第3章 流体运动学

第3章 流体运动学

3.1 已知流体的速度分布为y u -=1x ；t u =y ，求t =1时过（0,0）点的流线及t =0时位于（0,0）点的质点轨迹。

解：（1）将y u -=1x ，t u =y 带入流线微分方程

y

x d d u y

u x =

得 t

y

y x d 1d =

- t 被看成常数，则积分上式得c y y xt +-=22

t =1时过（0,0）点的流线为02

2

=+-y y x （2）将y u -=1x ，t u =y 带入迹线微分方程

t u y u x d d d y

x ==得 t t

y

y x d d 1d ==- 解这个微分方程得迹的参数方程：1)1(c t y x +-=，22

2

c t y += 将0t =时刻，点（0,0）代入可得积分常数：01=c ，02=c 。 带入上式并消去t 可得迹线方程为：y y x 2)1(-=

3.2 给出流速场为2

2

2

(6)(10)25u x y t i xy t j k =++-++，求空间点（3,0,2）在t =1时的加速度。

解：根据加速度的定义可知：

d d d d d d d d u u x u y u z u a t x t y t z t t ∂∂∂∂=

=+++∂∂∂∂t u z u y u x

∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=u u u u z y x

226t y x u x ++=，)10(2t xy u y +-=，25=z u

a 在z y x ,,向分速度如下：

t t xy x t y x xy t

u

u z u u y u u x u t u a 2)10()6(2d d 2222x z x y x x x x x ++-++=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==

2222y d (6)2(110

0)d y y y y y x y z u u u u u a u u u y x y t xy xy t t

x

y

z

t

∂∂∂∂=

=

+

+

+

=-++++∂∂-∂∂0d d z z z y z x z z z =∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==

t

u

u z u u y u u x u t u a t =1时，点（3,0,2）的加速度为：8810a i j =--

3.3 已知流场的速度为kx u 2x =，ky u 2y =，kz u 4z -=，式中k 为常数。试求通过（1，0，1）点的流线方程。

解：将kx u 2x =，ky u 2y =，kz u 4z -=带入流线微分方程

z

y x d d d u z

u y u x ==得 kz z ky y kx x 4d 2d 2d -==即⎪⎪

⎩⎪⎪⎨⎧-=-=kz

z ky y kz

z kx x 4d 2d 4d 2d

k 被看成常数，则积分上式得2

1

22

x z c y z c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，将点（1，0，1）代入得0,121==c c

于是流线方程为2210

x z y z ⎧=⎪

⎨=⎪⎩

3.4 已知流场的速度为At u +=1x ，x u 2y =，试确定t=t o 时通过（x o ,y o ）点的流线方程。A 为常数。

解：将At u +=1x ，x u 2y =带入流线微分方程

y

x d d u y

u x =

得 x

y

At x 2d 1d =+

t 被看成常数，则积分上式得c y At x ++=)1(2

t=t o 时通过（x o ,y o ）点，得002

0)1(y At x c +-= 于是流线方程为2

2

000(1)(1)x At y x At y -+=-+

3.5 试证明下列不可压缩流体运动中，哪些满足连续方程，哪些不满足连续方程？ （1）ky u -=x ，kx u =y ，0z =u 。 （2）22x y x y u +-=

，2

2y

y x x

u +=，0z =u 。

（3）r k u /r =（k 是不为零的常数），0θ=u 。 （4）0r =u ，r k u /θ=（k 是不为零的常数）。

解：根据连续方程得定义，对于不可压缩流体=ρconst ，

在直角坐标系中当0z y x =⋅∇==∂∂+∂∂+∂∂u u div z

u y u x u 时，满足连续方程

（1）因

0z

y x =∂∂+∂∂+∂∂z

u y u x u ，满足 （2）因0)(2)(22

22222z y x =+-++-=∂∂+∂∂+∂∂y x xy

y x xy z u y u x u ，满足

在圆柱坐标系中当

01z

θr r =∂∂+∂∂+∂∂+z u u r r u r u θ时，满足连续方程 （3）因

00112z θr r =+-⋅=∂∂+∂∂+∂∂+r k r k r z u u r r u r u θ，满足 （4）因0001001z θr

r =+⋅++=∂∂+∂∂+∂∂+r

z u u r r

u

r u θ，满足 3.6 三元不可压缩流场中，已知3

22x z y x u +=，)(y zx yz xy u ++-=，且已知0=z 处

0z =u ，试求流场中的z u 表达式。

解：由不可压缩流场中连续方程

0z

y x =∂∂+∂∂+∂∂z

u y u x u 得 dz

du z x x z u z =++-=∂∂2z 积分得c z xz u z ++-=22

，由0=z 处0z =u 得c =0 所以流场中的z u 表达式为2

2

z xz u z +-=

3.7 二元流场中已知圆周方向的分速度为θsin 2θr

c

u -

=，试求径向分速度r u 与合速度0u 。

解：对于平面二维流场，0z =u ，连续方程为

01θ

r r =∂∂+∂∂+θ

u r r u r u ，代入解方程 3.8 三元不可压缩流场中522x ++=z x u ，32

2y -+=z y u ，且已知0=z 处0z =u ，

试求流场中的z u 表达式，并检验是否无旋？