椭圆的焦点弦长公式

椭圆的焦点弦长公式
在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有 命题： 若椭圆的焦点弦F i F 2所在直线的倾斜角为
，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短
2ab 2
~2
2 2
a c cos
上面命题的证明很容易得岀，在此笔者只谈谈该命题的应用。

例1、已知椭圆的长轴长 AB 8，焦距F J F 2 4J2，过椭圆的焦点 F j 作一直线交椭
圆于P 、Q 两点，设 PF 1X
（0
长？
），当 取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴
PQ 是椭圆的焦点弦，且 a 4，c 2.. 2，从而b 2 2，故由焦
厂譬 —及题设可得：
2 4（2
•斗 4 2，解得
a c cos
16 8cos
2 2 2
a c cos —
3
cos 2 2，即 arc cos . 2
2 或 arc cos . 2 2。

例2、在直角坐标系中, 线|通过点F ，且倾斜角为 已知椭圆 E 的一个焦点为 F （ 3，1），相应于F 的准线为丫轴，直 —，又直线|被椭圆E 截得的线段的长度为 16
，求椭圆 3 5 E 的方程。

分析：由题意可设椭圆 E 的方程为（
X c 3） (y
21) 1，又椭圆 b 2
E 相应于
F 的准线为丫 轴，故有
a 2
（1），又由焦点弦长公式有
2ab 2
16
(2)又
a 2
b 2
(3) 。

解由
（1）、
2
（2）、（3）联列的方程组得：a 2
4，b 2
从而所求椭圆 E 的方程为
(x 4)2
(y 1)2
F i F 2
2
2a b
2及其应用 a c cos
分析：由题意可知
点弦长公式F 1F 2
半轴长和焦半距，则有
例3、已知椭圆C:
2
x
~2
a b2
1 （a b 0），直线h ：-丄1被椭圆
a b
长为2、2，过椭圆右焦点且斜率为..3的直线12被椭圆C截得的弦长是它的长轴长的
圆C的方
程。

2 2
分析：由题意可知直线h过椭圆C的长、短轴的两个端点，故有 a b 8，
由焦点弦长公式得
2ab2
~2 2 2
a c cos
4a
5
（2）因tan =、. 3，得一
3
b2 2 （4）。

解由（1）、（2 ）、（3 ）、（4）联列的方程组得：
a 6C截得的弦
2
，求椭
5
（1）又
（3）
，b22，
2 2
从而所求椭圆E的方程为—匚 1
6 2。