确定截止波数Kc
表2.6-1给出了m取不同值时，特征 方程的第一个根和第二个根的值。
§2.4 同轴线及其中的高次波型
当m给定，方程有无穷多个根Kc；一个根对应一个波型， 第n个根对应第n个波型，用TMmn表示。 m——场量沿圆周分布的整驻波的个数，即沿角向按三 角函数分布的周期数，也就是沿波导圆周场量重复的 次数 n——场沿径向Bessel函数出现0值的数目，表示场 量沿半径分布的半个驻波的数目。
在内导体上
ra
I0 H J s 2a
比较得
§2.4 同轴线及其中的高次波型
aJ s C
于是
I0 C 2
I 0 j z H e 2r
I 0 j z Er H e 2r
与书中结果, 相差系数 都是由激励条件决定.
I0 E0 2a
1. 写出矩形波导和圆波导的主模及其截止波长； 2. 画出矩形波导横截面的场结构图；
3. 圆波导中有二类简并波型，请写出所有简并波型。
§2.4 同轴线及其中的高次波型
同轴线：内、外导体构成的双导体传输线,如常见的同轴 电缆就是一种软的同轴线. 主模：TEM波 传输线理论分析 本节内容：从电磁场的角度，对TEM波、及TE波和TM波高次 波型加以讨论.
§2.4 同轴线及其中的高次波型
令
p b/a
则上式可写为
m（m=0, 1, 2… ）指 m阶Bessel函数和m阶 Neumann函数。
J m Kc a N m pKc a J m pKc a N m Kc a 0
——本征方程，Kc叫本征 值。这是一个超越方程 图解法
2 1 1 t2 2 2 2 r r r r
2
§2.4 同轴线及其中的高次波型
2.4.1 同轴线中的TEM波 （Hz=0, Ez=0）
2 t E(r, ) 0 2 t H (r , ) 0
考虑到同轴线的边界条件
Eφ=Hr=0
所以，TEM波的电场只有Er ，磁场只有Hφ分量 有这么多的分量为0，那么直接用Maxwell 方程组求剩余的场分量就非常方便了
§2.4 同轴线及其中的高次波型
TEM波的其余分量满足Maxwell方程组：
Er jH Er (2-148) z H jEr H (2-149) z
H Er
Er H
rH C
C为常
数，由 边界条 件决定
B (H ) 0 (2-150)
• 将同轴线应看作波导分析，采用圆柱坐标系，与圆波导相
似，满足同样的波动方程，只是边界条件不同。 • 图2-32给出了几个同轴线中的高次模 不讨论高次波型场量的表示式，只讨论它们的截止波长λc
§2.4 同轴线及其中的高次波型
1.TM波 直接把分析圆波导时得到的纵向场分量的通解用在 这里,它也是同轴线的纵向场分量的通解: cos m jz E z B1J m K c r B2 N m K c r C e (2-157) sin m
§2.4 同轴线及其中的高次波型
教材上给出3种情况下，截止波长的计算方法： （１）Kca和Kcb较大，且a、b相差不大时：
c
2 (b a ) n
(2-161)
与m无关，就是说，在某同轴线中，如果可以传输 TM01波，那么同时也可以传输TM11、TM21波TM31等波 型。最低次TM01波的截止波长为上式n=1时。 （２） Kca和Kcb较大， 且a、b相差较大时(n=1,2; m=0, 1, 2, 3)：
轴向电流：
2 I H dl 0 H rd I 0e jz (2-154) l
内外导体间电压：
U
b a Er dr
b a
I 0 j z I 0 b j z e dr ln e 2r 2 a
Zc U 60 b 138 b ln lg I r a r a
y
目的：抑制高次模
o
r
x
b
a
z
§2.4 同轴线及其中的高次波型
沿z轴传播的各种波型的电磁场满足波动方程
2 2 t H (r, ) Kc H (r, ) 0
2 2 t E(r, ) Kc E(r, ) 0
柱坐标下，电场和磁场为 ˆE (r, ) z ˆEr (r, ) E (r , ) r ˆEz (r, ) ˆH (r, ) z ˆHr (r, ) H (r , ) r ˆH z (r, ) 横向算子为
§2.4 同轴线及其中的高次波型
场结构 纵向场 结构见 图2-31
说明
(1) 电场只有径向（r向），磁场只有角向(φ向). (2) TEM波是无色散波型，即其相速不随工作频率变化，
而且相速和群速相等，都等于波的传播速度:vp=vg=v (3) 波导波长和工作波长相等：λg=λ
§2.4 同轴线及其中的高次波型
边界条件确定
当 r=a，r=b 时，Ez=0
即
B1J m K c a B2 N m Kc a 0
B1J m Kcb B2 N m Kcb 0
消去B1和B2，可得： J m Kc a N m Kcb J m K cb N m K c a 0
(2-155) (2-155)
特性阻抗：
可见Zc是唯一的，与TE或TM波不同
§2.4 同轴线及其中的高次波型
2.4.2 同轴线中的高次波型
• 用同轴线的主模TEM传输功率，不用高次模，即用单模传输；
• 为达到单模传输，就要研究高次模产生的条件；
• 当同轴线的尺寸与波长可比拟时，同轴线中出现高次模： 即E波和H波；
Kca/a=Kc. （３）m、n大于表中的值时：公式（2-163） 最低次TM波为 TM01：
c 2(b a)
§2.4 同轴线及其中的高次波型
(2-159) 近似Kc解
数值法 解析法
确定截止波数Kc
表2.6-1给出了m取不同值时，特征 方程的第一个根和第二个根的值。
§2.4 同轴线及其中的高次波型
当m给定，方程有无穷多个根Kc；一个根对应一个波型， 第n个根对应第n个波型，用TMmn表示。 m——场量沿圆周分布的整驻波的个数，即沿角向按三 角函数分布的周期数，也就是沿波导圆周场量重复的 次数 n——场沿径向Bessel函数出现0值的数目，表示场 量沿半径分布的半个驻波的数目。
在内导体上
ra
I0 H J s 2a
比较得
§2.4 同轴线及其中的高次波型
aJ s C
于是
I0 C 2
I 0 j z H e 2r
I 0 j z Er H e 2r
与书中结果, 相差系数 都是由激励条件决定.
I0 E0 2a