中考压轴冲刺二动态几何定值问题解析

中考压轴冲刺二动态几何定值问题解析
类型一【线段及线段的和差为定值】
例1、已知：祥BC是等腰直角三角形，/ BAC=90°,将那BC绕点C顺时针方向旋转得到AABC,记旋
②求证：EA'EC=EF；
（2）如图2,在（1）的条件下，设P是直线AD上的一个动点，连接PA, PF,若AB=盘,求线段PA+PF的最小值.（结果保留根号）
【详解】①解：由/ CA'D=15。

，可知/ A'CD=90。

-15。

=75所以/ ACA=180° -75 ° =10即旋转角”为105°.
②证明：连接AF ,设EF交CA于点O.在EF时截取EM=EC,连接CM .
・. /CED = /A'CE+/CA'E=45° +15=60°,
・./ CEA = 120°,
・•• FE 平分/ CEA',
・./ CEF = Z FEA '= 60°,
・. / FCO= 180 — 45 —75° = 60°,
・./FCO = /A'EO, / FOC = /AOE,
.-.△FOC C/D A AOE,
OF OC
A O OE
OF AO -- =
OC OE
・. / COE = Z FOA ；
.-.△COE^A FOA :
FA'O=/ OEC=60°,
・•.△A'CF是等边三角形，
.-，CF=CA= A'F,
・•• EM= EC, / CEM = 60°, .•.△CEM是等边三角形，
/ ECM = 60°, CM = CE,
・. / FCA = / MCE = 60°,
・./ FCM =/ ACE, .-.△FCM^A ACE (SAS),
・•. FM = AE,
• .CE+AE=EM+FM = EF.
(2)解：如图2中，连接AF, PB ； AB',彳B M，AC交AC的延长线于M.
02
由②可知，/ EAF='EAB'= 75°, AE = A'E, A'F = A'B',
AEF^A AEB；
EF=EB
B； F关于A'E对称，
・•. PF=PB ；
PA+PF= PA+PB' AB；
在Rt^CBM 中，CB'= BC= 72AB = 2, / MCB'= 30。

，
—1 . —
B M = -CB = 1, CM= J3 ,
2
AB′= J AM2B M 2 ="(72 J)212 =416 2爬.
PA+PF的最小值为q'6 2J6 •
类型二【线段的积或商为定值】
例2、如图①，矩形ABCD中，AB 2,BC 5,BP 1, MPN 900,将MPN绕点P从PB处开
始按顺时针方向旋转，PM交边AB (或AD )于点E , PN交边AD (或CD )于点F .当PN旋转至
PC处时，MPN的旋转随即停止.
(1)特殊情形：如图②，发现当PM过点A时，PN也恰好过点D,此时ABP是否与PCD相似？并说明理由；
PE
(2)类比探究：如图③，在旋转过程中，生的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明
PF
理由；
(3)拓展延伸：设AE t时，EPF的面积为S,试用含t的代数式表示S;
①在旋转过程中，若t 1时，求对应的EPF的面积；
②在旋转过程中，当EPF的面积为4.2时，求对应的t的值.
【详解】(1)相似
理由：: BAP BPA 90°,
••• BAP CPD ,
又「ABP PCD 90°,
••• ABP: PCD;
(2)
CPD BPA 900 ，
，…，一，PE ……
在旋转过程中三的值为定值,
PF
D
理由如下：过点F作FG BC于点G , ••BEP EBP PGF 900，•• EBP: PGF
PE
•••四边形ABCD为矩形，，四边形
PF
ABGF为矩形，
BP
GF '
FG AB 2, BP 1
PE
PF
即在旋转过程中, PE 一一
PE的值为定值, PF
（3）由（2）知: EBP: PGF
PE
PF
BE PE
PG PF
t,BE
PB 2 2t
,
BG AF BP PG 2t 5 2t ,
S
EPF
S
矩形ABGF
S
AEF BEP PFG
2
t
1
-t 5
2
2
t
2
t
2
t 4t 5
即: t24t 5;
①当1时, EPF的面积12
②当EPF 4.2
时, 4
t
4.
2
解得：t1 2 4-^
5 （舍
去）
，当EPF的面积为 4.2 时，t 2 4.5 -- ；5
类型三【角及角的和差定值】
例3、如图，在9BC 中，Z ABC >60°, /BACv60°,以AB为边作等边4BD （点C、D在边AB的同
侧)，连接CD.
(1)若/ ABC 90 ；Z BAG 30 ,求/ BDC 的度数;
(2)当/ BAG 2Z BDC时，请判断NXBC的形状并说明理由;
(3)当/BCD等于多少度时，Z BAC 2/BDC恒成立.
Z BAD=Z ABD =60 , AB=AD ,
又・. / BAC=30 ,
• ・AC 平分/ BAD,
二•AC垂直平分BD,
,-.CD = BC, ・•./ BDC=Z DBC = ZABC-Z ABD=90 -60 =3。

(2) 4BC是等腰三角形,
理由：设/ BDC=x,则/ BAC=2x,
有/ CAD=60 -2, Z ADC =60 叔,
Z ACD=180 CAD-Z ADC =600 %
ACD=Z ADC,
AC=AD,
又「AB=AD,
AB=AC,
即AABC是等腰三角形;
(3)当/ BCD=150° 时，/ BAC=2Z BDC 恒成立, 如图，作等边^BCE,连接
DE, 【详解】(1) .「△ ABD为等边三角形,
BC=EC, / BCE=60° .
・. / BCD=150° ,
・./ ECD=360° B BCD-Z BCE=150° ,
・./ DCE=Z DCB.
又「CD = CD,
・.△ BCDECD.
・./ BDC=Z EDC,
即/ BDE=2/ BDC.
又ABD为等边三角形，
AB=BD, Z ABD = Z CBE=60° ,
・./ ABC=/DBE=60° +/ DBC.
又「BC=BE,
・.△ BDE^A BAC.
・./ BAC=Z BDE,
・./ BAC=2/ BDC.
类型四【三角形的周长为定值】
例4、如图，现有一张边长为2亚的正方形ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)，将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H,折痕为EF,连接
BP, BH.
(1)求证：EPB EBP;
(2)求证：APB
(3)当点P 在边AD 上移动时，APDH 的周长是否发生变化？不变化，求出周长，若变化，说明理由;
・•. EP = EB
EPB = /EBP
(2)证明二•四边形 EPGF 由四边形EFCB 折叠而来,
又・. / EPB = / EBP
・ ./EPG - /EPB = /EBC - / EBP,即 / BPH = / PBC ・ •• AD // BC, ・ ./ APB = /PBC, ・ ./ APB = / BPH
(3)解：APDH 的周长不发生变化.
如图所示，过点 B 作BQ ，PG 于点Q.
在4BPA 和ABPQ 中,
APB QPB PB PB A PQB
EB 与EP 重叠，PG 与BC 重叠
(4)设AP 为x,四边形EFGP 的面积为S,求出S 与x 的函数关系式
【详解】(1)证明：二.四边形 EPGF 由四边形EFCB 折叠而来，EB 与EP 重叠
• •・ VBPA VBPQ(ASA)
PQ AP, AB BQ, BQ BC
RtVBHQ 和 RtVBHC ,
BQ BC BH BH
• •・ RtVBHQ© RtVBHC (HL) • .QH = HC
• •.△PDH 的周长为：i PD DH PH PD AP DH HC AD BC 4&
为固定值，固定不变.
如图，过点F 作FM 垂直AB 于点M.
BEF ABP 90 , BEF
• •• MFE ABP
在4ABP 和4MFE 中
A EMF
AB MF , ABP MFE
VABP^VMFE (ASA)
• •• ME AP x
在 "EP 中，根据勾股定理，可得：
x 2
(4 BE)2
BE 2
MFE 90
2
解得：BE — 2
8
1 - -
一S SI边形EFCB
-(CF BE) BC ,即2
2 x —x
8
2
x
=—2x 8
2
即S关于x的关系式为:
2 x S — 2x 8 2
类型五【三角形的面积及和差为定值】例5、综合与实践：矩形的旋转问题情境:
在综合与实践课上，老师让同学们以矩形的旋转”为主题开展数学活动.具体要求：如图1,将长与宽都
相等的两个矩形纸片ABCD和EFGH叠放在一起，这时对角线AC和EG互相重合.固定矩形ABCD ,
矩形EFGH绕AC的中点O逆时针方向旋转，直到点E与点B重合时停止，在此过程中开展探究活动.
操作发现:
(1)雄鹰小组初步发现：在旋转过程中，当边AB与EF交于点M,边CD与GH交于点N,如图2、图所示，则线段AM与CN始终存在的数量关系是 .
(2)雄鹰小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形QMRN时，如图3所
示，四边形QMRN为菱形，请你证明这个结论.
(3)雄鹰小组还发现在问题(2)中的四边形QMRN中/ MQN与旋转角/ AOE存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，并说明理由.
实践探究：
(4)在图3中，随着矩形纸片EFGH的旋转，四边形QMRN的面积会发生变化.若矩形纸片的长为
J2,请你帮助雄鹰小组探究当旋转角/ AOE为多少度时，四边形QMRN的面积最大？最大
2+无，宽为
面积是多少？(直接写出答案)
E
【详解】（1）结论：AM=CN.
理由：如图2中，设AB交EG于K, CD交EG于J.
图2
•••四边形ABCD是矩形，四边形EFGH是矩形，
•.AB//CD, EF//EG, OA=OC = OE=OG,
MEK = / JGN, /OAK = /OAJ,
•. Z AOK = Z AOJ, /.AAOK^AAOJ (ASA),
.•.OK=OJ, AK=CJ, /AOK = /AJO, /. EK = JG,
•. /EKM =/AKO, /GJN = /CJO, /. Z EKM =Z GJN,
••.△EKM^AGJN (ASA),，KM=JN,，AM=AN.
•2)证明：过点Q作QKXEF, QLXCD,垂足分别为点K, L.
由题可知：矩形ABCD0矩形EFGH , ，AD = EH, AB//CD, EF// HG , ，四边形QMRN为平行四边形，
•. QKXEF, QLXCD, /. QK= EH, QL = AD, Z QKM = Z QLN = 90°,又「AB//CD, EF//HG, / KMQ = / MQN , /MQN = /LNQ, •./KMQ =/ LNQ, QKM^AQLN (AAS),
•.MQ=NQ. .四边形QMRN为菱形.
(3)结论：/ MQN = /AOE.理由：如图3-1中,
•. /QND = / 1 + /2, /AOE = /1 + /3,
又由题意可知旋转前/ 2与/3重合，2=7 3, .•・ / QND —Z AOE , . AB//CD, . MQN = /QND, /. Z MQN = Z AOE .
(4)如图3-2中，连接BD,在DC上取一点J,使得DJ=AD = J5,•. QK=QL,
则AJ = 2,
图务2
,. CD = 2+J2，，CJ = AJ = 2, .•./ JCA=/JAC,
••• / AJD = 45° = Z JCA+ / JAC, • . / ACJ = 22.5 °,
•. OC=OD, .・./OCD = /ODC = 22.5°, .•./BOC=45°,
观察图象可知，当点F与点C重合或点G与点D重合时，四边形QMRN的面积最大，最大值=
2,2,
・•./ AOE = 45。

或135。

时，四边形QMRN面积最大为2J2 .
练习：
1 .已知在平行四边形ABCD中，AB=6, BC=10, Z BAD =120 °, E为线段BC上的一个动点(不与B, C 重合)，过E作直线AB的垂线，垂足为F, FE与DC的延长线相交于点G,
(1)如图1,当AELBC时，求线段BE、CG的长度.
(2)如图2,点E在线段BC上运动时，连接DE, DF, ABEF JfACEG的周长之和是否是一个定值，若
是请求出定值，若不是请说明理由.
设BE=x, ADEF的面积为y,试求出y关于x的函数关系式.
【详解】(1)二.四边形ABCD是平行四边形,
(3)如图2,
AD // BC, AB// CD,
•./ BAD+Z B=180° ,
/ BAD=120° ,
/ B=60° ,
••• AEXBC 于E,
在RtAABE 中，/ BAE=30°, AB=6 ,•••BE=3, AE=3、3,
••• EFXAB,
•./ BFE=90° ,
在RtABEF 中，/ BEF=30° , ...BF=1BE=3, EF=3_11 , 2 2 2 •••S?ABCD=BC >^AE=AB 汨G , 10X3 , 3 =6FG ,
•••FG=5
EG = FG- EF= 7石；2
(2)如图2,
过点A作AH，BC于H ,
•••/ B=60° ,
BH=3, AH=3 ,3 ,
•. / AHB=/BFE=90° , /B=/B,
ABH^AEBF,
AB BH AH •• 一 一 一， BE BF EF
设 BE=a,
6 A 3J a BF EF
.-.BF=1a, EF=_fa, 2 2
••• AB II CD,
・ .△ BEF^ACEG,
• .CG=1 (10-a), EG=— (10-a), ・•・C^EF +Cz CEG =BE+BF+EF + CE+CG+EG=a+1a+夸 a+10 —a+g (10- a) +g (10-a) =10+5+5 « =15+5 33 ；
(3)同(2)的方法得，EF=Y 3x, CG=1 (10-x), 2 2
・•. DG=CD + CG=6+5 - 1x=11 - 1x 2 2
S A DEF =工 EF XDG =1x 且xx(11/x)=—且x 2+M (0<x< 10). 2 2 2 2 8 4
2 .如图，边长为 8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点 C 为顶点的抛物线经过点 A,点P 是抛物线 上点A 、C 间的一个动点（含端点），过点P 作PFLBC 于点F,点D 、E 的坐标分别为（0, 6）, （-4, 0）,连接 PD, PE, DE. BF BE CG
CE 1 a
2_
CG EF EG ， 3 a _2_ 10 a EG
(1)求抛物线的解析式；
(2)小明探究点P 的位置是发现：当点 P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值，进而猜想：对于 任意一点P, PD 与PF 的差为定值，请你判定该猜想是否正确，并说明理由；
(3)请直接写出APDE 周长的最大值和最小值.
【详解】(1)二.•边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点 C 为顶点的抛物线经过点 A, ••C (0, 8), A (-8, 0),
设抛物 线解析式为：y = ax 2+ c,
c 8
64a c
1 a - 解得： 8 .
c 8
1
，抛物线解析式为 y=- -x 2+8. 8
(2)设 P (x, - 1x2+8),贝U F (x, 8),
8 则 PF=8 — (— 1x 2+8) = lx 2
.
8 8 PD 2=x 2+[6 - (- 1x 2+8) ]2
= -x 4+1x 2+4 = 8 64 2 PD = 1x 2+2, 8 ..d = |PD - PF |= | — x 2+2 - - x2|= 2 8 8
，d=|PD-PF|为定值 2;
(3)如图，过点 E 作EF^x 轴，交抛物线于点 P,
由d= |PD - PF|为定值
2,
1 2
—x 2+2) 2
8
得C ZPDE= ED+PE+PD= ED+PE+PF+2= ED+」2+ ( PE+PF),
又「D (0, 6), E (— 4, 0)
•1• DE = J62 42 辰2屈• .-.CAPDE=2^13+2+ (PE+PF),
当PE和PF在同一直线时PE+PF最小，
得Cz pDE最小值=2而+2+8 = 2 J13+10.
设P为抛物线AC上异于点A的任意一点，过P作PM//x轴，交AB于点M,连接ME,如图2.
图2
由于E是AO的中点，易证得ME*E （当点P接近点A时，在APME中，显然/ MPE是钝角，故ME*E,与A重合时，等号成立），而MEqE+AM,
所以PE用E+AM .
所以当P与A重合时，PE-PF最大，
AE = 8- 4=4, PD=7AO_DO2而~62 = 10.
得C/PDE最大值=2 J13+4+10 = 2 J13+14 .
综上所述，4PDE周长的最大值是2 布+14,最小值是2布+10.
3.如图，四边形ABCD 中，AD // BC, /ABC=90°.
(1)直接填空：/ BAD=° .
(2)点P在CD上，连结AP, AM平分/ DAP, AN平分/ PAB, AM、AN分别与射线BP交于点M、
/ DAM= a.
①求/ BAN的度数(用含a的代数式表示).
②若ANLBM,试探究/ AMB的度数是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请用
【详解】解：(1)「AD// BC, Z ABC=90° , ・./ BAD=180° -90° =90°
故答案为：90 ；
(2)①「AM 平分/ DAP , /DAM=a°,
•./ DAP=2 a°,
•••/ BAD=90° ,
/ BAP=(90-2 ) °,
•. AN 平分/ PAB,
1
・ ./ BAN=-(90-2 a) =(45);
2
②; AM平分/ DAP, AN平分/ PAB,
/ PAM= 1 Z PAD , / PAN= 1 / PAB,
2 2
・./ MAN = /MAP+ Z PAN=- Z PAD+ / 1 / PAB= 190° =45
2 2 2'
/AN ±BM ,
・./ ANM=90° ,
・./ AMB=180° -90° -45° =45°
N.设
a的代数
4.将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC, DE.探究S从BC与S ADC的比是
否为定值.
（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，S ZABC：S MDE是否为定值？如果是，求出此定值，如果
不是，说明理由.（图①）
（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30。

角的直角三角板时，S AABC：S AADE是否为定值？如果是，
求出此定值，如果不是，说明理由. （图②）
（3）两块三角板中，/ BAE + /CAD = 180°, AB= a, AE=b, AC=m, AD=n （a, b, m, n 为常数），
S ZABC：S ZADE是否为定值？如果是，用含a, b, m, n的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由.（图③）
【详解】（1）结论：S AABC：S AADE =定值.
理由：如图1中，作DH LAE于H, CGLBA交BA的延长线于G.
・. / BAE=Z CAD = 90°,
BAC+ZEAD=180°, / BAC + Z CAG = 180°,
・ ./ DAE = Z CAG,
AB = AE= AD = AC,
1 一 _ _ —AB AC sin CAG
2 ---------- i —AE AD sin DAE
2
理由：如图1中，作DH LAE 于H, CG^BA 交BA 的延长线于 G.
不妨设/ ADC = 30°,则 AD 6AC, AE = AB,
・ . / BAE=Z CAD = 90°,
・ ./ BAC+Z EAD= 180°, / BAC + Z CAG = 180°,
・ ./ DAE = Z CAG,
.S VABC
S VAED
(2)如图 2 中，S/ABC ： S ，S DE =定值.
1 / _
-ABAC sin CAG 万
2 3
1 3
AE AD sin DAE 3
2
3中，如图2中，S AABC ： S AADE =定值.
理由：如图1中，作DH ，AE 于H, CG^BA 交BA 的延长线于 G.
E @
・. / BAE=Z CAD = 90°,
BAC+ZEAD=180°, / BAC + Z CAG = 180°,
・ ./ DAE = Z CAG,
AE=b, AC = m, AD=n
1 一 _ _
—AB AC sin CAG
2 ma
3 AE AD sin DAE nb
4
5.（解决问题）如图1,在 ABC 中，AB AC 10, CG AB 于点G .点P 是BC 边上任意一点, 过点P 作PE AB , PF AC ,垂足分别为点 E ,点F .
(1)若 PE 3, PF 5,则 ABP 的面积是, CG
(2)猜想线段PE, PF, CG 的数量关系，并说明理由. S VABC S VAED (3)如图
AB = a, S
VABC S VAED
(3)(变式探究)如图2,在 ABC 中，若AB AC BC 10,点P 是 ABC 内任意一点，且 PE BC , PF AC , PG AB ,垂足分别为点 E ,点F ,点G ,求PE PF PG 的值.
(4)(拓展延伸)如图3,将长方形 ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C 处，点
折痕EF 上的任意一点，过点 P 作PG BE , PH BC ,垂足分别为点 G ,点H .若AD 8,
CF 3,直接写出PG PH 的值.
【详解】解：(1) ••• PE AB, AB 10, PE 3, 11 • ABP 的面积一AB PE — 10 3 15, 2 2
PE AB , PF AC , CG AB ,
• •• AB CG AB PE AC PF , • •• AB AC , • .CG PE PF 3 5 8.
故答案为：15, 8.
(2) ••• PE AB , PF AC , CG AB ,
••• AB CG AB PE AC PF ,
ABC
S
ABP
且 S
ABC
S
ABP
••• AB AC ,
C CG PE PF .
(3)连接 PA 、PB 、PC ,作 AM . AB AC BC 10,
ABC 是等边三角形， ••• AM BC ,
1 -
••• BM -BC 5 , 2
AM J AB 2
BM
2
J 102
52
5后
i i -
-
••• ABC 的面积 一BC AM - 10 5石 25^, 2 2
. PE BC , PF AC , PG AB ,
••・四边形ABCD 是矩形，
AD BC , C ADC 90 ,
ABC 的面积 BCP 的面积 ACP 的面积 APB 的面积
1 - 1 -
1 -
BC PE AC PF AB PG 2 2
2
1
-
3AB(PE PF PG)
256,
PE PF PG 2 25 3 5.3.
10 (4)过点E 作EQ
BC ,垂足为Q ,如图3所示:
BC 于M ,如图2所示:
H E M
［图
. AD 8, CF 3,
••• BF BC CF AD CF 5 ,
由折叠可得：DF BF 5, BEF DEF ,
C 90 ,
DC JDF2FC2旧 324,
. EQ BC , C ADC 90 ,
EQC 90 C ADC ,
，四边形EQCD是矩形，
EQ DC 4,
••• AD//BC ,
DEF EFB ,
. BEF DEF ,
BEF EFB,
BE BF ,
由解决问题（1）可得：PG PH EQ ,
••• PG PH 4,即PG PH 的值为4.
6.如图，已知锐角AABC中，AB、AC边的中垂线交于点O
(1)若/ A= a (0°< a< 90°),求/ BOC;
(2)试判断/ ABO+/ACB是否为定值；若是，求出定值，若不是，请说明理由. 解：(1) AB、AC边的中垂线交于点O,
• . AO = BO=CO,
OAB=/OBA, /OCA = /OAC,
AOB+/AOC= (180° ― / OAB—/ OBA) + (180° - Z OAC - Z OCA),
・./ AOB+/AOC= (180°-2/OAB) + (180 -2ZOAC) =360 - 2 (/OAB + /OAC) =360° -2ZA=360° — 2 a, ・./ BOC=360° - (/ AOB+/AOC) =2”；
(2) / ABO + Z ACB 为定值，
BO = CO,
・./ OBC=/OCB,
・. / OAB=/OBA, /OCA = /OAC,
，/OBC= (180°-2/A) =90° - a,
・. / ABO+Z ACB+ZOBC+ZA=180° ,
・・•/ ABO+Z ACB = 180° —a- (90°—a) =90°.
7. OO的直径AB = 15cm,有一条定长为9cm的动弦，CD在弧AB上滑动(点C和A、点D与B不重
合)，且CELCD 交AB 于E, DFLCD 交AB 于F.
(1)求证：AE=BF
(2)在动弦CD滑动过程中，四边形CDFE的面积是否为定值，若是定值，请给出证明，并求这个定
值，若不是，t#说明理由.
【详解】(1)如图，过O作OGLCD于G,
则G为CD的中点，又ECXCD, FDXCD, ・ .EC// OG // FD, ・•.O为EF的中点，即OE=OF,
又AB为。

O的直径，
.•.OA=OB, .•.AE=BF (等式性质)
(2)四边形CDFE的面积是定值，理由如下:
过点。

作OG^CD于G,连接OD.
则DG 1CD 4.5cm. 2
o 1
在^OGD 中，OGD 90 ,OD —AB 7.5cm, 2
根据勾股定理得OG力.524.526cm,则GD=4.5cm.
•••OD、DG是定值，
OG是定值，
••• CE // OG // DF, G 为CD 中点，
・•.O为EF中点，
①当CD与AB不平行时.
.•.OG为梯形CDFE的中位线，
・•. CE + DF=2OG=2X6=1纪m,
・ .♦梯形的高也是定值9 cm,
・••梯形的面积是定值=12X 9 + 2=54m2.
②当CD//AB时，四边形ECDF是矩形，
OG=EC=FD=6,
矩形的面积=6X 9=54cm2是定值.
综上所述，四边形CDFE的面积是定值.
8.在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，且OA=6, OB=8,点D是AB的中点.
(1)直接写出点D的坐标及AB的长；
(2)若直角/ NDM绕点D旋转，射线DP分别交x轴、y轴于点P、N,射线DM交x轴于点M,连接
MN .
①当点P和点N分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴时，若APDM^A MON ,求点N的坐标；
②在直角/ NDM绕点D旋转的过程中，/ DMN的大小是否会发生变化？请说明理由.
【详解】
（1）
(2)①如图,
CD = 3=OE,
••・OA = 6, OB=8,点D是AB的中点，，点D的坐标为（3, 4） , AB
过点D作DC，y轴于C,作DE，x轴于E,则
DE =4=CO, Z DCN = Z DEM =90°,设ON = x,则CN=4-x.
・. / CDE = /PDM =90°, .•./ CDN = Z EDM , •CDN^AEDM CD
ED
CN
EM
一
62
82 I。

；
4 x
---- ,EM
EM
4 、
一(4 —
x).
3
. CD//PO, /.A CDN C/D A OPN, CD
OP
CN
一，即一
ON OP
・•
・
OP
3x
4 x
△ PDM^A MON , • ./ NPO = /NMO ,，PN = MN.
3x
••• NOXPM, PO= MO,即^x-
4 x
4 …
3 ； (4-x),解得:
Xi =
10
（舍去），
x2
・・•
ON
5-N
2
的坐标为（
②在直角/
c 5、
0, 一）；
2
NDM绕点D旋转的过程中,
/ DMN的大小不会发生变化.理由如下:
由①可得:
△CDN^AEDM,CD
ED
OA 3
又•「OA=6, OB=8,———
OB 4 '
DN 口u 3 DN
——，即———.
DM 4 DM
DN OA DN DM
——一，即一一
DM OB AO OB
又・./ AOB=/ NDM =90°, /.A AOBc/3A NDM , /. Z DMN = Z OBA.
・「/ OBA大小不变，DMN的大小不会发生变化.
9.如图，在菱形ABCD中，/ ABC = 60°, AB= 2,过点A作对角线BD的平行线与边CD的延长线相交
于点E. P为边BD上的一个动点（不与端点B, D 重合),连接PA, PE, AC.
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2)求四边形ABDE的周长和面积；
(3)记那BP的周长和面积分别为C i和Si, APDE的周长和面积分别为C2和S2,在点P的运动过程中, 试探究下列两个式子的值或范围：①C1+C2,②S+8，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定
值的，请直接写出它的取值范围.
【详解】(1)证明：二•四边形ABCD是菱形，AB // CD,
即AB // DE .
••• BD // AE,
••・四边形ABDE是平行四边形.
(2)解：设对角线AC与BD相交于点O.
••.四边形ABCD是菱形，/ ABC =60°,
ABD = Z CBP= 1 Z ABC =30° AC± BD
2
在RtAAOB 中，AO=1A B=1,2
•.OB= B
•.BD = 2BO=2 石.
Y ABDE 的周长为：2AB+2BD = 4+4 石，
Y ABDE 的面积为：BD?AO = 2^3 X 1= 2M.
(3)①; C1 + C2 = AB+PB+AP+PD+PE+DE = 2AB+BD+AP+PE=4+2 石+AP+PE,
•••C和A关于直线BD对称，
••・当P在D处时，AP+PE的值最小，最小值是2+2=4,
当P 在点B 处时，AP+PE 的值最大，如图2, 过E 作EG^BD,交BD 的延长线于G,
• . / BDE = 150°, • ./ EDG = 30°, DE = 2, • .EG=1, DG=忖
Rt^PEG 中，BG = 2j 3+%/3 =373 ,
由勾股定理得：PE
= J?~（373）2 J 28 2日,
• •.AP+PE 的最大值是：2+277,
• •• P 为边BD 上的一个动点（不与端点 B, D 重合），
• ・4+4+2 6 v C 1+C2V4+2 而+2+2 J 7 ,即 8+2 V 3 V C 1+C 2 v 6+2 4+2 J7 ；
（写对一边的范围给一分）
②S 1+S 2的值为定值，这个定值为 旧;
一口- 1 一 — 1 一 — 理由是：S+S2=—BPAO -PD AO
2 2
10.如图，抛物线的顶点坐标为 C (0, 8),并且经过A (8, 0),点P 是抛物线上点 A, C 间的一个动点
(含端点)，过点P 作直线y=8的垂线，垂足为点 F,点D, E 的坐标分别为(0, 6), (4, 0),连接PD,
PE, DE.
(1)求抛物线的解析式； (2)猜想并探究：对于任意一点
P, PD 与PF 的差是否为固定值？如果是，请求出此定值；如果不是,
请说明理由；
(3)求：①当APDE 的周长最小时的点 P 坐标；②使APDE 的面积为整数的点 P 的个数.
1 -
-AO （BP PD ）
y=- 1x 2
+8； (2) PD 与 PF 的差是定值，PD - PF=2； (3)① P (4, 6), 8
11个令S ADPE 为整数的点.
【解析】
又「经过点A (8, 0),
1
有 64a+8=0,解得 a= -
8
............. 1c
故抛物线的解析式为：y=--x 2+8 ；
(2)是定值，解答如下：
1 C 一 —一 一 设 P (a, --a 2
+8),则 F (a, 8),
- D (0, 6),
. PD=. a 2 1 2 -a 8 8a 2
2
PF=8
1 2 -a 8 1 2
-a 8
・•. PD — PF=2；
(3)当点P 运动时,
DE 大小不变，则 PE 与PD 的和最小时， APDE 的周长最小,
••• PD - PF=2, PD=PF+2,
【答案】(1)抛物线的解析式为 此时APDE 的周长最小；②共有
(1)设抛物线的解析式为 y=a (x+h) 2+k
•・•点C (0, 8)是它的顶点坐标,
/. y=ax 2
+8
・•. PE+PD=PE+PF+2,
・•・当P 、E 、F 三点共线时，PE+PF 最小, 此时点P, E 的横坐标都为4,
一 …
1 O
将 x=4 代入 y=-- x 2
+8,得 y=6,
P (4, 6),此时4PDE 的周长最小.
过点P 做PH^x 轴，垂足为H.
、一
1c
设 P (a, — —a 2
+8)
1 2
— 一
PH = --a 2
+8, EH=a —4, OH=a
Szl DPE = S 梯形 PHOD -S ZPHE -S/DOE
12c =- a 3a 4 4 1 / 2 =-- a 6）2 13 4
•・•点P 是抛物线上点 A, C 间的一个动点（含端点）
• ' O^^S W 8
当a=6时，S
Z \DPE 取最大值为13.
当a=0时，S ZIDPE 取最小值为4. 即 4<S ZDPE W 13
其中，当S GPE =12时，有两个点P. 所以，共有11个令S ADPE 为整数的点.
二1
-I
2
8 6
?a
12c
1c a 8 a 4 4 6 8 2。