数字信号处理_第五章
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M N
y (n) bi x(n i ) ai y (n i )
i 0 i 1
所谓直接型，就是按照差分方程直接画出网络结构。
第5章 时域离散系统的网络结构
x(n ) x(n － 1) x(n － 2) b0 z－ 1 b1 z－ 1 b2 H1 (z) x(n ) w1
－1 a1 z －1 a1 z －1 a2 z
第5章 时域离散系统的网络结构
第5章 时域离散系统的网络结构
5.1 引言 5.2 用信号流图表示网络结构 5.3 无限长脉冲响应基本网络结构 5.4 有限长脉冲响应基本网络结构 5.5 FIR线性相位结构 5.6 FIR频率采样结构 5.7 格型网络结构
第5章 时域离散系统的网络结构
5.1 引言
研究数字滤波器一般包括两个内容：
解： 由H(z)写出差分方程如下： 缺点：
5 3 1 y (n ) y (n 1) y (n 2) y (n 3) 8 x(na,b ) 的量 4 x(n 1) 对高阶系统调整零、极点困难；对系数 4 4 8 化效应敏感度高； 11x(n 2) 2 x(n 3)
(2) 流图环路中必须存在延时支路；
(3) 节点和支路的数目是有限的。 若不是基本信号流图，则它不能决定一种具体的算法。 根据信号流图可以求出网络的系统函数，方法是列出 各个节点变量方程，求解该方程，推导出输出与输入之间的 关系。
第5章 时域离散系统的网络结构
[例5.2.1] 求图5.2.2(a)信号流图决定的系统函数H(z)。
－1 6
－0 .5
z－ 1
图5.3.5 例5.3.3图
第5章 时域离散系统的网络结构
在并联型结构中，每个一阶网络决定一个实数极点，每个 二阶网络决定一对共扼极点，因此调整极点位置方便，但调整 零点位置不如级联型方便。
1 a1i z 1 a2i z 2
0i 1i z
1
式中，β0i、β1i、α1i和α2i都是实数。
如果α2i=0则构成一阶网络。
将x(n)送入每个 二阶(一阶)网络 后，将所有输 出加得到输出 y(n)。
由(5.3.4)式，其网络的输出Y(z)为： Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+…+Hk(z)X(z)
r 1 r 1 N
M
(1 Cr z 1 ) (1 d r z )
1
(5.3.1)
式中A为常数，Cr和dr分别为零点和极点。 由于多项式的系数是实数， Cr和dr 是实数或者是共轭 成对的复数。 将共轭成对的零点(极点)放在一起，形成一个二阶多项 式，其系数仍为实数。再将分子、分母均为实系数的二阶多 项式放在一起，形成一个二阶网络Hj(z)
i 0 i 1
M
N
(5.1.1)
则其系统函数H(z)为：
Y ( z) H ( z) X ( z)
M
1 ai z i
i 1
i 0 N
bi z i
(5.1.2)
为了对输入信号进行处理，必须把上式变换成一种算法， 按照这种算法对输入信号进行运算。
第5章 时域离散系统的网络结构
x(n ) 8 y(n ) z－ 1 － 4 z－ 1 11
54
3 4
18
z－ 1 － 2
图5.3.2 例5.3.1图
第5章 时域离散系统的网络结构
2. 级联型
在(5.1.2)式表示的系统函数H(z)中，分子分母均为 多项式，多项式的系数一般为实数，对分子分母多项式 分别进行因式分解，得：
H ( z) A
结构表示具体的算法。 本章介绍：数字系统的基本网络结构
第5章 时域离散系统的网络结构
5.2 用信号流图表示网络结构
从(5.1.1)式可知，数字信号处理中有三种基本算法，
信号流图
即乘法、加法和单位延迟，三种基本运算用流图表示如图
5.2.1所示。
x(n )
输入节点
z－ 1
节点变量
x(n －1)
支路增益
第5章 时域离散系统的网络结构
[例5.3.3] 画出例题5.3.2中的H(z)的并联型结构。
解: 将例5.3.2中H(z)展成部分分式形式： 8 16 20 z 1 H ( z ) 16 1 1 0.5z 1 z 1 0.5z 2 将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如下图所示。
在二阶网络中，调整二阶网络中分子的三个系数可以改 变一对零点的位置，调整分母的二个系数可以改变一对极点 的位置。
对级联型结构 优点：系统结构组成灵活；零、极点调整方便； 对系数 a,b的量化效应敏感度低。级联结构中后面的网络输出不会再 流到前面，运算误差的积累相对直接型也小。 缺点：仍存在运算误差积累。
第5章 时域离散系统的网络结构
3.并联型
如果将级联形式的H(z)，展开成部分分式形式，得 到IIR并联型结构。
H ( z) H1 ( z) H2 ( z) H k ( z)
二阶网络的系统函数一般为：
(5.3.4)
式中，Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络，系数均为实数。
Hi ( z)
第5章 时域离散系统的网络结构
Hj(z)形如下式：
H j ( z)
0 j 1 j z 1 2 j z 2
1 a1 j z 1 a2 j z 2
(5.3.2)
式中，β0j、β1j、β2j、α1j和α2j均为实数。
这样H(z)就分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式： H(z)=H1(z)H2(z)…Hk(z) (5.3.3)
式中 Hi(z) 为一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个 Hi(z)的网络结构均采用直接型网络结构，如图：
x(n )
0 j 1 j
(a ) z－ 1 1j
y(n )
x(n )
0 j 1 j
z－ 1 z－ 1 (b )
1j
y(n )
2 j
2j
图5.3.3 一阶和二阶直接型网络结构
(a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构
经过联立求解得到：
Y ( z ) b0 b1z 1 b2 z 2 H ( z) X ( z ) 1 a1z 1 a2 z 2
梅逊公式直接写出系统函数H(z)
第5章 时域离散系统的网络结构
一般将网络结构分成两类： （1）有限长脉冲响应网络，简称FIR网络(Finite Impulse Response); （2）无限长脉冲响应网络，简称IIR网络(Infinite Impulse Response) 。 FIR网络中一般不存在输出对输入的反馈支路，因此 差分方程用下式描述：
其单位脉冲响应：
h(n)=anu(n) 这两类不同的网络结构各有不同的特点，在后面的 两节分别叙述。
第5章 时域离散系统的网络结构
5.3 无限长脉冲响应基本网络结构
IIR网络的特点是信号流图中含有反馈支路（有环路），
其单位脉冲响应是无限长的。
基本网络结构有三种：直接型、级联型和并联型。 1.直接型 对N阶差分方程：
y (n) bi x(n i )
i 0
M
其单位脉冲响应h(n)是有限长的，按照上式，h(n) 表示为：
bn ,0 n M h(n ) 其它n 0,
第5章 时域离散系统的网络结构
来自百度文库
IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，
即：信号流图中存在环路。 这类网络的单位脉冲响应是无限长的。 例如：一个简单的一阶IIR网络差分方程为： y(n)=ay(n-1)+x(n)
b0 b1 z 1 b2 z 2 y(n ) H ( z ) 1 a1 z 1 a2 z 2
y(n － 1) y(n － 2)
（a ）
H2 (z) w2 b 0 z－ 1 z－ 1 b1 b2 y(n )
（b ）
－1 a2 z
H2 (z) x(n ) a1 a2 z－ 1 z－ 1 b0
给定一个差分方程，不同的算法有很多种，如：
1 H1 ( z ) 1 0.8 z 1 0.15z 2 1.5 2.5 H 2 ( z) 1 1 0.3z 1 0.5z 1 1 1 H 3 ( z) 1 1 0.3z 1 0.5z 1 不同的算法，直接影响系统的特性，在研究中我们用网络
解: 将5.2.1式进行z变换，得:
W1 ( z ) W2 ( z ) z 1 W2 ( z ) W2( z ) z 1 W2( z ) X ( z ) a1W2 ( z ) a2W1 ( z ) Y ( z ) b2W1 ( z ) bW 1 2 ( z ) b0W2 ( z )
设计 分析
第5章 时域离散系统的网络结构
该式是对输入信号的一种直 接算法，如果己知输入信号 对一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉 x(n)、系数a、b和n时刻以 冲响应以及系统函数进行描述。 前的y(n-i)，就可以递推求 若系统输入输出服从N阶差分方程 出y(n)值。：
y (n ) bi x (n i ) ai y (n i )
和每个节点连接的有输入支路和输出支路，节点变量 等于所有输入支路的输出之和。上图中:
第5章 时域离散系统的网络结构
不同的信号流图代表不同的运算方法，而对于同一个 系统函数可以有很多种信号流图相对应。
从基本运算考虑，满足以下条件，称为基本信号流图 (Primitive Signal Flow Graphs)。 (1) 信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常 数或者是z-1；
H1 (z) y(n )
（c ）
b1 b2
图5.3.1 IIR网络直接型结构
第5章 时域离散系统的网络结构
[例5.3.1] IIR数字滤波器的系统函数H(z)为
1 2 3 8 4 z 11 z 2 z 对直接型结构 H ( z) 5 1 3 2 1 3 1 z z z 优点： 4 4 8 画出该滤波器的直接型结构。 可直接按差分方程画出网络结构。
x(n) z－ 1 0 .2 5 － 0 .3 79 － 0 .5 2 4 z－ 1 － 1 .2 4 z－ 1 5 .2 64 y(n)
图5.3.4 例5.3.2图
第5章 时域离散系统的网络结构
H(z)=H1(z)H2(z)…Hk(z)
级联型结构中每个一阶网络决定一个零点、一个极点， 每个二阶网络决定一对零点、一对极点。
（1）由滤波器网络结构分析其运算功能或频率响应，即：
滤波器实现结构 H(z)、差分方程、h(n) （2）由滤波器的设计指标设计出系统函数H(z) ，再由H(z)画 出实现网络结构： 技术指标 H(z) 实现结构 所以，只有掌握了数字滤波器的系统函数H(z)与其网络 结构之间的对应关系，才能进行滤波器的研究。
x(n ) z－
1
输出节点
x(n －1)
x(n )
a x(n )
x(n )
a
a x(n )
a x1 (n )
x1 (n )＋x2 (n )
x1 (n )
x1 (n )＋x2 (n )
x2 (n )
图5.2.1 三种基本运算 的流图表示
x2 (n )
第5章 时域离散系统的网络结构
图5.2.2 信号流图 (a)基本信号流图；(b)非基本信号流图
x(n ) 16 y(n )
8 4 z 1 11z 2 8 2 z 3 H ( z) 2 3 1 1.25z 1 0.75 z 0.125 z z－ 1
0 .5
1 2 (2 0.379 z 1 )(4 1.24 z 5.264 z ) － 1 z H ( z) 1 2 0 z 1 0.5z 2 ) (1 0.25z )(1
第5章 时域离散系统的网络结构
[例5.3.2] 设系统函数H(z)如下式：
8 4 z 1 11z 2 2 z 3 H ( z) 1 1.25z 1 0.75z 2 0.125z 3
画出其级联型网络结构。 解： 将H(z)分子分母进行因式分解，得：
(2 0.379 z 1 )(4 1.24 z 1 5.264 z 2 ) H ( z) (1 0.25z 1 )(1 z 1 0.5z 2 )
y (n) bi x(n i ) ai y (n i )
i 0 i 1
所谓直接型，就是按照差分方程直接画出网络结构。
第5章 时域离散系统的网络结构
x(n ) x(n － 1) x(n － 2) b0 z－ 1 b1 z－ 1 b2 H1 (z) x(n ) w1
－1 a1 z －1 a1 z －1 a2 z
第5章 时域离散系统的网络结构
第5章 时域离散系统的网络结构
5.1 引言 5.2 用信号流图表示网络结构 5.3 无限长脉冲响应基本网络结构 5.4 有限长脉冲响应基本网络结构 5.5 FIR线性相位结构 5.6 FIR频率采样结构 5.7 格型网络结构
第5章 时域离散系统的网络结构
5.1 引言
研究数字滤波器一般包括两个内容：
解： 由H(z)写出差分方程如下： 缺点：
5 3 1 y (n ) y (n 1) y (n 2) y (n 3) 8 x(na,b ) 的量 4 x(n 1) 对高阶系统调整零、极点困难；对系数 4 4 8 化效应敏感度高； 11x(n 2) 2 x(n 3)
(2) 流图环路中必须存在延时支路；
(3) 节点和支路的数目是有限的。 若不是基本信号流图，则它不能决定一种具体的算法。 根据信号流图可以求出网络的系统函数，方法是列出 各个节点变量方程，求解该方程，推导出输出与输入之间的 关系。
第5章 时域离散系统的网络结构
[例5.2.1] 求图5.2.2(a)信号流图决定的系统函数H(z)。
－1 6
－0 .5
z－ 1
图5.3.5 例5.3.3图
第5章 时域离散系统的网络结构
在并联型结构中，每个一阶网络决定一个实数极点，每个 二阶网络决定一对共扼极点，因此调整极点位置方便，但调整 零点位置不如级联型方便。
1 a1i z 1 a2i z 2
0i 1i z
1
式中，β0i、β1i、α1i和α2i都是实数。
如果α2i=0则构成一阶网络。
将x(n)送入每个 二阶(一阶)网络 后，将所有输 出加得到输出 y(n)。
由(5.3.4)式，其网络的输出Y(z)为： Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+…+Hk(z)X(z)
r 1 r 1 N
M
(1 Cr z 1 ) (1 d r z )
1
(5.3.1)
式中A为常数，Cr和dr分别为零点和极点。 由于多项式的系数是实数， Cr和dr 是实数或者是共轭 成对的复数。 将共轭成对的零点(极点)放在一起，形成一个二阶多项 式，其系数仍为实数。再将分子、分母均为实系数的二阶多 项式放在一起，形成一个二阶网络Hj(z)
i 0 i 1
M
N
(5.1.1)
则其系统函数H(z)为：
Y ( z) H ( z) X ( z)
M
1 ai z i
i 1
i 0 N
bi z i
(5.1.2)
为了对输入信号进行处理，必须把上式变换成一种算法， 按照这种算法对输入信号进行运算。
第5章 时域离散系统的网络结构
x(n ) 8 y(n ) z－ 1 － 4 z－ 1 11
54
3 4
18
z－ 1 － 2
图5.3.2 例5.3.1图
第5章 时域离散系统的网络结构
2. 级联型
在(5.1.2)式表示的系统函数H(z)中，分子分母均为 多项式，多项式的系数一般为实数，对分子分母多项式 分别进行因式分解，得：
H ( z) A
结构表示具体的算法。 本章介绍：数字系统的基本网络结构
第5章 时域离散系统的网络结构
5.2 用信号流图表示网络结构
从(5.1.1)式可知，数字信号处理中有三种基本算法，
信号流图
即乘法、加法和单位延迟，三种基本运算用流图表示如图
5.2.1所示。
x(n )
输入节点
z－ 1
节点变量
x(n －1)
支路增益
第5章 时域离散系统的网络结构
[例5.3.3] 画出例题5.3.2中的H(z)的并联型结构。
解: 将例5.3.2中H(z)展成部分分式形式： 8 16 20 z 1 H ( z ) 16 1 1 0.5z 1 z 1 0.5z 2 将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如下图所示。
在二阶网络中，调整二阶网络中分子的三个系数可以改 变一对零点的位置，调整分母的二个系数可以改变一对极点 的位置。
对级联型结构 优点：系统结构组成灵活；零、极点调整方便； 对系数 a,b的量化效应敏感度低。级联结构中后面的网络输出不会再 流到前面，运算误差的积累相对直接型也小。 缺点：仍存在运算误差积累。
第5章 时域离散系统的网络结构
3.并联型
如果将级联形式的H(z)，展开成部分分式形式，得 到IIR并联型结构。
H ( z) H1 ( z) H2 ( z) H k ( z)
二阶网络的系统函数一般为：
(5.3.4)
式中，Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络，系数均为实数。
Hi ( z)
第5章 时域离散系统的网络结构
Hj(z)形如下式：
H j ( z)
0 j 1 j z 1 2 j z 2
1 a1 j z 1 a2 j z 2
(5.3.2)
式中，β0j、β1j、β2j、α1j和α2j均为实数。
这样H(z)就分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式： H(z)=H1(z)H2(z)…Hk(z) (5.3.3)
式中 Hi(z) 为一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个 Hi(z)的网络结构均采用直接型网络结构，如图：
x(n )
0 j 1 j
(a ) z－ 1 1j
y(n )
x(n )
0 j 1 j
z－ 1 z－ 1 (b )
1j
y(n )
2 j
2j
图5.3.3 一阶和二阶直接型网络结构
(a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构
经过联立求解得到：
Y ( z ) b0 b1z 1 b2 z 2 H ( z) X ( z ) 1 a1z 1 a2 z 2
梅逊公式直接写出系统函数H(z)
第5章 时域离散系统的网络结构
一般将网络结构分成两类： （1）有限长脉冲响应网络，简称FIR网络(Finite Impulse Response); （2）无限长脉冲响应网络，简称IIR网络(Infinite Impulse Response) 。 FIR网络中一般不存在输出对输入的反馈支路，因此 差分方程用下式描述：
其单位脉冲响应：
h(n)=anu(n) 这两类不同的网络结构各有不同的特点，在后面的 两节分别叙述。
第5章 时域离散系统的网络结构
5.3 无限长脉冲响应基本网络结构
IIR网络的特点是信号流图中含有反馈支路（有环路），
其单位脉冲响应是无限长的。
基本网络结构有三种：直接型、级联型和并联型。 1.直接型 对N阶差分方程：
y (n) bi x(n i )
i 0
M
其单位脉冲响应h(n)是有限长的，按照上式，h(n) 表示为：
bn ,0 n M h(n ) 其它n 0,
第5章 时域离散系统的网络结构
来自百度文库
IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，
即：信号流图中存在环路。 这类网络的单位脉冲响应是无限长的。 例如：一个简单的一阶IIR网络差分方程为： y(n)=ay(n-1)+x(n)
b0 b1 z 1 b2 z 2 y(n ) H ( z ) 1 a1 z 1 a2 z 2
y(n － 1) y(n － 2)
（a ）
H2 (z) w2 b 0 z－ 1 z－ 1 b1 b2 y(n )
（b ）
－1 a2 z
H2 (z) x(n ) a1 a2 z－ 1 z－ 1 b0
给定一个差分方程，不同的算法有很多种，如：
1 H1 ( z ) 1 0.8 z 1 0.15z 2 1.5 2.5 H 2 ( z) 1 1 0.3z 1 0.5z 1 1 1 H 3 ( z) 1 1 0.3z 1 0.5z 1 不同的算法，直接影响系统的特性，在研究中我们用网络
解: 将5.2.1式进行z变换，得:
W1 ( z ) W2 ( z ) z 1 W2 ( z ) W2( z ) z 1 W2( z ) X ( z ) a1W2 ( z ) a2W1 ( z ) Y ( z ) b2W1 ( z ) bW 1 2 ( z ) b0W2 ( z )
设计 分析
第5章 时域离散系统的网络结构
该式是对输入信号的一种直 接算法，如果己知输入信号 对一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉 x(n)、系数a、b和n时刻以 冲响应以及系统函数进行描述。 前的y(n-i)，就可以递推求 若系统输入输出服从N阶差分方程 出y(n)值。：
y (n ) bi x (n i ) ai y (n i )
和每个节点连接的有输入支路和输出支路，节点变量 等于所有输入支路的输出之和。上图中:
第5章 时域离散系统的网络结构
不同的信号流图代表不同的运算方法，而对于同一个 系统函数可以有很多种信号流图相对应。
从基本运算考虑，满足以下条件，称为基本信号流图 (Primitive Signal Flow Graphs)。 (1) 信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常 数或者是z-1；
H1 (z) y(n )
（c ）
b1 b2
图5.3.1 IIR网络直接型结构
第5章 时域离散系统的网络结构
[例5.3.1] IIR数字滤波器的系统函数H(z)为
1 2 3 8 4 z 11 z 2 z 对直接型结构 H ( z) 5 1 3 2 1 3 1 z z z 优点： 4 4 8 画出该滤波器的直接型结构。 可直接按差分方程画出网络结构。
x(n) z－ 1 0 .2 5 － 0 .3 79 － 0 .5 2 4 z－ 1 － 1 .2 4 z－ 1 5 .2 64 y(n)
图5.3.4 例5.3.2图
第5章 时域离散系统的网络结构
H(z)=H1(z)H2(z)…Hk(z)
级联型结构中每个一阶网络决定一个零点、一个极点， 每个二阶网络决定一对零点、一对极点。
（1）由滤波器网络结构分析其运算功能或频率响应，即：
滤波器实现结构 H(z)、差分方程、h(n) （2）由滤波器的设计指标设计出系统函数H(z) ，再由H(z)画 出实现网络结构： 技术指标 H(z) 实现结构 所以，只有掌握了数字滤波器的系统函数H(z)与其网络 结构之间的对应关系，才能进行滤波器的研究。
x(n ) z－
1
输出节点
x(n －1)
x(n )
a x(n )
x(n )
a
a x(n )
a x1 (n )
x1 (n )＋x2 (n )
x1 (n )
x1 (n )＋x2 (n )
x2 (n )
图5.2.1 三种基本运算 的流图表示
x2 (n )
第5章 时域离散系统的网络结构
图5.2.2 信号流图 (a)基本信号流图；(b)非基本信号流图
x(n ) 16 y(n )
8 4 z 1 11z 2 8 2 z 3 H ( z) 2 3 1 1.25z 1 0.75 z 0.125 z z－ 1
0 .5
1 2 (2 0.379 z 1 )(4 1.24 z 5.264 z ) － 1 z H ( z) 1 2 0 z 1 0.5z 2 ) (1 0.25z )(1
第5章 时域离散系统的网络结构
[例5.3.2] 设系统函数H(z)如下式：
8 4 z 1 11z 2 2 z 3 H ( z) 1 1.25z 1 0.75z 2 0.125z 3
画出其级联型网络结构。 解： 将H(z)分子分母进行因式分解，得：
(2 0.379 z 1 )(4 1.24 z 1 5.264 z 2 ) H ( z) (1 0.25z 1 )(1 z 1 0.5z 2 )