博弈论及其在决策中的应用

并称之为纯策略集合。
并记支付矩阵为A={aij}， G {S1, S2 , A}
那么，矩阵博弈可简记为
它表示出了一个博弈的三个要素。
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例4: 设某个矩阵博弈为G={S1，S2，A}
其中策略集分别为S1={α1，α2，α3}.
S2={β1,β2,β3}，
β1，β2，β3，
α1，
此类对策也 称为有鞍点 的博弈均衡 解，或者是 称纯策略意 义下有解
恰好等于 每列中的最大值当中的最小者
在例子中，max i
min j
aij

a23

2
与
min j
max i
aij

a23
2 相等
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但有些矩阵博弈在纯策略意义下无解
例如，小孩们玩的“石头、剪子、布”游 戏这个博弈就没有纯策略意义下的解。
若某个策略S*=（S1*，S2*，…，Sn*）∈S，使 得满足某种均衡性质和条件，则称该策略S*为S 的均衡点（或均衡解），对应的支付为均衡支付 P(S*)
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博弈论的分类
策略型博弈（Strategic form）: 用支付矩阵表示。 如例1，例2。
扩展型博弈 ( Extensive form）：用对策树表示。 如例3。
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§6.2 两人零和博弈（矩阵博弈）
对于这种特殊博弈问题的支付矩阵，可用普通矩 阵（即只写出第一局中人的得益，省略第二局中 人的得益）表示。
假设，各局中人的策略和支付是“共同知识 （common knowledge ）”，即每一局中人不但 知道自己的策略集合和支付，而且也知道对方的 策略集与支付，还知道对方知道我知道这些。
所以，用混合策略的概念更具有一般性。
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在混合策略意义下，得益就成为期 望得益的概念
在局势（x, y）下，局中人Ⅰ得到的 期望（平均值的含义）支付为
mn
E(x, y)
aij xi y j xT Ay
i1 j 1
而局中人Ⅱ的期望支付为 －E（x,y）
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定义2 ：设矩阵对策为G=（S1，S2，A）
发展至今，博弈论已经成功应用于经济、 管理、军事、政治等诸多领域，已经成为 经济研究和决策的重要工具。
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本章简明介绍博弈论的基本概念、 基本方法及其在决策中的应用
博弈现象普遍存在于军事、政治、经济、 管理、科技等竞争活动中。虽然，博弈来 源于竞争，但并非所有竞争都构成博弈。
例如，小孩之间玩投掷一颗筛子的竞赛， 谁掷出的点数多则为获胜者，这不是博弈， 但如果玩石头、手绢等游戏就构成博弈。
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所以，构成博弈有三个要素：
1.局中人或参与人（player）：有权决定选择何种策略的参 加者。
根据局中人的多少，分为两人对策和多人对策
2. 策略(Strategy)和策略集：在每局对策中，参加对策的局中 人都有可供实际选择的完整的行动方案，成为策略集合。 其中，一种方案成为一个策略。如，{石头，剪子，布} 就是一个策略集。
到了20世纪80年代，博弈论已经受到 世界各国经济与管理学家的重视，并 认为是经济理论分析和决策的核心方 法，列为西方经济学有关专业学生的 一门必修课程。
在此期间，博弈论的思想、概念和方 法在经济学和管理学杂志上大量涌现， 在世界范围内兴起一股学习和研究博 弈论的热潮。
4
特别是在1994年10月份，瑞典皇家科学院宣布 该年度的诺贝尔经济学奖授予美国普林斯顿大学
我国早在古代时期的《孙子兵法》就闪烁着 对策论的思想光辉。田忌与齐王赛马的故 事就是一个经典的博弈故事。
2
1944年，冯·诺依曼（Von·Neumann） 与摩根斯坦（Morgenstern）合著发表了 《对策论与经济行为》一书，开创了对策 论的系统化、公理化的研究。
3
博弈在经济决策中的应用
所以要构成一个博弈问题，必须具备一定 条件
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§6.1 博弈论的基本概念
例1：儿时的游戏：“石头、剪子、布”。规则 为每人从中确定一种出法，出法确定后，就决定 了一个“局势”，并确定每个人的输赢。
游戏规则规定：获胜者得1分，输者得 -1分，出 现平手时各得0分，则可以把各种可能的局势和 得分情况表示为如下一个矩阵：
并称该对策G的值为2。
6 2 6
注意到这里的元素a23满足不等式
ai3 a23 a2 j (i 1,2,3; j 1,2,3)
有下面的定义
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定义1：对于矩阵博弈G=（S1，S2，A）
如果有某个局势满足
( i* , j* ), 满足aij* ai* j* ai* j (i 1,2,.., m; j 1,2,..., n)
并称x*,y*分别为两局中人的最优策略。
E（ x*,y* ）称为对策G在混合扩充下的值
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TH2：矩阵对策G=（S1，S2，A）
在混合扩充意义下，对策G有解的充分必 要条件是
max min E(x, y) min max E(x, y)
分别是定义在纯策略集S1和S2上的概率分布（即每个
分量上的数值是概率的含义，且分量数值之和为 1），则称它们分别是局中人Ⅰ、Ⅱ的混合策略， （x，y）称为混合局势。
这样，以前的纯策略可以看作是混合策略的特殊 情况。
实际上，当局中人Ⅰ选取纯策略αi时，可以看作
他选取了混合策略 ei (0,..., 0,1,0,..., 0)T
博弈的所有参与者称为局中人(player)，当然至 少有两个 ；并且利益完全一致的多个参与者应视 为一个局中人。如打桥牌中的相对而坐的两个人 算作一个局中人。
每一局中人都有一套可供选择的方案或办法对付 对方，这样的一套备选方案称为策略或战略 （strategy）；
局中人各自选定某一策略之后就会形成某种局势
现在的问题是，局中人要独立的选择自己的策略， 并且在不知对方到底要选取哪个策略的条件下， 要使得自己得到最大的得益（或赢得）。
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先介绍一般概念和符号表示：
假设两个局中人为Ⅰ、Ⅱ，局中人Ⅰ有m 个纯策略α1，α2，…,αm.
局中人Ⅱ有n个纯策略β1,β2,…, βn
记为
S1 {1, 2 ,..., m}, S2 {1, 2 ,..., n }
如果厂商Ⅰ率先进入市场，并选择一种产 出水平，然后厂商Ⅱ再进入市场，并选择 相应的产出水平，这一市场竞争过程可用 “对策树”描述如下：
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（3，2） （2，4） （6，3）
（4，6）
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上面的为终 点
B1
B2
厂商Ⅱ
B1
B2
厂商Ⅱ
A1
A2
厂商Ⅰ
底下的为顶点
进入市场有先后顺序时的决策树
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在以上例子中，可以看到
支付矩阵为
α2，
1 4 2
α3
A


5
3
2

6 2 6
由于局中人都是理性人，每一局中人必然会考 虑到对方会设法使自己获益最少，同时自己又 力求在各种可能情况下谋求自己的最大利益。
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因此，局中人Ⅰ应该在最不利的情况下寻找最大赢得,
即应在
min j
aij
(i
第6章 博弈论及其在决策中的 应用
内容概览 §6.1 博弈论的基本概念 §6.2 零和博弈（矩阵博弈） §6.3 二人非零和博弈 §6.4 博弈论在经济决策中的应用
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博弈论(Game Theory) ，又称对策论，策略 运筹学等，是研究竞争策略运筹的科学， 或者说是研究具有竞争、冲突等问题的科 学，其应用始终与经济决策有密切的联系， 在市场竞争中大有用武之地。
上述两种博弈中，若各局中人之间不能协商或订 立有约束力的协议，称为非合作博弈。
否则，若局中人之间存在有约束力的协议，称为 合作博弈。
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其中，重点介绍两人零和博弈，又 称矩阵博弈。意思是满足两条件
1. 局中人有两人：可以是公司、个人或团体， 也可以是大自然等虚拟的局中人
2. 零和：，在每一局势下，两人的支付之和 为0
甲 乙 石头
剪子 布
石头 （0，0）（1，-1）（-1，1）
剪子 （-1，1）（0，0）（1，-1）
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布
（1，-1）（-1，1）（0，0）
在这个例子中，有玩者、策略及其策略集合、 以及损益函数（支付函数） 1.局中人或参与人（player）：两个小孩
2. 策略(Strategy)和策略集：{石头，剪子，布}

1,2,3)中求最大
而局中人Ⅱ也应在最不利的情况下寻找最大赢得,即
应在
min i
(aij
)


max
i
aij
(
j

1,2,3)
中求最大
即，二人都遵循“小中取大”原则来选取策略，即在 最不利的各种可能之中寻找最有利的策略。
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由于
max i
min j
aij
a23
2
和
max j
(
max
0 1 1
1 0
1

1 1 0
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例2：囚徒困境问题
支付矩阵为
囚徒B
坦白
抵赖
囚徒A
坦 白

(8,8)
(0,10)
抵 赖
(10,
0)
(1,1)
此例中两人得益之和不等于0，称为二人非零和 博弈。
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例3 ：两厂商生产产量的博弈问题
某地区有Ⅰ、Ⅱ两个厂商生产同一类产品， 为了占领市场，各自制定了自己的产销计 划，假设两个局中人各有两种产出水平， 记为（A1，A2）和（B1，B2）.
则称局势
(i*, j* )
为对策G的解， 此时，αi* 和βj* 分别为
二局中人的最优纯策略，
称 ai* j* 为对策G的值。
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TH1：矩阵博弈G=（S1，S2，A）
在纯策略意义下有解 的充分必要条件是
max i
min j
aij
min j
max i
aij
即每行中的最小值当中的最大者
３.支付函数(Payment): 得到的分数。 一般双方会形成一个得益矩阵
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而且，在此问题中
同一局势下，两个局 中人的得益之和等于 0，这样的博弈模型 称为二人零和博弈。
对于这类特殊的二人 零和博弈，其得益矩 阵可简化为只写出第 一个局中人（或参与 人）的得益即可，在 上例中，支付矩阵可 简化写为：
根据策略集中元素个数多少，可分为有限对策与无限对策 ３.支付函数(Payment): 又称为赢得函数，是指每一局对策结
束之后，对其中一个局中人来说，其得到的成果（也许 是物质或现金之类的收入或支出），统称为得益。常常 以某一函数统一表示。
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博弈模型的表示
一般形式：G={I，S，P} 其中，I表示居中人的集合； S为策略集合； P表示支付函数。
（situation），其中两个局中人各有所得，称为 支付或得益(payment)或支付函数（payoff function），它依赖于局势 。
若列出的是矩阵形式则称为支付矩阵 。
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博弈模型的三个要素
局中人（参与人，player） 策略（战略, strategy） 支付函数（得益, 赢得， payment）
i
aij
)

min j
max i
aij

a23

2
可知，局中人Ⅰ应选择α2，局中人Ⅱ 应选择β3，这时局势（α2，β3）是
β1，β2，β3，
最稳定的，称该局势为该对策的均衡 α1，
解。
α2，
策略α2和β3分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ α3 的最优纯策略；
1
A


5
4 3
2
2

数学教授约翰·纳什(J. Nash)、加州大学教 授约翰·哈萨尼(J. Harsanyi) 和德国波恩 大学教授瑞哈德·泽尔滕 (Reinhard·Selten) 三人，以表彰他们把 博弈论应用到现代经济分析所做的贡献， 使得博弈论在世界范围内影响更大。
5
1994年、2001年和 2005年诺贝尔经济 学奖都颁发给了在博弈论方面做出了突出 贡献的数学家和经济学家，更加显示了博 弈论在经济学研究和应用中的地位。
X，Y分别为两局中人的混合策略集。对于x∈X, y∈Y, E(x,y)是局中人Ⅰ的期望支付，则称G*={X，Y，E} 为G的混合扩充。
如果存在x*∈X, y*∈Y,使得 E(x, y*) E(x*, y*) E(x*, y)
对一切x∈X, y∈Y都成立，则称（x*,y*）为混合扩充 中的解，
但我们还是可以凭直觉设想得出答案，该 博弈中的每个局中人应该以1/3的等可能性 随机地选取各种策略，才是最优的。
于是，在没有纯策略意义下的最优解的情 况下，就产生了混合策略的概念。
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定义：设
混合策略的概念
x (x1, x2 ,...,xm )T
y ( y1, y2 ,...,yn )T