最新自动控制原理例题详解-线性离散控制系统的分析与设计考试题及答案说课讲解

----------2007--------------------
一、(22分)求解下列问题： 1. (3分)简述采样定理。

解：当采样频率s ω大于信号最高有效频率h ω的2倍时，能够从采样信号)(*
t e 中 完满地恢复原信号)(t e 。

（要点：h s ωω2>）。

2．(3分)简述什么是最少拍系统。

解：在典型输入作用下，能以有限拍结束瞬态响应过程，拍数最少，且在采样时刻上无稳态误差的随动系统。

3．(3分)简述线性定常离散系统稳定性的定义及充要条件。

解：若系统在初始扰动的影响下，其输出动态分量随时间推移逐渐衰减并趋于零，则称系统稳定。

稳定的充要条件是：所有特征值均分布在Z 平面的单位圆内。

4．（3分）已知X(z)如下，试用终值定理计算x (∞)。

)
5.0)(1()(2+--=
z z z z
z X
解： 经过验证(1)X()z z -满足终值定理使用的条件，因此，
211x()lim(1)X()lim
20.5
z z z
z z z z →→∞=-==-+。

5．(5分)已知采样周期T =1秒，计算G (z ) = Z [G h (s )G 0(s ) ]。

)
2)(1(1
e 1)()()(0++-==-s s s s G s G s G Ts h
解：11
1
1211
11(1)(1e )()(1)Z[](1)()s s 11e (1e )e z z z G z z z z z z z --------=--=--=+---++
6．(5分) 已知系统差分方程、初始状态如下：
)k (1)(8)1(6)2(=++-+k c k c k c ，c(0)=c(1)=0。

试用Z 变换法计算输出序列c (k )，k ≥ 0。

解：
22
()6()8()()
()(1)(68)3(1)2(2)6(4)1
(){2324},0
6
k k z C z C z C z R z z z z z
C z z z z z z z c k k -+===-+--+---=-⨯+≥ 二、（10分）已知计算机控制系统如图1所示，采用数字比例控制()
D z K =，
其中K >0。

设采样周期T =1s ，368.0e 1=-。

注意，这里的数字控制器D (z )就是上课时的()c G z 。

(i X s )
z 图1
1．（5分）试求系统的闭环脉冲传递函数
()
()
o i X z X z ； 2．（5分）试判断系统稳定的K 值范围。

解：1.
1011
1
1
11
1()(1)(1)11(1)1(1)()1e 11e 1e G G z z Z s s z Z s s z z z z z z z e z -------⎡⎤
=-⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=--⎢⎥+⎣⎦
=-----=---=
-
1
101
011111111e ()
()e 1e ()1()1e (1e )(e )(1e )(1e )e e o
i K X z KG G z z X z KG G z K z K z K K z K K ------------==-++--=-+--=-+- 2．（5分）特征方程为 1
1
e e
0z K K ---+-=
特征根为1
1
e e z K K --=-+ 欲使系统稳定，需满足条件 11e e 1z K K --=-+< 则使系统稳定的K 值范围为0 2.16K <<
三、(8分)设数字控制系统的框图如下
已知)
0067.01)(6065.01)(1()5355.01)(4815.11(7385.0)(1
11111---------++=z z z z z z z G ，T = 0.5秒，设计响应单位阶跃输入信号时的最少拍系统(要求给出Gc (z )及C (z )、E (z) )。

解：选取11()(1)(1b )e z z z Φ--=-+、11
()(11.4815)z az z Φ--=+；
(z)1()0.403,0.597e z a b ΦΦ=-⇒== （4分）
1111
()0.5457(10.6065)(10.0067)
()()()(10.597)(10.05355)
c e z z z G z G z z z z ΦΦ------==++； 111
1
()()()0.403(11.4815)1C z z R z z z z
Φ---==+-； 111
1
()()()(1)(10.597)
1e E
z z R z z z z
Φ---==-+- （4分） R (z )
C (z )
2007补考
一、求解下列问题：
1．(3分) 简述离散系统与连续系统的主要区别。

解：连续系统中，所有信号均为时间的连续函数；离散系统含有时间离散信号。

2．(3分) 简述线性定常离散系统的脉冲传递函数的定义。

解：在系统输入端具有采样开关，初始条件为零时，系统输出信号的Z 变换与输入信号的Z 变换之比。

3．(3分) 简述判断线性定常离散系统稳定性的充要条件。

解：稳定的充要条件是：所有特征值均分布在Z 平面的单位圆内。

4．(5分) 设开环离散系统如图所示，试求开环脉冲传递函数)(z G 。

解： 2
2522510252510()[][]25e e (e e )e
T T T T T
z z z G z Z Z s s z z z z -----=⨯==++---++ 5．(5分) 已知系统差分方程、初始状态如下：
0)(2)1(3)2(=++++k c k c k c ，c(0)=0，c(1)=1。

试用Z 变换法计算输出序列c (k )，k ≥ 0。

解：
221
11
2
()3()2()()32
()(1)(2),0
2
1k k k k z z z
z C z zC z C z z C z z z z z z z c k k z z --=-=-++=⇒=++=
+
=---≥++
二、（10分）已知系统结构如下图所示
采样周期T = 0.25秒，0.5e ()s K G s s -=，1e ()Ts
h G s s
--=， r (t )=t 。

1．（5分）试求系统的闭环脉冲传递函数；
2．（5分）试判断系统稳定的K 值范围。

解： 2.52 2.5 2.52(1e )0.393()(1e )e 1.6070.607
T T T K z K z
G z z z z z ----==
-++-+； 闭环脉冲传递函数为： ()
()1()
G z z G z Φ=+；
闭环特征方程为：
0607.0)607.1393.0(2=+-+z K z ；
)
稳定条件：
D (1) = 0.393 K > 0；(-1)2D (-1) =3.214 - 0.393K > 0； 得到
0 < K < 8.178。

三、(8分)设数字控制系统的框图如下:
已知)
6.01)(1()
53.01(47.0)(1111------+=z z z z z G ，T = 0.5秒，设计响应斜坡输入信号
r (t ) = t 时的最少拍系统(要求给出Gc (z )及C (z )、E (z) )。

解：选取12()(1)e z z Φ-=-、12()2z z z Φ--=-；2
11)1/()(---=z z z R
1111
()2(10.6)(1-0.5)
()()()0.74(10.53)(1)
c e z z z G z G z z z z ΦΦ-----==+-； 2112
2(10.5)
()()()(1)
z z C z z R z z Φ----==-； 1()()()e E z z R z z Φ-==
——————————————2008——————————————
一、
2．(3分) 写出脉冲序列*()x t 及其Z 变换X (z )的表达式。

解：
*
00
()()()
()()n n
n x t x nT t nT X z x nT z δ∞
=∞
-==-=∑∑
3．(3分) 写出离散系统稳态位置误差、速度误差、加速度误差系数表达式。

解：1
lim[1()]p z K G z →=+ (1分)
1
lim(1)()v z K z G z →=- (1分)
21
lim(1)()a z K z G z →=- (1分)
4．(3分) 写出输出采样信号的Z 变换C (z )。

解：()
()1()
G z C z R z HG z =
+() (3分)
R (z )
C (z )
7．(5分) 已知)(t x 的拉氏变换为)
()(a s s a
s X +=, 求)(t x 的Z 变换。

解：
11()11(1e )
()[][]1e (1)(e )
aT
aT aT X s s s a
z z z X z Z Z s s a z z z z ---=-
+-=-=-=
+---- (5分) 8．(5分) 已知差分方程、初始状态及输入，试用Z 变换法计算输出序列c (k )。

(2)5(1)6()()c k c k c k r k +-++=；(0)(1)0c c ==；()1(),0r k k k =>。

解：2()5()6()()z C z zC z C z R z -+=，()1
z
R z z =
- 2()(1)(56)(1)(2)(3)2(1)(2)2(3)
11()230
22k k z z z z z
C z z z z z z z z z z c k k =
==-+
--+------=-+⋅≥ (5分)
二．（9分）设离散系统的方框图如下图所示，设采样周期T =0.1s ，368.0e 1=-。

⊗()
R s T
-
1．（5分）试求系统的闭环脉冲传递函数； 2．（4分）试判断系统稳定的K 值范围。

1.系统的开环传递函数为
1010102
2
101
1()(10.1)(10)10(1e )1e (1)(e )0.6321.3680.368()0.632()1()(0.632 1.368)0.368
T T T
K G z Z KZ K s s s s s s z z Kz K z z z z Kz z z G z Kz
z G z z K z Φ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦
-⎡⎤
=-=⎢⎥----⎣⎦=-+==++-+ 2．闭环系统的特征方程为：2()(0.632 1.368)0.3680D z z K z =+-+= （1分）
方法一：1
1
w z w +=-，w 域特征方程为：
20.632 1.264(2.7360.632)0Kw w K ++-= 列出劳斯表：
210
0.632 2.7360.6321.2642.7360.632w K K
w w K
--
欲使系统稳定K 需满足：0.63200 4.332.7360.6320
K K K >⎧
⇒<<⎨->⎩
（3分）
方法二：利用朱利稳定判据判断：
0.3681(1)0.63200 4.33(1) 2.7360.6320D K K D K ⎧<⎪
=>⇒<<⎨
⎪-=->⎩ （3分）
三．(8分) 设数字控制系统的框图如下
⊗
()
R z -
已知1111110.761(10.046)(1 1.134)
()(1)(10.135)(10.183)
z z z G z z z z ------++=---，T = 1秒， 设计()1()r t t =时的
最少拍系统（要求给出数字控制器()c G z 及相应的C (z )、E (z ) )。

解：解：()G z 含有不稳定的零点，选取闭环脉冲传递函数为
11()(1)(1)e z z az Φ--=-+；11()(1 1.134)z bz z Φ--=+；1
1
()1R z z -=- （5分） 由()1()e z z ΦΦ=-解得0.53a =，0.47b =
1111111
1
()0.618(10.135)(10.183)
()()(10.046)(10.53)
0.47(1 1.134)
()()()1()()()10.5)3(e e c z z z G z z z z z z C z z R z z E z z z G R z z ΦΦΦΦ----------==
+++==
-==+
2010年
一、(25分)求解下列问题：
1．(3分)如图所示，写出f *( t)的数学表达式（ ）
*()()()o o n f t f nT t
nT δ∞
=-∞
=
-∑
T
2．(3分)在使用脉冲传递函数分析系统的动态响应和稳态误差时， 该系统应是（ B ）
A 输入等于零
B 初始状态等于零
C 输入和初始状态都等于零
D 输入和初始状态都不等于零
5．(3分)已知x (t )的拉氏变换为X (s ) = 2 / [ s (s + 2)]，则x (t )的
Z 变换X(z)为（ ）。

解：
)e )(1()e 1(e
1211)(222T T -T z z z z z z z s s Z z X -----=---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=。

6．(5分) 试用Z 变换法求解下列差分方程：
)()(8)(6)2(t r t c T t c T t c ****=++-+，)(1)(t t r =，)0(0)(≤=*t t c
解：)()(8)1(6)2(k r k c k c k c =++-+，0)1()0(==c c ；
2()(1)(2)(4)3(1)2(2)6(4)z z z z C z z z z z z z ==-+------；
1
()(2324)6
n n c nT =-⨯+，0≥n 。

7. (5分)试求下图所示闭环离散系统的脉冲传递函数()z Φ
解：11213()
()1()()()
G z z G G z G z G z Φ=
++
二（10分）设离散系统如图所示，要求: 1(3分)计算系统闭环脉冲传递函数。

2(3分)确定闭环系统稳定的K 值范围。

3(4分)设1T s =，t t r =)(时，若要求其稳态误差)(∞e ≤0.1，该系统能否稳 定工作？
解：1 （3分）开环脉冲传递函数为 11
22()[
](1)(1)(1)1
K Tz KT G z Z z K z s z z --=-=-=--； （1分） 闭环脉冲传递函数为
()()1()1G z KT
z G z z KT
Φ=
=+-+； （2分）
2 （3分）
特征方程 ()101D z z KT z KT =-+=⇒=-； （1分） 稳定时02/K T <<。

（2分） 3 （4分）
1
lim(1)(),
()/1/0.110
v z v K z G z KT e T K K K →=-=∞==≤⇒≥ （2分）
不满足稳定条件，不能稳定工作。

（2分） 三、离散系统如图所示，其中采样周期s T 1=，连续部分传递函数
)
1(1
)(+=
s s s G ，试求当)(1)(t t r =时，系统无稳态误差、过渡过程在最
少拍内结束的数字控制器()c G z 。

解
（1）系统的开环脉冲传递函数为
|1
1()(1)1(e T T z z G z Z s s z z -=⎡⎤⎡⎤
==-⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦1110.632(1)(10.368)z z z ---=--（3分） （2）当()1()r t t =时，[]1
1
1()11z Z t z z
-=
=--。

则 取1
()1e z z Φ-=-（满足稳态误差要求）（4分）
1()1()e z z z ΦΦ-=-=（抵消延迟环节）（4分）
（3）数字控制器脉冲传递函数为：
1
1()10.36(8 1.5820.582()()0.32
)6e c G z z z z G z z ΦΦ---===-（4分）
2011换
一、(25分)求解下列问题：
1．(5分) 试确定下列函数的终值)
1.0)(8.0()(2
--=z z z z E 。

解：0)
1.0)(8.0()1(lim
)(lim 2
11=---=-→∞→z z z z t e z t 2．(5分) 已知x (t )的拉氏变换为)
5)(2(10
)s (X ++=s s ，求x (t )的Z 变换。

解：
]5
1
21[310])5)(2(10[
)(+-+=++=s s Z s s Z z G
252251010(e e )()3(e e )e T T T T T
z
G z z z ------=-++。

3．(6分) 已知系统差分方程、初始状态如下：
0)(6)1(11)2(6)3(=++++++k c k c k c k c ，1)1()0(==c c ，0)2(=c 。

试用Z 变换法计算输出序列c (k )，k ≥ 0。

解：
)
3(2527)1(211)3)(2)(1(177)(23+++-+=+++++=z z
z z z z z z z z z z z C
n n nT c )3(5.2)2(7)1(5.5)(n -⨯+-⨯--=
4．(3分)在使用脉冲传递函数分析系统的动态响应和稳态误差时， 该系统应是（ B ）
A 输入等于零
B 初始状态等于零
C 输入和初始状态都等于零
D 输入和初始状态都不等于零
6．(3分)写出输出采样信号的Z 变换C (z )。

解：()
()1()
G z C R z HG z =
+(z)
二、（10分）设离散系统如图所示，其中1T s =，试分别讨论当K=2和K=3时 系统的稳定性。

（368.0e 1=-）
解：
11
22
1
1
1111()[
](1)(1)[](1)1
(e 12e )(1)(e )
K G z Z z K z Z s s s s s K z z z -----=-=---+++-=
-- （3分）
2()(0.37 1.37)0.260.370D z z K z K =+-++= （3分）
解得0<K <2.38 （2分）
故K =2时系统稳定，K =3时系统不稳定。

（2分） 三、(10分) 设数字控制系统的框图如下:
已知)
6.01)(1()
53.01(47.0)(1
111------+=z z z z z G ，T = 0.5秒，设计响应斜坡输入信号 r (t ) = t 时的最少拍系统(要求给出Gc (z )及C (z )、E (z) )。

解：选取12()(1)e z z Φ-=-、12
()2z z z Φ--=-；
211)1/()(---=z z z R （3分）
1111
()2(10.6)(1-0.5)
()()()0.74(10.53)(1)
e z z z Gc z G z z z z ΦΦ-----==+-；（3分） 2112
2(10.5)
()()()(1)
z z C z z R z z Φ----==-；（2分） 1()()()e E z z R z z Φ-== （2分）
R (z )
C (z )
分式的基本性质
学习目标：
1.理解分式的基本性质。

2.了解运用分式的基本性质进行分式的变形。

3.通过类比分数的基本性质，探索分式的基本性质，初步掌握类比的思想方法。

4.通过研究解决问题的过程，培养学生合作交流意识与探究精神
重点：理解分式的基本性质。

难点：运用分式的基本性质进行分式化简
一．课前预习：
活动1 复习分数的基本性质
1. 观察下列等式的右边是怎样从左边得到的？你能用分数的基本性质解释吗?
（1）等式63=2
1的右边是怎样从左边得到的？（ ） （2） 等式52=15
6--的右边是怎样从左边得到的？（ ）
2.分数的基本性质是什么？需要注意的是什么？
类比分数的基本性质，你能猜想出分式有什么性质？
分数的基本性质是______________________________________
______________________________________________
活动2 类比得到分式的基本性质
1.若a 、x 、y 都是不为0的数，将
x 1的分子与分母都乘以y ，得到xy y 2.分式x
1与xy y 相等吗？ 3.将分式
ax x 2的分子与分母都除以x ，得到a 2，分式ax x 2与a 2相等吗？
4.如何用语言和式子表示分式的基本性质？。