振动与冲击理论基础
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Cc 2mn
方程的根改写为： s1,2
c Cc
n
n
或
( c )2 Cc
s1, 2
（
a
2 1） n
28
其中： c c c
Cc 2mn 2 km
特征方程的根的性质
取决于阻尼比 的
值是小于1，等于1还 是大于1.
以上介绍的振动与冲击理论基础参考
苏远编写的《缓冲包装理论基础与应用》一书
a
6
包装动力学的任务
包装件在流通过程中受到冲击与振动等 机械载荷作用时，内装物损坏程度在很 大程度上取决于其加速度响应的大小。
包装动力学的任务就是研究包装件受到 外部激励后，内装物的加速度等动力学 参数随时间变化的规律。
a
根据（c/2m)2-k/m的值是零、是正数还是负数， 这个解取有三种不同形式。
当（c/2m)2-k/m=0，有：
c 2m
k m
n
或
c 2mn
此时，得到重根：s1 s2 c / 2m
原方程的解为：
x(AB)et(c/2m )t
a
27
因为产生重根具有特殊意义，所以把这时 的阻尼系数称为临界阻尼系数，记为：
令：
2 n
k
/
m
上式可写为：
x
2 n
x
0
这是自由振动微分方程
的标准形式，
二阶常系数线性齐次微
分方程
a
15
此方程的解为：x C cos n t D sin n t
代入振体运动的初始条
件：
t 0 时， x x 0 , x x 0 v 0 可得：
C
x0,D
x 0 n
v0 n
所以：
x
x 0 cos
外包装 缓冲垫 内装物基体
k1
关
键
部 件
k2
m1 c1
m2
c2 m3
考虑内装物存在关键部件的情况下
，需要关注关键件的动力学行为，
包装动力学模型就是一个双自由a度系统
9
x
不考虑内装物的关键件问题。
m
可简化为单自由度系统
k
c
y
a
10
第一节 单自由度线性系统的振 动
包装动力学分析的方法：建立动力学模 型，列出动力学方程并求解
n
k
频率：f 1 1 k
T 2 m
圆频率：n
k 2 2f
ma T
18
圆频率与静变形的关系
k W mg
st st
n
k m
mg / st
m
而周期是
g / st
T 2 st / g
a
19
假设包装件内产品的质量m不变，思考 产品振幅与哪些因素有关？如果产品中
的某个脆弱部件的振幅超过了它所能承
a
3
冲击理论基础基本轮廓
1包装件跌落冲击问题的研究方法 2产品对跌落冲击的响应
产品的跌落冲击过程 产品的位移时间函数 产品的加速度时间函数 产品的速度改变量
a
4
冲击理论基础基本轮廓
3易损零件对跌落冲击的响应
易损零件的运动微分方程 易损零件对跌落冲击的响应 易损零件的最大加速度
4跌落冲击的产品破损边界曲线
易损零件的极限加速度 正弦半波脉冲的冲击谱 跌落冲击的产品破损边界曲线
a
5
冲击理论基础基本轮廓
5产品脆值理论
矩形脉冲激励 易损零件对矩形脉冲的响应 矩形脉冲的冲击谱 矩形脉冲的产品破损边界曲线
6产品脆值测试
临界速度线的测试 临界加速度线的测试
7国外的一些产品脆值标准
受的振幅（变形），如何调整包装件的 参数？
a
20
串联弹簧和并联弹簧的等效刚度
K k1k2 k1 k2
Kk1k2
a
21
再回顾一下弹簧-质量系统
想想与实际的缓冲垫上的产品或产品结 构部件的振动有怎样的关系。
a
22
阻尼对自由振动的影响——衰 减振动
任何缓冲包装材料都是有阻尼的。阻尼的
形式很多，常见的有干摩擦阻尼和材料内
mxkxcx 即：x c x k x0
mm 这是二阶常系数线 次性 微齐 分方程。设它 为的 ：
x Aest
常数A和复数s待定，由初始条件可以确定
a
25
xAest
将
代入
xc xk x0 mm
得到代数方程：
s2 c s k 0 mm
该方程的根是
s1, 2
c 2m
( c )2 k 2m m
a
26
阻尼，最常见也最简单的是粘滞阻尼（线 性阻尼）
在流体介质（如空油气类、等）中以不大度的运速动
的振体，介质给振阻体力的的大小与振体的速一度次
方成正比，即：
Rcv
其中c是粘滞阻尼系数，是单牛位顿•秒/ 米(N•s/ m)
负号表示阻力与速方度向的相反。
a
23
单自由度有阻尼系统受力分析
a
24
该系统的运动微分方程：
第三章 振动与冲击理论基础
a
1
振动理论基础基本轮廓
1单自由度系统的自由振动
无阻尼系统的自由振动 有阻尼系统的自由振动
2单自由度支座激励系统的受迫振动 3车辆振动的定性分析 4产品与包装件的力学模型
产品的力学模型 包装件的力学模型
a
2
3.1振动理论基础基本轮廓
5包装件的简谐振动 6包装件的随机振动
7
物品在其平衡位置附近所作的来回往复 运动称为机械振动，简称振动。
产品经过包装形成包装件。以缓冲减振 为主要功能的包装件是由内装产品、缓 冲衬垫、瓦楞纸箱经过封箱或捆扎组成 的振动系统，汽车、火车、轮船和飞机 的振动就是这类包装件的振动环境。
过于强烈的振动会导致产品破损。
a
8
包装件动力学模型
nt
v0 n
sin
nt
若再令：
x0
A sin
; v0 n
A cos
则上式可改写为：
x A sin( n t )
a
16
A
x
2 0
v
2 0
2 n
tan n x 0 v0
a
振幅
初相位
17
周期与频率的概念
周期：振体每振动一次所需的时间，用T 表示。
在简谐运动的情况下：
wenku.baidu.com
T 2 2 m
包装件一般由结构复杂的内装物，非线 性粘弹性缓冲垫、瓦楞纸箱等外包装组 成。需要进行简化分析。
a
11
在不考虑阻尼时，包装件最简单的力学模 型：质量-弹簧系统
a
12
为什么该质量-弹簧系统作自由 振动？
在没有外界干扰时，振体m在位置O保持 平衡，O点称为平衡位置。如果给振体在 铅垂方向的初干扰（初位移或初速度）， 则它就在平衡位置附近上下往复移动。 （想想为什么？）
a
13
无阻尼系统自由振动的微分方 程及其解
以静平衡位置为原点，过O点垂直向下 选作x轴正方向，则振体从静平衡状态受 到初干扰后偏离O点，取偏离任意x位置 的振体为对象。则重力
W kst
弹性力：
Fk(xst)
a
14
振体的运动微分方程：
m x W k ( x st )
简化为：
m x kx 即： m x kx 0
方程的根改写为： s1,2
c Cc
n
n
或
( c )2 Cc
s1, 2
（
a
2 1） n
28
其中： c c c
Cc 2mn 2 km
特征方程的根的性质
取决于阻尼比 的
值是小于1，等于1还 是大于1.
以上介绍的振动与冲击理论基础参考
苏远编写的《缓冲包装理论基础与应用》一书
a
6
包装动力学的任务
包装件在流通过程中受到冲击与振动等 机械载荷作用时，内装物损坏程度在很 大程度上取决于其加速度响应的大小。
包装动力学的任务就是研究包装件受到 外部激励后，内装物的加速度等动力学 参数随时间变化的规律。
a
根据（c/2m)2-k/m的值是零、是正数还是负数， 这个解取有三种不同形式。
当（c/2m)2-k/m=0，有：
c 2m
k m
n
或
c 2mn
此时，得到重根：s1 s2 c / 2m
原方程的解为：
x(AB)et(c/2m )t
a
27
因为产生重根具有特殊意义，所以把这时 的阻尼系数称为临界阻尼系数，记为：
令：
2 n
k
/
m
上式可写为：
x
2 n
x
0
这是自由振动微分方程
的标准形式，
二阶常系数线性齐次微
分方程
a
15
此方程的解为：x C cos n t D sin n t
代入振体运动的初始条
件：
t 0 时， x x 0 , x x 0 v 0 可得：
C
x0,D
x 0 n
v0 n
所以：
x
x 0 cos
外包装 缓冲垫 内装物基体
k1
关
键
部 件
k2
m1 c1
m2
c2 m3
考虑内装物存在关键部件的情况下
，需要关注关键件的动力学行为，
包装动力学模型就是一个双自由a度系统
9
x
不考虑内装物的关键件问题。
m
可简化为单自由度系统
k
c
y
a
10
第一节 单自由度线性系统的振 动
包装动力学分析的方法：建立动力学模 型，列出动力学方程并求解
n
k
频率：f 1 1 k
T 2 m
圆频率：n
k 2 2f
ma T
18
圆频率与静变形的关系
k W mg
st st
n
k m
mg / st
m
而周期是
g / st
T 2 st / g
a
19
假设包装件内产品的质量m不变，思考 产品振幅与哪些因素有关？如果产品中
的某个脆弱部件的振幅超过了它所能承
a
3
冲击理论基础基本轮廓
1包装件跌落冲击问题的研究方法 2产品对跌落冲击的响应
产品的跌落冲击过程 产品的位移时间函数 产品的加速度时间函数 产品的速度改变量
a
4
冲击理论基础基本轮廓
3易损零件对跌落冲击的响应
易损零件的运动微分方程 易损零件对跌落冲击的响应 易损零件的最大加速度
4跌落冲击的产品破损边界曲线
易损零件的极限加速度 正弦半波脉冲的冲击谱 跌落冲击的产品破损边界曲线
a
5
冲击理论基础基本轮廓
5产品脆值理论
矩形脉冲激励 易损零件对矩形脉冲的响应 矩形脉冲的冲击谱 矩形脉冲的产品破损边界曲线
6产品脆值测试
临界速度线的测试 临界加速度线的测试
7国外的一些产品脆值标准
受的振幅（变形），如何调整包装件的 参数？
a
20
串联弹簧和并联弹簧的等效刚度
K k1k2 k1 k2
Kk1k2
a
21
再回顾一下弹簧-质量系统
想想与实际的缓冲垫上的产品或产品结 构部件的振动有怎样的关系。
a
22
阻尼对自由振动的影响——衰 减振动
任何缓冲包装材料都是有阻尼的。阻尼的
形式很多，常见的有干摩擦阻尼和材料内
mxkxcx 即：x c x k x0
mm 这是二阶常系数线 次性 微齐 分方程。设它 为的 ：
x Aest
常数A和复数s待定，由初始条件可以确定
a
25
xAest
将
代入
xc xk x0 mm
得到代数方程：
s2 c s k 0 mm
该方程的根是
s1, 2
c 2m
( c )2 k 2m m
a
26
阻尼，最常见也最简单的是粘滞阻尼（线 性阻尼）
在流体介质（如空油气类、等）中以不大度的运速动
的振体，介质给振阻体力的的大小与振体的速一度次
方成正比，即：
Rcv
其中c是粘滞阻尼系数，是单牛位顿•秒/ 米(N•s/ m)
负号表示阻力与速方度向的相反。
a
23
单自由度有阻尼系统受力分析
a
24
该系统的运动微分方程：
第三章 振动与冲击理论基础
a
1
振动理论基础基本轮廓
1单自由度系统的自由振动
无阻尼系统的自由振动 有阻尼系统的自由振动
2单自由度支座激励系统的受迫振动 3车辆振动的定性分析 4产品与包装件的力学模型
产品的力学模型 包装件的力学模型
a
2
3.1振动理论基础基本轮廓
5包装件的简谐振动 6包装件的随机振动
7
物品在其平衡位置附近所作的来回往复 运动称为机械振动，简称振动。
产品经过包装形成包装件。以缓冲减振 为主要功能的包装件是由内装产品、缓 冲衬垫、瓦楞纸箱经过封箱或捆扎组成 的振动系统，汽车、火车、轮船和飞机 的振动就是这类包装件的振动环境。
过于强烈的振动会导致产品破损。
a
8
包装件动力学模型
nt
v0 n
sin
nt
若再令：
x0
A sin
; v0 n
A cos
则上式可改写为：
x A sin( n t )
a
16
A
x
2 0
v
2 0
2 n
tan n x 0 v0
a
振幅
初相位
17
周期与频率的概念
周期：振体每振动一次所需的时间，用T 表示。
在简谐运动的情况下：
wenku.baidu.com
T 2 2 m
包装件一般由结构复杂的内装物，非线 性粘弹性缓冲垫、瓦楞纸箱等外包装组 成。需要进行简化分析。
a
11
在不考虑阻尼时，包装件最简单的力学模 型：质量-弹簧系统
a
12
为什么该质量-弹簧系统作自由 振动？
在没有外界干扰时，振体m在位置O保持 平衡，O点称为平衡位置。如果给振体在 铅垂方向的初干扰（初位移或初速度）， 则它就在平衡位置附近上下往复移动。 （想想为什么？）
a
13
无阻尼系统自由振动的微分方 程及其解
以静平衡位置为原点，过O点垂直向下 选作x轴正方向，则振体从静平衡状态受 到初干扰后偏离O点，取偏离任意x位置 的振体为对象。则重力
W kst
弹性力：
Fk(xst)
a
14
振体的运动微分方程：
m x W k ( x st )
简化为：
m x kx 即： m x kx 0