专题六：共顶点的等腰直角三角形

手拉手模型：共点的双等腰直角三角形
一、共直角顶点的双等腰直角三角形
手拉手的含义：如图，已知两个共直角顶点O的等腰Rt△AOB和等腰Rt△COD
正面看向△AOB，将之扶正，保持头部O在上，则A为“左手”，B为“右手”；同理，正面看向△COD，将之扶正，保持头部O在上，则C为“左手”，D为“右手”.紧接着进行拉手操作，理应产生两种情形，即“左手拉左手，右手拉右手”和“左手拉右手，右手拉左手”，分而治之！
情形一：左手拉左手，右手拉右手（手拉手全等模型）
连接左手A与左手C，连接右手B与右手D，请证明下列结论：
（1）形的角度：如图1，△AOC≌△BOD.
（2）线的角度：如图1，AC=BD且AC⊥BD.
（3）角的角度：如图2，若AC和BD相交于点E，则OE平分∠BEC，即∠BEO=∠CEO=1/2∠BEC=45°.
情形二：左手拉右手，右手拉左手（婆罗摩笈多模型）
连接左手A与右手D，连接右手B与左手C，则又构成了所谓“婆罗摩笈多模型”，请证明下列结论：
（1）如图1，S△AOD=S△BOC.
（2）如图2，取BC中点M，连接MO并延长交AD于N，则ON⊥AD，且OM=1/2AD.（中线变高）
（3）如图3，过点O作ON⊥AD于N，延长NO交BC于M，则M为BC中点，且OM=1/2AD.（高变中线）
二、共45°底角顶点的双等腰直角三角形
如图，等腰Rt△AOB和等腰Rt△COD共底角顶点O，且公共顶点O、直角顶点与另一底角顶点均按相同顺序排列（如此图均为顺时针方向排列）. 若将两直角顶点A、C和另两个底角顶点B、D相连，则构成了经典的“手拉手相似模型”，如下图.请证明：
（1）形的角度：旋转相似必成对△AOB∽△COD（老相似），△AOC∽△BOD（新相似）.
（2）线的角度：AC、BD的数量关系为AC：BD=OA：OB=OC：OD=1：根号2；AC、BD的位置关系为两线夹的锐角=45°.
情形二：逆序脚拉脚
1.如图，等腰Rt△AOB和等腰Rt△COD共底角顶点O，且公共顶点O、直角顶点与另一底角顶点逆序排列（如下图中O、
A、B为逆时针排列，而O、C、D为顺时针排列）. 不妨将
B、D看作两个等腰Rt三角形的两只脚，连接两脚，即形成了经典的“脚拉脚模型”（也叫“脚勾脚模型”）.请证明下列结论：
（1）取拉脚线BD上的中点M，分别与两直角顶点相连，则有结论AM=CM且AM⊥CM
2. 若将双等腰直角三角形弱化为两个逆序等腰三角形共底角顶点，且顶角互补，再连接另一组底角顶点并取中点，则该中点与两顶角顶点构成直角三角形.请证明：
如上图，△ABO中，AB=AO，△COD中，CO=CD，且∠OAB+∠OCD=180°，取BD中点，则有AM⊥CM.
【举一反三练习】
1．【操作发现】
如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′；
（2）在（1）所画图形中，∠AB′B＝．
【问题解决】
如图②，在等边三角形ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：
想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找P A，PB，PC三条线段之间的数量关系；
想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找P A，PB，PC三条线段之间的数量关系．
…
请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可）
【灵活运用】
如图③，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．
2．我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD 叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝BC；
②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为．
猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，AB＝2．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△P AB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△P AB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．
3．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是，CE与AD的位置关系是；
（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；
（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝2，BE＝2，求四边形ADPE的面积．4.在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中点，连接PG、PC．
（1）如图1，当点G在BC边上时，易证：PG＝PC．（不必证明）
（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明；
（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．
思考1：以上三问中△BFG的位置均为特殊位置，若将△BFG绕点B旋转，在旋转过程中，以上结论（CP⊥PG，PG= PC）还成立吗？
【思考2】如果将菱形和等边三角形换成其他图形呢，结论还成立吗？
如图，正方形ABCD与正方形BEFG，点P为DF中点，连接AP、EP，则AP与EP有怎样的位置关系和数量关系？。