高数复习方案(函数和极限)

函数与极限

1. 集合：具有某种特性定性质的事物的总体成为集合

组成集合的事物叫做元素 设元素为a 集合为M 那么a ∈M

∈包含于，⊆⊂⊄并集，交集，子集，属于，不属于

∅空集

2. 设X ，y 是两个变量，D 是数集，按照一定的对应关系，总有唯一的y 和x 相对应，则说y 是x 的函数，记做y=f （x ），y 是因变量，x 是自变量。（简单一点说：x 在一个对应法则的机器搅和搅和就出来一个y ） F （D ）为值域 x ∈D 是定义域

函数的三要素：定义域 值域 对应法则

注意： 强烈建议只要写函数就写定义域 eg ：求下列函数的自然定义域

(1)y arcsin x 3=-（） (2)y tan x+1=（）

(3)1y arctan

x

=

3. 函数的特性

（1） 单调性：增函数 和 减函数

如

果

对

于

I

上任意两点

12

x x 及 ，当

1212x x f x x f x 时，恒有（）f （）成立，则称在I 上（）是增函数，反之则是减函数

注意：增减性在解间断点时候有重要性 （下文解释）

eg ：设f （x ）为定义在（-a ，a ）内的奇函数，若f （x ）在（o ，a ）上单点增加，证明f （x ）在（-a ，0）上也单点增加

（2）有界性： 则称f （x ）为有界函数

则函数在D 上面有界

注意：上界大于等上界 下界小于等于最小值 千万不要搞错了

（3） 奇偶性：奇函数特性

注意：奇偶性的定义与一定是对称的 不对称就没有这个性质而言

（4） 周期性：正弦余弦就是明显的特点 f （x+T ）=f （x ）

注意：如果一个函数关于两个直线对称，那么两个直线之间的距离是函数周期大小的一半。

4. 反函数和复合函数：反函数的定义域和值域和原函数相反 但是奇和

偶函数的反函数奇偶性质不变 。 复合函数的定于与要明确，增减为减 增增 减减为增 5. 数列的极限：如果给定的数列{ }，当变量n 趋近于无穷大时，数列

,x D ∀∈0,M ∃>(),f x M ≤,x D ∀∈0,M ∃>(),f x M ≤

趋近于一个常数a ，则称a 是数列的极限 当然如果a 不存在，说明这个函数是发散的 注意：课本P34 例题5 有证明函数极限，这个很重要 Eg

：证明：当0

x x 0lim x →=时，

6. 极限的性质：（1）唯一性，如果这个a 存在，那么一定是唯一的

假设不存在，那么不就和定义说函数是发散的吗 （2）有界性：

limf x a f x x →∞

=若（）存在，则函数（）有界

3）保号性：若n n

n n n 0n lim x a a

0a 0n

x 00x 00lim x N N →∞

≥→∞

=∃≥≤≤（或），则，当时，（），

反之，若（），则（0）

7.

数列的存在准则：（1）夹逼准则（2）单调有界函数必有界

eg ：证明222111

lim (

.......)2n n n n n n πππ

→∞

++++++=1 8.

我主要讲讲极限的一些重要求的方法：

（1） 两个重要极限x 1lim 1e x x →∞+

=（） 0sin x

lim 1x

x →=（有兴趣可以证明）

（2）

7个重要的等价无穷小 且都x →0

（1）

1

n

1

1x 1x n

+-（） （2）tan x x （3）arctan x x

（4）2

1arcsin x

x 51-cosx

x 2

（） （6）x e 1x - （7）ln

1x x +（） （3） 两个准则：夹逼 还有单调有界 （4）

有限个无穷小的乘积也是无穷小 有限个无穷小量的代数和仍

是无穷小

有界函数与无穷小的乘积也是无穷小 常数与无穷小的乘积仍是无穷小

（5）

利用极限的四则运算和指数预算 （6） 利用泰勒公式 （7） 洛比达法则

（8） 利用导数极限求极限

（9）

函数的性质求 因为数列是特殊的函数

注意：这里就有一些小方法了，有换元 等价代换 拆项求和 三角的和差化积 数列求和的公式 …

（10） 间断点和连续性

间断点：除去不成立的点，一般都是间断点

连续性：区间上每一点都连续的函数，就是在该区间连续，一定是不间断的 注意：可导的函数一定连续 连续的函数不一定可导

闭区间上连续函数一定有界

第一类间断点：可去和跳跃间断点

eg ：y x x 1=≠（） 且x=1 y= →可去间断点 第二类间断点：无穷间断点和震荡间断点

y=tanx x=

2π为无穷间断点 y=1

sin x

x=0为振荡间断点 （11） 渐近线：当变量无穷大时利用函数求极限一般都有a 值 （水平渐近线） 还有一些点 怎么看这些点呢，一般都是间断点的地方有渐近 （铅直渐近线） 0这点很重要

还有一个斜渐近线 说明图像到达一个点变化的斜率很小 这样的话 一般是图像上面有部分是直线

eg

求1x

e 的渐近线

课后练习 求下列极限（1）)x x o π

+

→ （2）21lim(sin cos )x x x x

→∞

+

（3）2sin()

lim(13)x x x →+

（4）

x →（5）0x → （6）1

034lim(

)2

x x x x →+