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近世代数教学精品
高度的抽象是近世代数的显著特点，它 的基本概念：群、环、域，对初学者也是很抽 象的概念，因此，在本课程的学习中，大家要 多注意实例,以加深对概念的正确理解。
近世代数的习题，因抽象也都有一定的 难度，但习题也是巩固和加深理解不可缺少的 环节，因此，应适当做一些习题，为克服做习 题的困难，应注意教材内容和方法以及习题课 内容。
阿贝尔
加罗华
被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入 研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、 “伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理 论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透 彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断 几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方 体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代 替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数 学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展 产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构 主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。
近世代数理论的三个来源
(1) 代数方程的解 (2) Hamilton四元数的发 (3) Kummer理想数的发现
（1） 代数方程的解
两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开 ax2+bx+c=0 方法解二次方程 。16世纪初欧洲 文艺复兴时期之后，求解高次方程成为欧洲代 数学研究的一个中心问题。1545年意大利数学 家 G.Cardano(1501-1576)在他的著作《大术》 （Ars Magna）中给出了三、四次多项式的求根 公式，此后的将近三个世纪中人们力图发现五 次方程的一般求解方法，但是都失败了。
主要参考书
1. 1．B．L．瓦德瓦尔登著：代数学Ⅰ、 Ⅱ卷，科学出版社，1964年
2. N．贾柯勃逊著：抽象代数1、2、3 卷，科学出版社，1987年出版
3. <<近世代数基础>>，张禾瑞 ，高等 教育出版，1978年修订本。 4．刘绍学著：近世代数基础，高等教 育出版社，1999年出版
5．石生明著：近世代数初步、高等教育出版 社，2002年出版 6.《近世代数》，吴品山，人民教育出版社， 1979。 7.《抽象代数学》，谢邦杰，上海科学技术出 版社， 1982。 8.《抽象代数基础》，刘云英，北京师范大学 出版 社，1990年。
近世代数是在19世纪末至20世纪初发展起来的 数学分支。
源自文库
Kummer的想法是：如果上面的方程有正 整数解，假定η是一个n次本原单位根，那么 xn+yn=zn 的等式两边可以作因子分解 zn=(x+y)(x+ηy)…(x+ηn-1y),象整数中的因子分解 一样，如果等式右边的n个因子两两互素，那么 每个因子都应是另外一个“复整数”的n次方幂,
进行适当的变换之后有可能得到更小的整数 x1,y1,z1使 xn+yn=zn 成立，从而导致矛盾。如果 上面等式右边的n个因子有公因式，那么同除这 个公因式再进行上面同样的讨论。
（3）Kummer理想数的发现
17世纪初法国数学家费马(P.Fermat 1601-1665） 研究整数方程时发现当n≥3时，方程
xn+yn=zn 没有正整数解，费马认为他能够证明这个 定理，但是其后的三百多年中人们研究发现这是一个 非常困难的问题，这一问题被后来的研究者称为费马 问题或费马大定理，此定理直到1995年才被英国数学 家A.Wiles证明。对费马问题的研究在三个半世纪内从 未间断过，欧拉、高斯等著名数学家都对此作出过重 要贡献。但最重大的一个进展是由E.Kummer作出的。
直到1824年一位年青的挪威数学家 N.Abel (1802-1829) 才证明五次和五次以上的一般代数方程 没有求根公式。但是人们仍然不知道什么条件之下一 个已知的多项式能借助加、减、乘、除有理运算以及 开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不能求根。
最终解决这一问题的是一位法国年青数学家 E.Galois(1811—1832)，Galois引入了扩域以及群的 概念，并采用了一种全新的理论方法发现了高次代数 方程可解的法则。在Galois之后群与域的理论逐渐成 为现代化数学研究的重要领域，这是近世代数产生的 一个最重要的来源。
(2)Hamilton四元数的发现
长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来发现 可以把复数看成二元数(a,b)=a+bi，其中i2= -1。二元数按 (a,b)±(c,d)=(a±c,b±d)，(a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd)的法则进行代 数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面上的点一一对应。 这是数学家高斯提出的复数几何理论。二元数理论产生的一个 直接问题是：是否存在三元数？经过长时间探索，力图寻求三 元数的努力失败了。但是爱尔兰数学家W.Hamilton(1805-1865) 于1843年成功地发现了四元数。四元数系与实数系、复数系一 样可以作加减乘除四则运算，但与以前的数系相比，四元数是 一个乘法不交换的数系。从这点来说四元数的发现使人们对于 数系的代数性质的认识提高了一大步。四元数代数也成为抽象 代数研究的一个新的起点，它是近世代数的另一个重要理论来 源。
Kummer方法的前提是形如a+bη的复整数也象 整数一样具有唯一的素因子分解，其中a与b是通 常整数。并不是对于每个整数n,复整数a+bη都具 有唯一分解性，Kummer把这种复整数的因子分解 称为理想数的分解。
用这种方法 Kummer证明了n≤100时费马大定 理成立,理想数的方法不但能用于费马问题研,实 际上是代数数论的重要研究内容，其后德国数学 家R.Dedekind(1831-1916)把理想数的概念推广为 一般的理想论，使它成为近世代数的一个重要的 研究领域。
高度的抽象是近世代数的显著特点，它 的基本概念：群、环、域，对初学者也是很抽 象的概念，因此，在本课程的学习中，大家要 多注意实例,以加深对概念的正确理解。
近世代数的习题，因抽象也都有一定的 难度，但习题也是巩固和加深理解不可缺少的 环节，因此，应适当做一些习题，为克服做习 题的困难，应注意教材内容和方法以及习题课 内容。
阿贝尔
加罗华
被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入 研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、 “伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理 论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透 彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断 几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方 体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代 替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数 学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展 产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构 主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。
近世代数理论的三个来源
(1) 代数方程的解 (2) Hamilton四元数的发 (3) Kummer理想数的发现
（1） 代数方程的解
两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开 ax2+bx+c=0 方法解二次方程 。16世纪初欧洲 文艺复兴时期之后，求解高次方程成为欧洲代 数学研究的一个中心问题。1545年意大利数学 家 G.Cardano(1501-1576)在他的著作《大术》 （Ars Magna）中给出了三、四次多项式的求根 公式，此后的将近三个世纪中人们力图发现五 次方程的一般求解方法，但是都失败了。
主要参考书
1. 1．B．L．瓦德瓦尔登著：代数学Ⅰ、 Ⅱ卷，科学出版社，1964年
2. N．贾柯勃逊著：抽象代数1、2、3 卷，科学出版社，1987年出版
3. <<近世代数基础>>，张禾瑞 ，高等 教育出版，1978年修订本。 4．刘绍学著：近世代数基础，高等教 育出版社，1999年出版
5．石生明著：近世代数初步、高等教育出版 社，2002年出版 6.《近世代数》，吴品山，人民教育出版社， 1979。 7.《抽象代数学》，谢邦杰，上海科学技术出 版社， 1982。 8.《抽象代数基础》，刘云英，北京师范大学 出版 社，1990年。
近世代数是在19世纪末至20世纪初发展起来的 数学分支。
源自文库
Kummer的想法是：如果上面的方程有正 整数解，假定η是一个n次本原单位根，那么 xn+yn=zn 的等式两边可以作因子分解 zn=(x+y)(x+ηy)…(x+ηn-1y),象整数中的因子分解 一样，如果等式右边的n个因子两两互素，那么 每个因子都应是另外一个“复整数”的n次方幂,
进行适当的变换之后有可能得到更小的整数 x1,y1,z1使 xn+yn=zn 成立，从而导致矛盾。如果 上面等式右边的n个因子有公因式，那么同除这 个公因式再进行上面同样的讨论。
（3）Kummer理想数的发现
17世纪初法国数学家费马(P.Fermat 1601-1665） 研究整数方程时发现当n≥3时，方程
xn+yn=zn 没有正整数解，费马认为他能够证明这个 定理，但是其后的三百多年中人们研究发现这是一个 非常困难的问题，这一问题被后来的研究者称为费马 问题或费马大定理，此定理直到1995年才被英国数学 家A.Wiles证明。对费马问题的研究在三个半世纪内从 未间断过，欧拉、高斯等著名数学家都对此作出过重 要贡献。但最重大的一个进展是由E.Kummer作出的。
直到1824年一位年青的挪威数学家 N.Abel (1802-1829) 才证明五次和五次以上的一般代数方程 没有求根公式。但是人们仍然不知道什么条件之下一 个已知的多项式能借助加、减、乘、除有理运算以及 开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不能求根。
最终解决这一问题的是一位法国年青数学家 E.Galois(1811—1832)，Galois引入了扩域以及群的 概念，并采用了一种全新的理论方法发现了高次代数 方程可解的法则。在Galois之后群与域的理论逐渐成 为现代化数学研究的重要领域，这是近世代数产生的 一个最重要的来源。
(2)Hamilton四元数的发现
长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来发现 可以把复数看成二元数(a,b)=a+bi，其中i2= -1。二元数按 (a,b)±(c,d)=(a±c,b±d)，(a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd)的法则进行代 数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面上的点一一对应。 这是数学家高斯提出的复数几何理论。二元数理论产生的一个 直接问题是：是否存在三元数？经过长时间探索，力图寻求三 元数的努力失败了。但是爱尔兰数学家W.Hamilton(1805-1865) 于1843年成功地发现了四元数。四元数系与实数系、复数系一 样可以作加减乘除四则运算，但与以前的数系相比，四元数是 一个乘法不交换的数系。从这点来说四元数的发现使人们对于 数系的代数性质的认识提高了一大步。四元数代数也成为抽象 代数研究的一个新的起点，它是近世代数的另一个重要理论来 源。
Kummer方法的前提是形如a+bη的复整数也象 整数一样具有唯一的素因子分解，其中a与b是通 常整数。并不是对于每个整数n,复整数a+bη都具 有唯一分解性，Kummer把这种复整数的因子分解 称为理想数的分解。
用这种方法 Kummer证明了n≤100时费马大定 理成立,理想数的方法不但能用于费马问题研,实 际上是代数数论的重要研究内容，其后德国数学 家R.Dedekind(1831-1916)把理想数的概念推广为 一般的理想论，使它成为近世代数的一个重要的 研究领域。