苏教版数学高一- 数学苏教必修一练习.1指数函数及其图象

双基达标 (限时15分钟)

1．函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则a 的值是______．

解析 本题主要考查指数函数的定义，根据指数函数的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝1或a ＝2，a >0且a ≠1. ∴a ＝2.

答案 2

2．函数y ＝(18)－x ＋2的值域是________．

解析 由y ＝(18)－x ＋2＝23x －6，因(3x －6)∈R ，所以y ∈(0，＋∞)．

答案 (0，＋∞)

3．函数y ＝a x －3＋3(a >0且a ≠1)的图象恒过定点________．

解析 令x －3＝0，即x ＝3时，y ＝a 0＋3＝1＋3＝4，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝3y ＝4

. 答案 (3,4)

4．方程3x －1＝19的解是________．

解析 3x －1＝19＝3－2，∴x －1＝－2，x ＝－1.

答案 x ＝－1

5．函数y ＝(310)x 与y ＝(103)x 的图象关于________对称．

解析 由图象的对称法则知y ＝a x (a >0且a ≠1)与y ＝(1a )x (a >0且a ≠1)的图象关于y 轴对称，∵310＝1103

，

∴(310)x 与(103)x 的图象关于y 轴对称．

答案 y 轴

6．求函数y ＝2x

1＋2x

的定义域与值域． 解 函数的定义域为R .

∵y ＝2x 1＋2x ＝1＋2x －11＋2x ＝1－11＋2x

， 又2x ＞0,1＋2x ＞1，∴0＜

11＋2x

＜1， ∴0＜1－11＋2x ＜1， 故函数y ＝2x

1＋2x

的值域为(0,1) 综合提高 (限时30分钟)

7．函数f (x )与g (x )＝2x 的图象关于y 轴对称，且f (x )＞1，则x 的取值范围是________．

解析 由题意，得f (x )＝(12)x ，于是由(12)x ＞1，得x ＜0.

答案 (－∞，0)

8．定义运算a ⊗b ＝⎩⎨⎧ b ，a ≥b ，a ，a

则函数f (x )＝3－x ⊗3x 的值域为______． 解析 由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x ，x ≥0，3x ，x <0，

即f (x )＝⎩⎨⎧ (13)x ，x ≥0，3x ，x <0.

结合图象知，f (x )的值域为(0,1]．

答案：(0,1]

9．函数y ＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域是(－∞，0]，则a 的取值范围是________．

解析 由题要使y 有意义，则a x －1≥0⇔a x ≥1⇒a x ≥a 0

当0

当a >1时，x ≥0，不合题意，故0

答案 (0,1)

10．y ＝a x －1＋1(a ＞0且a ≠1)的图象一定经过一个确定的点________． 解析 ∵y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过定点(0,1)，y ＝a x －1恒过定点(1,1)， ∴y ＝a x －1＋1恒过点(1,2)．

答案 (1,2)

11．已知f (x )＝12(a x －a －x )，g (x )＝12(a x ＋a －x )(a ＞0，a ≠1)，求证：[f (x )2]＋[g (x )]2

＝g (2x )．

证明 [f (x )]2＋[g (x )]2＝14(a x －a －x )2＋14(a x ＋a －x )2

＝12(a 2x ＋a －2x )＝g (2x )．

12．若指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，求底数a 的值．

解 若a ＞1，当x ＝－1时，y min ＝1a ，

当x ＝1时，y max ＝a ，

由题意得a －1a ＝1，解得a ＝1＋52(舍去1－52)，

若0＜a ＜1，当x ＝－1时，y max ＝1a ，

当x ＝1时，y min ＝a ，

由题意得1a －a ＝1，解得a ＝－1＋52(舍去－1－52

)， 综上a ＝5±12.

13．(创新拓展)设f (x )＝12(a x ＋a －x )，g (x )＝12(a x －a －x )(a ＞0，a ≠1)．

(1)计算g (5)和f (2)·g (3)＋f (3)·g (2)，并写出它们之间的关系．

(2)由(1)的启示，你可猜想一个什么样的结论，并给出证明．

解(1)g(5)＝1

2(a

5－a－5)，f(2)·g(3)＋f(3)·g(2)＝

1

4(a

2＋a－2)(a3－a－3)＋

1

4(a

3＋a

－3)(a2－a－2)

＝1

2(a

5－a－5)，所以g(5)＝f(2)·g(3)＋f(3)·g(2)．

(2)由(1)猜想g(x＋y)＝f(x)·g(y)＋g(x)f(y)

证明如下：f(x)·g(y)＋g(x)·f(y)＝1

4(a

x＋a－x)(a y－a－y)＋

1

4(a

x－a－x)(a y＋a－y)＝

1

4

(a x＋y＋a y－x－a x－y－a－x－y＋a x＋y－a y－x＋a x－y－a－x－y)

＝1

2(a

x＋y－a－x－y)＝g(x＋y)，

所以g(x＋y)＝f(x)·g(y)＋g(x)·f(y)．