交通工程学 第4章 交通流理论

• (1)传统交通流理论。以数理统计和微积分等传统数学和物 理方法为基础的交通流理论，其明显特点是交通流模型的限 制条件比较苛刻，模型推导过程比较严谨，模型的物理意义 明确，如交通流分布的统计特性模型、车辆跟驰模型、交通 波模型、车辆排队模型等。传统交通流理论在目前的交通流 理论体系中仍居主导地位，并且在应用中相对成熟。 • (2)现代交通流理论。现代交通流理论是指以现代科学技术 和方法(如模拟技术、神经网络、模糊控制等)为主要研究手 段而形成的交通流理论，其特点是所采用的模型和方法不追 求严格意义上的数学推导和明确的物理意义，而更重视模型 或方法对真实交通流的拟合效果。这类模型主要用于对复杂 交通流现象的模拟、解释和预测，具有很好的前瞻性和动态 实时拟合性。
车流密度不大，车辆相互影响微弱，无外界干扰的随机车流 条件：m
m
≈s2 其中：
g N 1 1 2 2 S2 ( k m ) ( k m ) fj i j N 1 i 1 N 1 j 1
返 回
• [例4－1] 设60辆汽车随机分布在4km长的道路上，服从泊 松分布，求任意400m路段上有4辆及4辆以上汽车的概率。
§4－2 概率统计模型
本节内容
• • • • 离散型分布特征、分布函数 排队论模型的基本概念 M/M/N与N个M/M/1的指标计算与比较 流体模拟理论及实例分析
问题的提出
一个实际问题及其解决方法的思路分析
1.某随机车流，求30秒内平均到达的车辆数（均值）、方差（参考p74 4-8 4-10 ） 2.假定该车流服从泊松分布，求没有车到达的概率、到达四辆车的概率、到达 大于四辆车的概率分别是多少 ）
p (m S ) / m
2
n m / p m /(m S )(取整数)
来自百度文库2 2
(2)递推公式
(3)应用条件
车流比较拥挤、自由行驶机会不多的车流用二项分布拟 合较好。
【例4-3】在某条公路上，上午高峰期间以15s间隔观测到达 车辆数，得到的结果列入表4-1，试用二项分布拟合之。
表4-l 二项分布拟合交通拥挤车辆到达的数据表
4.1.2 交通流理论研究的思想方法
• 传统交通流理论追求严格意义上的理论推导，模型过 于理想化，常与实际车辆行为相差甚远。影响了实际 应用效果。 • 现代交通流理论理应更倾向于重视模型或方法对真实 交通流的拟合效果。真实交通流具有时间、空间两个 变量，同时还受随机因素的影响，变化规律非常复杂 。 • 建立交通流模型应该充分重视两大环节：一是模型结 构设计；二是模型参数标定。
mi e m P( k ) 1 P( k ) 1 i! i 0
k 1
⑤ 到达数至少是x但不超过y的概率：
mi e m P( x i y ) i! ix
y
⑥ 用泊松分布拟合观测数据时，参数m按下式计算：
观测的总车辆数 j 1 m ＝ g 总计间隔数
4.1.3 交通流理论研究现状及发展趋势
• 经过几十年的发展，可以说基于数理统计和微积分等经 典数学、物理方法的微观交通流理论已经趋于成熟，交 通流的发展表现为两种趋势：一是利用计算机模拟技术 ，二是应用现代理论方法(如人工智能、神经网络、模 糊控制)。利用计算机模拟技术研究交通流理论不仅可 以使研究对象和结果更加形象生动，而且可以把那些用 数学模型难于精确表达的复杂交通流现象进行快速处理 和归纳，为交通控制和实时动态交通分配提供依据。 • 建立符合我国国情的交通流理论模型，开发应用软件， 用于指导工程实践是摆在我们面前的迫切问题。
• 在第一个环节上，重点研究设计什么样的模型才能对所 关心的交通流现象有一个很好的描述，此环节的关键是 对系统的识别，也即对所研究对象的充分认识。这种认 识越深刻，所建立的模型就越符合实际； • 在第二个环节上，重点研究如何确定模型中的参数使模 型得以具体应用，参数的确定是一项非常具体、细致的 工作，其好坏直接决定了模型的应用效果。优秀的交通 流模型应该只包含若干个有现实的变量和参数，而且它 们是容易测量的。 • 此外，一个好的模型还应在理论上前后一致，便于进行 数值模拟且能做出新的预测，简单而言，优秀的交通流 模型必须有鲁棒性、现实性、一致性和简单性。 • 无论是模型结构的建立还是模型参数的标定，简单和适 用是第一原则 ，但随着计算手段的改善和交通工程技 术人员素质的提高，复杂交通流模型推广和应用的也日 益广泛了。
离散型分布与连续型分布描述事件的内容
– 离散型分布主要描述一段固定时间或距离内到达交通的波动性
– 连续型分布描述事件之间时间间隔的分布称为连续型分布。连续型分布 常用来描述车头时距、或穿越空档、速度等交通流特性的分布特征
4.2.1 离散型分布
1. 泊松分布
(1)基本公式
(t ) k et P(k ) , k! k 0,1,2, L
因 S <m，初步确定可用二项分布拟合是合适的，若成立，根据式(4-15) (4-16) 可计算出分布的两个参数： p=(7.469-3.999)/7.469=0.465 n=m/p=7.469/0.465=16.08 取16 k k k P c 0.465 0.535 k 16 因此，拟合表4-l数据的二项分布的分布函数为： 当然，上述车流分布最终还应通过 2 检验来确定是否真正符合二项分布。
式中：P(k)——在计数间隔t内到达k辆车或k个人的概率； λ——单位时间间隔的平均到达率(辆/s或人/s)； t——每个计数间隔持续的时间(s)或距离(m)； e——自然对数的底，取值为2.71828。
若令m=λ t为在计数间隔内平均到达的车辆（人）数，则上 式可写成为：
① 到达数小于k辆车(人)的概率：
[例4－2 ]某信号灯交叉口的周期T=97s，有效绿灯时间g=44s，在有效绿灯时 间内排队的车流以S=900辆／h的流率通过交叉口，在有效绿灯时间外到达 的车辆要停车排队。该信号交叉口上游车辆的到达率q=369辆／h时，服从 泊松分布，求到达车辆需要两次排队的周期数占周期总数的最大百分率。 • 解： 由于车流只能在有效绿灯时间通过，所以一个周期能通过的最大车辆 数A=gs=44x 900／3 600=11辆，如果某周期到达的车辆数N大于11辆，则最 后到达的(N一11)辆车就不能在本周期内通过而发生两次排队。在泊松分布 中： λt =369*97/3600=9.9 • 按泊松分布公式分别计算到达车辆数分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 ，10．11辆车的概率，可得到达车辆数大于11辆的周期出现的概率为： P(>11)=0.29 即：到达车辆需要两次排队的周期数占周期总数的29% • 当然，则不发生两次排队的周期最多占71％：
车辆到达数ki 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
频数fi
2
15
20
28
27
37
31
24
21
13
8
4
2
解：根据各到达数出现的频数，算出样本的均值m和方差S2 。 N=232
第4章 道路交通流理论
本讲内容
• • • • 交通流理论研究现状及发展简介 离散型分布的特征及其适用性 泊松分布的基本公式、递推公式及其应用实例 X2检验的基本原理及其方法
§4－1 交通流理论研究现状 及发展简介
4.1.1 交通流理论及其分类
• 随着社会经济的发展，交通量持续增加，尽管修建了 大量的交通设施，交通拥挤阻塞状况仍然十分严重， 这就要求必须用以一定的科学技术与方法，分析模拟 运输系统各组成要素及特性规律 ，最终形成一个快速 、安全、方便、舒适和准时的交通运输体系。 • 交通流理论是研究交通流随时间和空间变化规律的模 型和方法体系。 • 按照研究手段和方法，交通流理论可划分为两类： （1）传统交通流理论 （2）现代交通流理论
DF=g-1 (对第一类H0) DF=g-q-1 (对第二类H0)
（注： g为合并后的组数值）
【例4-4】在某大桥引桥上以30s的间隔对一个方向车流车辆的到达数作 连续观测， 得到232个观测值，我们把实测的到达数分成若干组，整理 为表4-3。试求其统计分布，并检验之。
表4-3 某大桥以30s间隔观测到达的车辆数数据统计列表
2. 二项分布
(1)基本公式
k P ( k ) Cn (
t
n
) k (1
t
n
) nk ,
k 0,1,2, , n
式中：P(k)——在计数间隔t内到达k辆车或k个人的概率； λ——平均到达率(辆/s或人/s)； t——每个计数间隔持续的时间(s)或距离(m)；
n——正整数； n! k Cn k!(n k )!
2
3. 负二项分布
(1)基本公式
式中：p、β为负二项分布参数。 0＜p＜1，β为正整数。
在计数间隔t内，到达数大于k的概率：
1 i P( k ) 1 Ck p ( 1 p ) 1 i 0
k
由 概 率 论 可 知 ， 对 于 负 二 项 分 布 ， 其 均 值 M=β(１p)/p,D=β(1-p)/p2,M＜D。因此，当用负二项分布拟合观测数据 时，利用p、β与均值、方差的关系式，用样本的均值m、方差 S2代替M、D，p、β可由下列关系式估算：
通常记p=λt/n，则二项分布可写成：
P(k ) C p (1 p)
k n k
n k
,
k 0,1,2,, n
式中：0＜p＜1，n、p称为分布参数。
对于二项分布，其均值 M=np, 方差 D=np(1-p)，M＞D 。因此，当用二项分布拟合观测数时，根据参数p、n与方 差，均值的关系式，用样本的均值m、方差S2代替M、D， p、n可按下列关系式估算：
p m / S 2 , m2 /(S 2 m)(取整数)
(2)递推公式
P(0) p k 1 P(k ) (1 p) P(k 1) k
(3)适用条件 当到达的车流波动性很大或以一定的计算间隔观测到达的 车辆数 ( 人数 ) 其间隔长度一直延续到高峰期间与非高峰期间 两个时段时，所得数据可能具有较大的方差。
mi e m P ( k ) i! i 0
k 1
② 到达数小于等于k的概率：
mi e m P ( k ) i! i 0
k
③ 到达数大于k的概率：
mi e m P( k ) 1 P( k ) 1 i! i 0
k
④ 到达数大于等于k的概率：
S2
1 N 1 g 2 ( k m ) (k j m)2 f j i N 1 i 1 N 1 j 1
1 （ [ 3 7.469) 2 3 (4 7.469) 2 0 ... (12 7.469) 2 1] 64 1 3.999
车辆到达数n <3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 >12
到达数ns出现次数
0
3
0
8
10
11
10
11
9
1
1
0
解：
m
k
j 1 g j 1
g
j
fj
j
f
1 N
k
j 1
g
j
f j 3 3 4 0 ... 12 1 478 7.469 3 0 ... 1 64
k
j 1
g
j
fj
k
j 1
g
j
fj
fj
N
式中：g——观测数据分组数； fj——计算间隔t内到达kj辆车(人)这一事件发生的次(频)数； kj——计数间隔t内的到达数或各组的中值； N——观测的总计间隔数。
(2)递推公式
P(0) e m P(k 1) P(k ) k 1
(3)应用条件
4. 离散型分布拟合优度检验——χ2检验
(1)χ2检验的基本原理及方法
① 建立原假设H0 ② 选择适宜的统计量 ④ 判定统计检验结果
2


j 1
g

f j np j np j
2

F
j 1
g
fj
j
2
n
2 ③ 确定统计量的临界值
2 当 2 时假设成立
• (2)注意事项 总频数n要足够大； 分组数g>5，且要连续； Fj≥5(即各组段的理论频数不小于5)，否则要与相邻 组归并； DF