从算术到代数

专题03从算术到代数

阅读与思考

算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.

用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上，从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃.用字母表示数有如下特点：

1.任意性

即字母可以表示任意的数.

2.限制性

即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义.

3.确定性

即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定.

4.抽象性

即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义.

例题与求解

【例1】研究下列算式，你会发现什么规律：

1×3＋1＝4＝22

2×4＋1＝9＝32

3×5＋1＝16＝42

4×6＋1＝25＝52 …

请将你找到的规律用代数式表示出来：___________________________________

(山东菏泽地区中考试题)

解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数式表示.

【例2】下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（ ） A.1627384950 B. 2345678910 C. 3579111300 D. 4692581470

（江苏省竞赛试题）

解题思路：设自然数从a ＋1开始，这100个连续自然数的和为（a ＋1）＋(a ＋2)＋ …＋(a ＋100)＝100a ＋5050，从揭示和的特征入手.

【例3】设A ＝221212++´222323++´223434+´＋…＋221003100410031004+´＋22

1004100510041005

+´，求

A 的整数部分.

（北京市竞赛试题）

解题思路：从分析A 中第n 项22

(1)(1)

n n n n ++?的特征入手.

【例4】现有a 根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m 个正方形，按如图②摆放时可摆成2n 个正方形.

(1)用含n 的代数式表示m ；

(2)当这a 根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求a 的最小值.

（浙江省竞赛试题）

解题思路：由图①中有m 个正方形、图②中有2n 个正方形，可设图③中有3p 个正方形，无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，可建立含m ，n ，p 的等式.

【例5】 化简

个

个

个

n n n 9199999999+⨯. （江苏省竞赛试题）

解题思路：先考察n ＝1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更明确.

【例6】观察按下列规律排成的一列数：

1 1，1

2

，2

1

，1

3

，2

2

，3

1

，1

4

，2

3

，3

2

，4

1

，1

5

，2

4

，3

3

，4

2

，5

1

，1

6

，…，（*）

（1）在（*）中，从左起第m个数记为F(m)＝2

2001

时，求m的值和这m 个数的积.

（2）在（*）中，未经约分且分母为2的数记为c，它后面的一个数记为d，是否存在这样的两个数c和d，使cd＝2001000，如果存在，求出c和d；如果不存在，请说明理由.

解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（1

1），（1

2

，

2 1），（1

3

，2

2

，3

1

），（1

4

，2

3

，3

2

，4

1

），（1

5

，2

4

，3

3

，4

2

，5

1

），….

能力训练

A级

1.已知等式：2＋2

3＝22×2

3

，3＋3

8

＝32×3

8

，4＋4

15

＝42×4

15

，…，，10 ＋

a b ＝102×a

b

（a，b均为正整数），则a＋b＝___________________.

(湖北省武汉市竞赛试题)

2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，它的每边（包括顶点）

都有n（n≥2）个棋子，每个图案棋子总数为s，按此规律推断s与n之间的关系是______________.

n＝2 n＝3 n＝4

s＝4 s＝8 s＝12

(山东省青岛市中考试题)

3.规定任意两个实数对（a，b）和（c，d），当且仅当a＝c且b＝d时，（a，b）＝（c，d）．定义运算“⊗”：（a，b）⊗（c，d）＝（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）⊗（p，q）＝（5，0），则p＋q＝________．

(浙江省湖州市数学竞赛试题)

4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖______块，第n个图形中需要黑色瓷砖______块（含n 代数式表示）．

（广东省中考试题）

-=