数学思想与其历史作用

数学思想与其近代历史作用

卢冠旭

数学科学学院2011级5班2011025446

摘要：本文首先介绍了数学与数学哲学的本源关系，然后讲述了数学的三大危机，和数学在计算机中的发展作用，最后形象化总结数学思想与人类文明史的关系。

关键词：哲学、数学史、数学三大危机、计算机史、

一：数学的哲学思想

任何一门学问，必然是反映着哲学的探索与诉求，数学作为一种同经验无关的人类思维的结晶，更需要哲学的支撑。哲学是人类认识世界的先导，哲学关心的首先是科学的未知领域，哲学倾听着科学的发现，准备提出新的问题。哲学，从某种意义上说，是自然学科的望远镜，数学就产生在哲学已探索的未知领域。数学本身源于自然哲学，虽然在历的进程中，数学学科逐渐从哲学中分离出来，但是数学基础仍带有浓厚的哲学味道。柏拉图有句名言：“没有数学就没有真正的智慧。”智慧是被运用于生活中的哲学，是哲学的生活化、实际化。历史上，许多著名的学者，如英国的罗素、德国的数学家康托尔，正是踏着数学的阶梯步入哲学堂奥的。

二：数学的三大危机

从1900年到1930年左右，数学的危机使许多数学家都卷入到一场大辩论当中。他们看到这次危机涉及数学的根本，必须运用数学思想对数学的哲学基础加以严密的考察。在这场大辩论中，原来的不明显的意见分歧扩展成为学派的争论，以罗素为代表的逻辑主义，以布劳威尔为代表的直觉主义，以希尔伯特为代表的形式主义三大学派应运而生。他们在争论过程中尽管言语尖刻，好象势不两立，其实他们各自的观点在争论过程中都吸收了对立面的看法而有很多变化。

1930年，哥德尔不完全性定理的证明暴露了各派的弱点，哲学的争论冷淡了下去。此后各派力量沿着自己的道路发展演化。尽管争论的问题远未解决，但大部分数学家并不太关心哲学问题。

从哲学的角度上来看，矛盾无处不在，数学中就存在着大大小小的矛盾。回首整部数学史，矛盾的斗争与解决贯穿其中，当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。而危机的解决，往往能给数学带来新的内容，新的发展，甚至引起革命性的变革。

第一次数学危机

现代意义下的数学，来源于古希腊的毕达哥拉斯学派。它是一个唯心主义学派。他们认为认为“万物皆数”，但是无理数的发现，却引起了第一次数学危机，对于全部依靠整数的毕式哲学，是一次致命的打击。从此希腊人开始从“自明”的公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。

第二次数学危机

十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机，从哲学的观点，它的发生带有必然性。牛顿和莱布尼茨被公认为是微积分的奠基者，由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分称为当时解决问题的重要工具。同时，微积分基础的问题也越来越严重。关键问题就是无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？从而造成了第二次数学危机。

第三次数学危机

1902年，罗素发现了一个悖论，其主要讲的内容是某村理发师的困境；这个集合性中的悖论的发现自然引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。以罗素为代表的逻辑主义，以布芬威为代表的直觉主义，以希尔伯特为代表的形式主义三大数学哲学学派应运而生。

三：数学思想的典型产物——计算机

可以说数学是上帝的语言，在人类历史的长河中。人们不断发展着数学并运用数学。创造事物、改善生活。在这里就不得不提一个数学的产物，一个在短短不到百年间迅猛发展的事物——计算机。

从莱布尼茨之梦到图灵机的出现，从20世纪50年代塞满整个房间的庞然大物，逐渐演变成今天轻巧而强大的智能机器。在整个过程中，其背后的逻辑始终如一。这些数学逻辑概念是几个世纪以来数位天才数学家一步步发展出来的。

第一台真正的计算机是著名科学家帕斯卡（B.Pascal）发明的机械计算机。不过这台计算机只能计算加减法。帕斯卡逝世后不久，与法兰西毗邻的德国莱茵河畔，有位英俊的年轻人正挑灯夜读。黎明时分，青年人站起身，揉了一下疲乏的腰部，脸上流露出会心的微笑，一个朦胧的设想已酝酿成熟。虽然在帕斯卡发明加法器的时候，他尚未出世，但这篇由帕斯卡亲自撰写的关于加法计算机的论文，却使他似醍醐灌顶，勾起强烈的发明欲。他就是德国大数学家、被《不列颠百科全书》称为“西方文明最伟大的人物之一”的莱布尼茨（G.Leibnitz）。

莱布尼茨早年历经坎坷。当幸运之神降临之时，他获得了一次出使法国的机会。帕斯卡的故乡张开臂膀接纳他，为他实现计算机器的夙愿创造了契机。在巴黎，他聘请到一些著名机械专家和能工巧匠协助工作，终于在1674年造出一台更完美的机械计算机。这台计算机不仅会加减法，还会乘除法这是一个巨大的跨越。年轻的莱布尼茨，因此进入了皇家学院。并且这台计算机的一个天才部件“莱布尼茨轮”直到20世纪仍被使用在计算机上。

大约在公元1700年左右某天，友人送给他一幅从中国带来图画，名称叫做“八卦”，是宋朝人邵雍所摹绘的一张“易图”。莱布尼茨用放大镜仔细观察八卦的每一卦象，发现它们都由阳（—）•和阴（--）两种符号组合而成。他挠有兴趣地把8种卦象颠来倒去排列组合，•脑海中突然火花一闪──这不就是很有规律的二进制数字吗？•若认为阳（—）是“1” ，阴（--）是“0”，八卦恰好组成了二进制000到111共8个基本序数。正是在中国人睿智的启迪下，莱布尼茨最终悟出了二进制数之真谛。虽然莱布尼茨设计的计算机用的还是十进制，但他率先系统提出了二进制数的运算法则，直到今天，二进制数仍然左右着现代电脑的高速运算。

帕斯卡的计算机经由莱布尼茨的改进之后，人们又给它装上电动机以驱动机器工作，成为名符其实的“电动计算机”，并且一直使用到本世纪20年代才退出舞台。尽管帕斯卡与莱布尼茨的发明还不是现代意义上的计算机，但它们毕竟昭示着人类计算机史里的第一抹曙光。

18世纪末，•法兰西发起了一项宏大的计算工程──人工编制《数学用表》，这在没有先进计算工具的当时，是件极其艰巨的工作。法国数学界调集大批数学家，组成了人工手算的

流水线，算得天昏地暗，才完成了17卷大部头书稿。即便如此，计算出的数学用表仍然存在大量错误。为了弥补和改进数学家巴贝奇耗费了整整十年光阴，于1822年完成了第一台差分机，它可以处理3个不同的5位数，计算精度达到6位小数，当即就演算出好几种函数表。由于当时工业技术水平极低，第一台差分机从设计绘图到机械零件加工，都是巴贝奇亲自动手完成。当他看着自己的机器制作出准确无误的《数学用表》，高兴地对人讲：“哪怕我的机器出了故障，比如齿轮被卡住不能动，那也毫无关系。你看，每个轮子上都有数字标记，它不会欺骗任何人。”以后实际运用证明，这种机器非常适合于编制航海和天文方面的数学用表。之后计算机种种发展也就不一一去说了。

但是历史总是如此的相似，就在计算机发展的历史中，它也见证了两次数学危机。同样也见证是数学最辉煌的年代，在计算机历史上不仅出现了大数学家的身影。还出现了哥廷根大学这样曾经的数学圣地。同样也出现了罗素的《数学原理》和他学生维特根斯坦那薄薄的只有75页的《逻辑哲学轮》这样的巨著。反观历史不难从个从角度看出数学思想在一道人类文明发展的重要性。和人类发展在数学指引下那个的必然性。

四：结论：从人类蒙昧时代的生产和生活中产生的“数觉”到抽象的“数”概念

的形成，从远古时代的结绳计数到今天高速计算机的发明和使用，从量地测天，运算历法到抽象严密的公理化体系。数学的发展，和问题的发现，历史给我们阐释了其必然性。解释了数学思想，在解决数学问题方向上、发展方向上的重要意义。数学问题是遵循着自然本身规律通过数学思想实现和解决掉的。

参考文献：

【1】《走向未来》丛书系列之《第三次数学危机》胡作玄著

四川人民出版社 1985年4月出版 P3---P20

【2】《第一推动》丛书系列之《逻辑的引擎》【美】马丁•戴维斯著湖南科学技术出版社2006年3月出版p83--p122

【3】《数学与哲学》张景中著中国少年儿童出版社2003年8月出版P152—P156