第9章平面图和图的着色
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图的平面图与图的着色
图的平面图与图的着色在图论中，图是由边和顶点组成的数学结构，用来描述事物之间的联系和关系。
图论是一门重要且广泛应用的数学分支，涉及到许多重要的概念和问题，其中包括图的平面图与图的着色。
一、图的平面图在图论中，平面图是指可以被画在平面上而不相交的图。
也就是说，图的边不能相交，且在同一个点上，至多只能有两条边相接。
平面图的研究起源于哥尼斯堡七桥问题。
经过数学家的研究，他们发现了一些重要的结论。
如Euler公式，它是平面图论的基础定理之一。
该定理表明，对于连通的平面图，其顶点数、边数和面数之间存在如下关系：v-e+f=2。
其中v代表顶点数，e代表边数，f代表面数。
除了Euler公式，平面图还有其他一些重要的性质，如四色定理。
四色定理指出，任何一个平面图都可以用不超过四种颜色进行着色，使得任意相邻的两个顶点使用不同的颜色。
二、图的着色图的着色是指给图的每个顶点分配一个颜色，使得相邻的顶点颜色不同。
图的着色问题是图论研究中的一个经典问题，在计算机科学和应用领域有广泛的应用。
在图的着色问题中，有两个重要的概念：色数和色法。
色数是指给图的顶点着色所需使用的最少颜色数目，可以用来衡量图的某种特性。
色法是指给图的所有顶点着色的具体方法。
图的着色问题是一个NP完全问题，也就是说，对于大规模的图，要找到一个最佳的着色方案是非常困难的。
因此，人们通常采用一些启发式算法或者近似算法来解决这个问题。
三、图的平面图与图的着色的应用图的平面图与图的着色在实际生活中有着广泛的应用。
在地图设计中，平面图的概念可以帮助我们设计出不相交的道路、铁路和河流等，使得地图更加直观和易于理解。
在电路设计中，平面图的概念可以帮助我们避免电路中的交叉线，从而简化电路的设计和布线。
在时间表安排中，图的着色可以帮助我们安排不同的任务和活动，使得它们之间没有冲突和重叠。
在频谱分配中，图的着色可以帮助我们将不同的无线电信号分配到不同的频段中，以避免信号之间的干扰。
《AutoCAD绘图教程》课件第9章
2．绘制其他轴线 (1) 将最上轴线依次向下偏移5700、1500，得到下面两 条横向轴线。 (2) 将最左轴线依次向右偏移3400、3400、3400、3400， 得到后四条竖向轴线，结果如图9.2所示。
图9.2 绘制轴线
9.1.3 绘制墙线
设置“墙线”层为当前层。 1．设置多线样式 单击下拉菜单“格式”→“多线样式”命令，打开“多 线样式”对话框；在“多线样式”对话框中，单击“修改” 按钮，选择起点、端点用“直线”封口。
本节以图9.12为例，说明绘制建筑立面图的一般步骤。 说明：檐口伸出600 mm。
图9.12 建筑立面图绘制
9.2.1 设置绘图环境
1．设置单位 根据建筑立面图图示尺寸无小数的特点，设置精度。 单击“格式”下拉菜单的“单位”命令，打开“图形单 位”对话框；在“长度”选项组中设置“精度”列表框为 “0”。
④ 选择“调整”选项卡，将“标注特征比例”选项组 中的“使用全局比例”单选项设为“100”(根据出图比例设 置，此处根据书上插图的需要设置)。
⑤ 选择“主单位”选项卡，将“线性标注”选项组中 的“精度”单选项设为“0”。
9.1.2 绘制轴线
设置“轴线”层为当前层。 1．绘制最上、最左轴线 (1) 使用直线命令，绘制最上轴线，长度为13 600。 (2) 使用直线命令，绘制最左轴线，长度为7200。
图9.5 确定窗洞位置
(3) 使用修剪命令，以偏移得到的12条竖线为剪切边， 修剪得到窗洞，删除掉偏移得到的竖向轴线，结果如图9.6 所示。
图9.6 修剪得到窗洞
2) 确定门洞 (1) 使用偏移命令，将图9.6中左数第三条竖向轴线向左、 向右各偏移240 mm和1240 mm，将最下横向轴线向上偏移 240 mm、1240 mm，结果如图9.7所示。
离散数学中的图的平面图与平面图的着色
图是离散数学中的重要概念，而平面图和平面图的着色是图论中的两个关键概念。
平面图是指在平面上绘制的图形，使得图中的边不会相交。
平面图的着色是指对平面图中的顶点进行染色，且相邻的顶点不会被染成相同的颜色。
平面图的概念最早由欧拉在1736年提出。
他发现，如果一个图是可以在平面上绘制而不会边相交的，那么这个图是一个平面图。
欧拉还引入了一个重要的公式，即欧拉定理，它描述了平面图中的顶点、边和面的关系：V - E + F = 2，其中V代表顶点数，E代表边数，F代表面数。
对于平面图的着色问题，四色定理是一个非常重要的结果。
四色定理指出，任何一个平面图，在不考虑多重边和自环的情况下，最多只需要使用四种颜色就能够对图的顶点进行染色，使得相邻的顶点不会有相同的颜色。
这个定理在1976年被由英国数学家Tomás Oliveira e Silva使用计算机辅助证明，被认为是图论史上的一大突破。
对于平面图的着色，有一种特殊的染色方法叫做四色标号。
四色标号是指对于任意一个平面图，都可以给图中的每个顶点赋予一个自然数，使得相邻的顶点之间的差值不超过3。
这种染色方法保证了相邻的顶点不会被染成相同的颜色，同时最多只需要使用四种颜色。
平面图的着色不仅在图论中有着重要的应用，同时在现实生活中也有很多实际的应用。
比如，考虑地图上的城市，如果我们希望将城市标记成不同的颜色，以表示它们的关系，那么可以利用平面图的着色来实现。
另外，平面图的着色还有很多其他的实际应用，比如在工程规划中用于规划电路的布线、在计算机科学中用于处理图像等等。
总之，离散数学中的图的平面图与平面图的着色是图论中的两个重要概念。
平面图是指在平面上绘制的图形，使得边不会相交；平面图的着色是指对平面图中的顶点进行染色，且相邻的顶点不会被染成相同的颜色。
四色定理是平面图着色的重要结果，它指出任意一个平面图可以使用最多四种颜色进行着色。
平面图的着色在现实生活中有着广泛的应用，是离散数学中的一个重要研究领域。
《土木工程识图》 第九章
4．指北针或风向频率玫瑰图 建筑总平面中一般均画出指北针或带有指北方向的 风向频率玫瑰图（简称风玫瑰图），以表示建筑物的朝 向及当地的风向频率。
从图9-1的风玫瑰图可知，小区的新建一号住宅楼及 其他建筑的朝向均是坐北朝南的。
5．新建建筑室外附属设施及绿化情
在建筑总平面图中还应反映出新建建筑的室外附属 设施，如道路、围墙等，以及花坛、草坪、植草砖铺地、 树木、花草等绿地情况。
9.1பைடு நூலகம்3 门窗表
门窗表是对建筑物中所有不同类型的门窗统计后列 成的表，如表9-2所示。在门窗表中应反映门窗的类型、 编号，对应的洞口尺寸、数量等，如有特殊情况，应在 备注中加以说明。门窗表是门窗现场加工或采购订货、 施工监理、工程预决算的重要依据。
9.1.4 材料做法表
材料做法表除了用文字说明外，更多的是用表格的形 式，主要是对建筑各部位的构造做法加以详细说明。例 如墙、地面、楼面、屋面以及踢脚、散水等部位的构造 做法的详细表达，若采用标准图集中的做法，应注明所 采用的标准图集的代号、做法编号。工程做法表也是现 场施工、备料、施工监理、工程预决算的重要依据。
9.1.2 设计总说明
设计总说明是将该工程的概貌和要求用文字表达出 来，如该工程的设计依据、工程概况、设计标准、建筑 规模、标高、施工要求和建筑用料说明等。
现将某住宅楼的设计说明部分内容摘编如下：
（1）本工程建筑概况 建筑面积：2 604平方米 建筑层数（主体）：六层 主要结构类型：砖混 占地面积：604平方米 建筑耐火等级：二级 抗震设防烈度：七度 建筑使用年限：50年 屋面防水等级：Ⅲ级 防水层合理使用年限：十年 （2）本工程图中标注的尺寸除标高和总平面以米（m）为单位外，其他尺寸均 以毫米（mm）为单位。 （3）本工程室内地面设计标高±0.000相对于绝对标高。 （4）本工程所用材料的规格、施工要求及验收规则等除注明者外，均按国家有 关的工程施工及验收规范执行。 （5）墙体除注明外，均采用M5混合砂砌筑MU10混凝土空心砌块。 （6）墙基防潮：在室内地坪下60 mm处用20厚1﹕2防水砂浆防潮层（下有钢筋 混凝土梁板的可不做）。在墙靠土一侧加防潮层（1﹕2水泥砂浆惨5%防水粉），形 成封闭的防潮层。 （7）门窗立樘位置：图纸无特别注明时，铝合金门窗，钢门窗立墙中，木外门 立墙里平，木内门立开启方向墙平面，木窗在一砖时立墙里平，在一砖半墙时立墙 中，门边砖砌门脚头凡图中未注明者，均为半砖宽。
从图9-1的风玫瑰图可知，小区的新建一号住宅楼及 其他建筑的朝向均是坐北朝南的。
5．新建建筑室外附属设施及绿化情
在建筑总平面图中还应反映出新建建筑的室外附属 设施，如道路、围墙等，以及花坛、草坪、植草砖铺地、 树木、花草等绿地情况。
9.1பைடு நூலகம்3 门窗表
门窗表是对建筑物中所有不同类型的门窗统计后列 成的表，如表9-2所示。在门窗表中应反映门窗的类型、 编号，对应的洞口尺寸、数量等，如有特殊情况，应在 备注中加以说明。门窗表是门窗现场加工或采购订货、 施工监理、工程预决算的重要依据。
9.1.4 材料做法表
材料做法表除了用文字说明外，更多的是用表格的形 式，主要是对建筑各部位的构造做法加以详细说明。例 如墙、地面、楼面、屋面以及踢脚、散水等部位的构造 做法的详细表达，若采用标准图集中的做法，应注明所 采用的标准图集的代号、做法编号。工程做法表也是现 场施工、备料、施工监理、工程预决算的重要依据。
9.1.2 设计总说明
设计总说明是将该工程的概貌和要求用文字表达出 来，如该工程的设计依据、工程概况、设计标准、建筑 规模、标高、施工要求和建筑用料说明等。
现将某住宅楼的设计说明部分内容摘编如下：
（1）本工程建筑概况 建筑面积：2 604平方米 建筑层数（主体）：六层 主要结构类型：砖混 占地面积：604平方米 建筑耐火等级：二级 抗震设防烈度：七度 建筑使用年限：50年 屋面防水等级：Ⅲ级 防水层合理使用年限：十年 （2）本工程图中标注的尺寸除标高和总平面以米（m）为单位外，其他尺寸均 以毫米（mm）为单位。 （3）本工程室内地面设计标高±0.000相对于绝对标高。 （4）本工程所用材料的规格、施工要求及验收规则等除注明者外，均按国家有 关的工程施工及验收规范执行。 （5）墙体除注明外，均采用M5混合砂砌筑MU10混凝土空心砌块。 （6）墙基防潮：在室内地坪下60 mm处用20厚1﹕2防水砂浆防潮层（下有钢筋 混凝土梁板的可不做）。在墙靠土一侧加防潮层（1﹕2水泥砂浆惨5%防水粉），形 成封闭的防潮层。 （7）门窗立樘位置：图纸无特别注明时，铝合金门窗，钢门窗立墙中，木外门 立墙里平，木内门立开启方向墙平面，木窗在一砖时立墙里平，在一砖半墙时立墙 中，门边砖砌门脚头凡图中未注明者，均为半砖宽。
第九章-平面图与图的着色课件
部面。
单连通区域是指能够收缩到一个点的区域
5
2、平面图的面数、顶点数、边数之间的关系。
f3
f2 v
f1
u
f4
0
1
3
2
4
5
平面图的每个内部面都是G的某个圈围成的单连通区 域。
没有圈的图没有内部面，只有一个外部面。
6
2、平面图的面数、顶点数、边数之间的关系。
如果用V表示多面体的顶点,用E表示棱，用F表示 面数。
定理9.1.1(欧拉公式) 如果一个平面连通图 有p个顶点、q条边、f个面，则：p-q+f=2
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3、最大(极大)可平面图
一个图称为最大可平面图，如果这个可平面图再 加入一条边，新图必然是不可平面的。
观察下面两个图，他1不是最大可平面图 图2是最大可平面图
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4、最大(极大)平面图的性质
q=10≤3p-6=9,这是不成立的
所以K5不是可平面图。
最大可平面图
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4、最大(极大)平面图的性质
如果K3,3是平面图 在偶图中每个圈的长至少为4
如果K3,3是平面图 K3,3应满足q≤2p-4 K3,3中p=6,q=9 9≤8
K3,3不是平面图
K33
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4、最大(极大)平面图的性质
推论9.1.6 每个平面图G中顶点度的最小值不超过5,即 (G)≤5
图1 推论9.1.4 若G是任一有p个顶点q条边的可平面图 p≥3,则q≤3p-6,若G是2-连通的且没有三角形,则 q≤2p-4
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4、最大(极大)平面图的性质
推论9.1.4 若G是任一有p个顶点q条边的可平面图 p≥3,则q≤3p-6,若G是2-连通的且没有三角形,则 q≤2p-4
九章节图
a 8
c 30 5
d 6
32
13 b
97
g
2
f 17
e
13 8 30 32
9 7
5
w 6
2
17
LT’(x)=min{LT(x), LT(t1)+W({t1,x})}。 把T’代为T,把P’代为P,把LT’(x)代为LT(x)， 重复步骤(2)。
例 求图9.9中从a到z的最短通路的长
b
1
a
2
4
c
7
d
2
5
3
z
6
1
e
b
1
a
2
4
d 2
3T(x)
abcdez
T={a}
1 4 ∞∞∞
T={a,b}
带权图中的最短通路
设G=(V,E,W)是一个带权图， 其W是边集E 到R+={x∊R│x>0} 的一个函数。 通常称 W(e)为边e的长度， 图G中一个通路的长度定义为通路中所经过的边的 长度之和。 设 v0,z∊V， 要求从 v0到z的最短通路的长。
Dijkstra算法的基本思想
先把V分成两个子集，
a b c d e fg L 13 8 13 19 21 20
狄克斯瑞 （Edsger Wybe Dijkstra， 1930-2002.08.02）
计算机编程艺术与科学创建人之一. 1930年出生在荷兰鹿特丹市，于 2002年8月6日在荷兰家中与世长辞 。他在欧洲和美国曾从事首次航空 和结构计算机模拟的工作。曾是开 发Algol的委员会成员。他编写了第 一个Algol 60编译器。 1972年，荣获 美国计算机协会的图灵奖。
图的平面图与染色问题
图的平面图与染色问题在图论中，图的平面图与染色问题是一类常见的研究课题。
图的平面图是指可以在平面上进行绘制而不会产生边的交叉的图，而染色问题则是指给图的顶点赋予不同的颜色，使得任意两个相邻的顶点具有不同的颜色。
本文将探讨图的平面图与染色问题的相关概念、算法和应用。
一、图的平面图图的平面图是指可以在平面上进行绘制而不会产生边的交叉的图。
平面图可以使用点和线的形式进行表示，其中点代表图的顶点，线代表图的边。
一个简单无向图能够成为平面图的条件是它不包含K₅图和K₃，₃图作为子图。
为了更直观地表示一个平面图，可以使用图的嵌入的概念。
图的嵌入是指将图的顶点和边映射到平面上的一种方式，使得边之间不会相互交叉。
在图的嵌入中，每个边都被分配了一个方向，在绘制时需要保证边的方向一致，并且边不相交。
二、染色问题染色问题是在给定的图中为每个顶点赋予一个颜色的问题，使得任意两个相邻的顶点具有不同的颜色。
通常染色问题可以使用图的顶点着色表示，其中每个顶点都被赋予一个颜色。
在染色问题中，可以使用不同的策略来进行顶点的染色。
最简单的策略是贪心算法，即从一个顶点开始，按顺序为每个顶点找到一个未被使用过的颜色进行染色。
然而，对于某些特殊的图，贪心算法可能无法找到最少的颜色数。
为了解决染色问题，还涌现出了许多其他的算法和策略。
其中一种常见的算法是Welsh-Powell算法，该算法按顶点的度数进行排序，然后依次为每个顶点找到一个未被使用过的颜色进行染色。
这种算法通常能够找到比贪心算法更少的颜色数。
染色问题在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在地图着色中，地图的不同区域可以用不同的颜色表示，而相邻的区域则需要使用不同的颜色进行区分。
另外，在调度问题中，染色算法可以用于安排任务和资源的分配，以避免冲突。
三、应用举例1. 地图着色假设有一幅地图，地图被划分为若干个区域，每个区域都代表一个顶点，而相邻的区域则由边相连。
为了使得相邻的区域具有不同的颜色，可以使用染色算法对地图进行着色。
《平面图的面着色》课件
平面图的表示方法
总结词
平面图的表示方法有多种，包括几何表 示法和代数表示法等。
VS
详细描述
平面图的表示方法有多种，其中最常用的 是几何表示法。几何表示法是将平面图中 的顶点和边用几何图形表示出来，例如点 表示顶点，线段表示边。此外，代数表示 法也是一种常用的表示方法，它将平面图 中的顶点和边用代数符号表示出来，通过 建立代数方程来表示平面图的性质和关系 。
03
平面图面着色的算法
贪心算法
总结词
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前最优的选择，从而希望导致结果是全 局最优的算法。
详细描述
在平面图面着色问题中，贪心算法会从图的某个顶点开始，尽可能地使用最小数 量的颜色对所有面进行着色，直到无法继续进行。贪心算法并不保证得到最优解 ，但在某些情况下可以获得接近最优解的结果。
电路板的设计
要点一
总结词
电路板的设计中，平面图面着色被广泛应用于标识不同功 能的电路区域，提高电路板的可维护性和可靠性。
要点二
详细描述
在电路板设计中，不同功能的电路区域通常会使用不同的 颜色进行标识。这样可以帮助工程师快速识别和定位特定 电路区域，提高电路板的可维护性和可靠性，减少错误和 故障的发生。
详细描述
平面图是指将图形放置在平面上，使得图形中的点、线、面 等元素在平面上有对应的表示。平面图通常由顶点和边组成 ，顶点表示图形中的点，边表示图形中的线段。
平面图的性质
总结词
平面图的性质包括连通性、无环性、简单性等。
详细描述
平面图具有一些重要的性质，这些性质决定了图形的表示方式和可操作性。其中，连通性是指平面图中的任意两 点都可以通过一条路径相连；无环性是指平面图中不存在环路，即不存在一条路径可以从起点回到起点；简单性 是指平面图中的边和顶点都没有额外的标记或属性。
平面图与图的着色
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4.1 平面图
e6 F4
v 1 F1 e4 v4
e1
e5 F3
F2
e3
v2 e2 v3 (b)
F1= v1 e1 v2 e6 v4 e4 v1 边界为：{e1 , e6 , e4 }
F3= v1 e1 v2 e2 v3 e5 v1 边界为：{e1 , e2 , e5 }
F2= v1 e5 v3 e3 v4 e4 v1 边界为：{e5 , e3 , e4 }
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不是极大平面图
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4.2 极大平面图
v1
v2
v5
v3
v4
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4.2 极大平面图
设有n个结点和m条边的极大平面图G具有以下性质： 性质1. G是连通的。 性质2. G不存在割边。 性质3. G的每个域的边界数都是3（极大平面图也称为
平面三角剖分）。 性质4. 3d=2m。
e3
i3 i4
dj
i5
e4
e1 e2 i2 i1
e3 i3i4
dj
i5
e4
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4.2 极大平面图
性质3. G的每个域的边界数都是3。
证明：这时，在域dj之外不可能存在边(i2, i4 ) 。 亦即i2和 i4 不相邻，但在域dj内加入边(i2, i4 )并 不影响G的平面性，得到矛盾。
F4= v2 e2 v3 e3 v4 e6 v2 边界为：{e2 , e3 , e6 }
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4.1 平面图
v1
e1e6FF13ve4F42e3e5 F4
v2
e2
平面图及着色
例2 指出下图所示平面图的面、面的边界及 面的度数。
e1
f5
3
1
e10
2
e7 f3 e6
f2 e8
f1 e4
f4 e5
4
e2 e3
5
e9
6
7
解:面f1,其边界1e15e24e43e72e101,d(f1)=5. 面f2,其边界1e102e87e91,d(f2)=3. 面f3,其边界2e73e67e82,d(f3)=3. 面f4,其边界3e44e57e63,d(f4)=3. 外部面f5, 其边界1e15e24e36e34 e57e91,d(f5)=6.
R是E(G)-E(H)上的等价关系。R确定E(G)-E(H) 上的一个划分设为S={ S1、S2、…Sm}由Si导出的 G-E(H)的子图
B1、B2、…Bm 称为G的H片。
定义2.若H1和H2都是图G的子图，称V（H1） V（H2）为H1 和H2在G中的接触点集。记作VG(H1,H2).
定在义 G的3平设面H是表可示平G~面,图使GH的~子 图G~，H称~是H~H的是平G容面许表的示。，若存
证明:只要对极大平面图G来证明定理即可(简单平面图是 极大平面图的子图).当v=3时,G是三角形,定理显然成立. 假设定理对所有阶数小于v的极大平面图成立,并设G是 三角剖分图.选取xV(G)使x不是外部剖面边界上的点.取 边{x,y}.则边{x,y}仅是某两个内部三角形的公共边.不妨 设这两个三角形分别为z1xy和z2xy.如图(b)所示.收缩边 {x,y},且结点x和y收缩为P,得图G’(图c).显然G’是平面图, 且有E(G’)= E(G)-3=3(V(G)-1)-6= 3V(G)-9 = 3V(G’)-6,即G’是v-1阶极大平面图,由归纳假设,G’
第9章建筑物基础图
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图11.6 独立基础详图
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四、基础详图的主要内容 （教材、图纸）
图名、比例 轴线及其编号 基础断面形状、大小、材料以及配筋 基础断面的详细尺寸和室内外地面标
高及基础底面的标高 防潮层的位置和做法 施工说明等
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Байду номын сангаас
教材p94
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四、基础平面图的剖切符号
凡基础宽度、墙厚、大放脚、基底 标高、管沟做法不同时，均以不同的断 面图表示，所以在基础平面图中还应注 出各断面图的剖切符号及编号，以便对 照查阅。
教材p94
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五、基础平面图的主要内容 （教材、图纸）
(1) 图名、比例 (1) (2) 纵横向定位轴线及编号、轴线尺寸 (3) 基础墙、柱的平面布置，基础底面形状、
不同类型的基础、柱分别用代号J1
J2…Z1 Z2…表示
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三、基础平面图的尺寸标注
基础平面图的尺寸标注分内部尺寸和外 部尺寸两部分。
外部尺寸只标注定位轴线的间距和总尺 寸。
内部尺寸应标注各道墙的厚度、柱的断 面尺寸和基础底面的宽度等。
平面图中的轴线编号、轴线尺寸均应与 建筑平面图相吻合。
大放脚:当采用砖墙和砖基础时，在基础墙和垫层 之间做成阶梯形的砌体
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地基: 基础底下天然的或经过加固的土壤 基坑(基槽): 为基础施工而在地面上开挖的土坑
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防潮层:防止地下水对墙体侵蚀而铺设的一层防潮 材料。
第九章 图的着色
第九章 色数
图的点着色数 着色数的基本性质 Brooks定理 图的边着色数 地图着色问题
问题来源
图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的： 用m种颜色为地图着色，使得地图上的每一个 区域着一种颜色，且相邻区域颜色不同。
问题处理：如果把每一个区域收缩为一个顶点， 把相邻两个区域用一条边相连接，就可以把一 个区域图抽象为一个平面图。
二部图判定
n(n>=2)阶无向图G是二部图当且仅当G 中无奇圈当且仅当G是2-可着色 。
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与点着色数有关的几个“常识”
(G)|VG|, 且等号当且仅当G=Kn时成立。 设H是G的子图，若(H)=k, 则(G)k。 若d(v)=k, 则与v相邻的k个顶点着色至多需要
k种颜色。 图G的着色数等于其着色数最大的连通分支
区域和点的对应
四色问题(Four Color Problem)
1852, Francis Guthrie, 注意到英格兰地 图可以用4种颜色染色, 使得相邻区域(有一 段公共边界,不只是有一个公共点)有不同颜 色; 他问其弟 Frederick 是否任意地图都有 此性质?
Frederick Guthrie DeMorgan Hamilton. 1878, Cayley, 提交伦敦数学会.
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应用背景示例
问题1：排考试时间，一方面要总时间尽可 能短(假设教室没问题)，另一方面一个同 学所学的任意两门课不能同时考。
问题2：仓库存放若干种化学制品，其中某 些制品相互接触有可能引发爆炸，为预防 事故，将其隔间存放。要达到安全要求， 至少将该仓库隔成多少间？
图的着色
• 通常所说的着色问题是指下述两类问题：
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Francis Guthrie的猜想
图的点着色数 着色数的基本性质 Brooks定理 图的边着色数 地图着色问题
问题来源
图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的： 用m种颜色为地图着色，使得地图上的每一个 区域着一种颜色，且相邻区域颜色不同。
问题处理：如果把每一个区域收缩为一个顶点， 把相邻两个区域用一条边相连接，就可以把一 个区域图抽象为一个平面图。
二部图判定
n(n>=2)阶无向图G是二部图当且仅当G 中无奇圈当且仅当G是2-可着色 。
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与点着色数有关的几个“常识”
(G)|VG|, 且等号当且仅当G=Kn时成立。 设H是G的子图，若(H)=k, 则(G)k。 若d(v)=k, 则与v相邻的k个顶点着色至多需要
k种颜色。 图G的着色数等于其着色数最大的连通分支
区域和点的对应
四色问题(Four Color Problem)
1852, Francis Guthrie, 注意到英格兰地 图可以用4种颜色染色, 使得相邻区域(有一 段公共边界,不只是有一个公共点)有不同颜 色; 他问其弟 Frederick 是否任意地图都有 此性质?
Frederick Guthrie DeMorgan Hamilton. 1878, Cayley, 提交伦敦数学会.
12
应用背景示例
问题1：排考试时间，一方面要总时间尽可 能短(假设教室没问题)，另一方面一个同 学所学的任意两门课不能同时考。
问题2：仓库存放若干种化学制品，其中某 些制品相互接触有可能引发爆炸，为预防 事故，将其隔间存放。要达到安全要求， 至少将该仓库隔成多少间？
图的着色
• 通常所说的着色问题是指下述两类问题：
5
Francis Guthrie的猜想
G4平面图与图的着色
– 注意:这里指的是加入边(vi,vj)本质上破坏可 平面性. – 可能在一种平面表示下不能加,但在另一种表 示下可以加.
Lu Chaojun, SJTU
7
极大平面图的性质
• • • • • 性质1: G是连通的. 性质2: G没有割边. 性质3: G的域的边界数都是3. 性质4: 3d 2m. 定理:极大平面图G中,有 m 3n – 6, d 2n – 4. • 定理:简单平面图G满足 m 3n – 6, d 2n – 4. • 定理:简单平面图G中存在度小于6的结点.
Lu Chaojun, SJTU
11
例:对偶图
对偶图的性质
• 性质1:若G是平面图,则G必有对偶图G*,且G*是 唯一的.
– 可平面图的不同平面嵌入可有不同构的对偶图.
• 性质2: G*是连通图.
– 即使G不连通.
• 性质3:若G是连通平面图,那么(G*)* G. • 性质4:对连通平面图G及其对偶图G*: m m*, n d *, d n* • 性质5:设C是平面图G的初级回路,S*是G*中与C 的各边ei对应的e*i的集合,则S*是G*的割集.
Lu Chaojun, SJTU
8
非平面图
• 如果图G不能嵌入平面并满足任意两边只 能在结点处相交,那么G就称为非平面图. • 按平面性质进行划分,图分为两类:可平面 图和非平面图. • 定理: K5是非平面图.
– 记作K(1),是结点数最少的非平面图.
• 定理: K3,3是非平面图.
– 记作K(2),是n6时边数最少的非平面图.
– 有且只有一个无界域:即平面图G外的区域. – 其他的域都叫做内部域.
• 如果两个域至少有一条共同的边界，就 说它们是相邻的,否则是不相邻的.
Lu Chaojun, SJTU
7
极大平面图的性质
• • • • • 性质1: G是连通的. 性质2: G没有割边. 性质3: G的域的边界数都是3. 性质4: 3d 2m. 定理:极大平面图G中,有 m 3n – 6, d 2n – 4. • 定理:简单平面图G满足 m 3n – 6, d 2n – 4. • 定理:简单平面图G中存在度小于6的结点.
Lu Chaojun, SJTU
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例:对偶图
对偶图的性质
• 性质1:若G是平面图,则G必有对偶图G*,且G*是 唯一的.
– 可平面图的不同平面嵌入可有不同构的对偶图.
• 性质2: G*是连通图.
– 即使G不连通.
• 性质3:若G是连通平面图,那么(G*)* G. • 性质4:对连通平面图G及其对偶图G*: m m*, n d *, d n* • 性质5:设C是平面图G的初级回路,S*是G*中与C 的各边ei对应的e*i的集合,则S*是G*的割集.
Lu Chaojun, SJTU
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非平面图
• 如果图G不能嵌入平面并满足任意两边只 能在结点处相交,那么G就称为非平面图. • 按平面性质进行划分,图分为两类:可平面 图和非平面图. • 定理: K5是非平面图.
– 记作K(1),是结点数最少的非平面图.
• 定理: K3,3是非平面图.
– 记作K(2),是n6时边数最少的非平面图.
– 有且只有一个无界域:即平面图G外的区域. – 其他的域都叫做内部域.
• 如果两个域至少有一条共同的边界，就 说它们是相邻的,否则是不相邻的.
第9章平面图和图的着色
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集合与图论 平面图的内部面与外部面
f3
f2 v
f1
u
f4
定义9.1.2 平面图把平面分成了若干个区域，这 些区域都是单连通的，称之为G的面，其中无界的那 个连通区域称为G的外部面，其余的单连通区域称为 G的内部面。
3/55
集合与图论
f3
f2 v
f1
u
f4
平面图的每个内部面都是G的某个圈围成的单连
v
u
最大(极大)平面图的主要性质： 定理 最大(极大)平面图是连通的.
定理 n(n3)阶最大(极大)平面图中不可能有割点 和桥.
11/55
集合与图论
推论9.1.2 设G是一个有p个顶点q条边的最大可平 面图，则G的每个面都是三角形，q=3p-6，p≥3。
v2 v1
v3
...
v4 证 若G的一个面不是三角形, 1、假如有两点不相邻，则在此面中把不相邻的两 顶点连接起来，不影响平面性。
定义9.3.1 设x=uv是图G=(V,E)的一条边，w不是G 的顶点，则当用边uw和wv代替边x时，就称x被细分。
如果G的某些边被细分，产生的图称为G的细分图。
u
x
v
图G
u
w
v
G的细分图
25/55
集合与图论
图与图之间同胚
定义9.3.2 两个图称为同胚的，如果它们都可以 从同一个图通过一系列的边细分得到。
27/55
集合与图论
库拉托斯基定理
定理9.3.1（库拉托斯基,1930）一个图是可平面 的充分必要条件是它没有同胚于K5和K3,3的子图。
例9.3.1 证明左下图不是可平面图。
因为它含有与K5同胚的子图。
集合与图论 平面图的内部面与外部面
f3
f2 v
f1
u
f4
定义9.1.2 平面图把平面分成了若干个区域，这 些区域都是单连通的，称之为G的面，其中无界的那 个连通区域称为G的外部面，其余的单连通区域称为 G的内部面。
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集合与图论
f3
f2 v
f1
u
f4
平面图的每个内部面都是G的某个圈围成的单连
v
u
最大(极大)平面图的主要性质： 定理 最大(极大)平面图是连通的.
定理 n(n3)阶最大(极大)平面图中不可能有割点 和桥.
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集合与图论
推论9.1.2 设G是一个有p个顶点q条边的最大可平 面图，则G的每个面都是三角形，q=3p-6，p≥3。
v2 v1
v3
...
v4 证 若G的一个面不是三角形, 1、假如有两点不相邻，则在此面中把不相邻的两 顶点连接起来，不影响平面性。
定义9.3.1 设x=uv是图G=(V,E)的一条边，w不是G 的顶点，则当用边uw和wv代替边x时，就称x被细分。
如果G的某些边被细分，产生的图称为G的细分图。
u
x
v
图G
u
w
v
G的细分图
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集合与图论
图与图之间同胚
定义9.3.2 两个图称为同胚的，如果它们都可以 从同一个图通过一系列的边细分得到。
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集合与图论
库拉托斯基定理
定理9.3.1（库拉托斯基,1930）一个图是可平面 的充分必要条件是它没有同胚于K5和K3,3的子图。
例9.3.1 证明左下图不是可平面图。
因为它含有与K5同胚的子图。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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集合与图论 如果K 是平面图， 如果 3,3是平面图，则p-q+f=2， ， 即6-9+f=2，亦即 。 ，亦即f=5。 在偶图K 在偶图 3,3中每个圈的长至少为 4，所以 ，所以2q≥4f=20，q≥10，但q=9， ， ， ， 矛盾。 矛盾。 所以K 不是平面图。 所以 3,3不是平面图。
°
°
°
°
°
°
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集合与图论 推论9.1.6 每个平面图 中顶点度的最小值不超 每个平面图G中顶点度的最小值不超 推论 过5， 即δ(G)≤5。 ， 。 仍然用推论9.1.4，q≤3p-6。 ， 仍然用推论 。 如果G的每个顶点的度大于 ，也就是≥6， 如果 的每个顶点的度大于5，也就是 ， 的每个顶点的度大于 那么所有顶点的度数和大于或等于6p。 那么所有顶点的度数和大于或等于 。 由欧拉定理， 由欧拉定理，2q≥6p，即q≥3p。 ， 。 不满足推论9.1.4，q≤3p-6。 ， 不满足推论 。 因此，每个平面图G中顶点度的最小值不超过 因此，每个平面图 中顶点度的最小值不超过 5，即δ(G)≤5。 ， 。 18/55
°v °
定义9.1.1 图G称为被嵌入平面 内，如果 的图解 称为被嵌入平面 定义 称为被嵌入平面S内 如果G的图解 已画在平面S上 而且任何两条边均不相交(除顶点外 除顶点外)。 已画在平面 上，而且任何两条边均不相交 除顶点外 。 平面图。 已嵌入平面的图称为平面图 已嵌入平面的图称为平面图。 如果一个图可以嵌入平面，则称此图是可平面的。 如果一个图可以嵌入平面，则称此图是可平面的。 图是可平面的
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集合与图论 推论9.1.5 K5与K3,3都不是可平面图 推论 ° 如果K 证 如果 5是平 面图， 面图，则5-10+f=2， ， f=7。 即f=7。 ° ° ° ° ° ° ° °
° ° 每个面至少三条边， 个面至少需要 条边。 个面至少需要21条边 每个面至少三条边， 7个面至少需要 条边。
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集合与图论 ° u°
f3 f1 f4 f2
v ° °
平面图的每个内部面都是G的某个圈围成的单连 平面图的每个内部面都是 的某个圈围成的单连 通区域。 通区域。
° ° ° ° 图1
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°
°
° °
°
没有圈的图没有内部面，只有一个外部面。 没有圈的图没有内部面，只有一个外部面。
集合与图论
几点补充
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° °
集合与图论
9.2 非哈密顿平面图
定理9.2.1 设G=(V,E)是一个 是一个(p,q)平面哈密顿图 平面哈密顿图, 定理 是一个 平面哈密顿图 的内部由i条边围成的面 C是G的哈密顿圈，令fi为C的内部由 条边围成的面 的哈密顿圈， 是 的哈密顿圈 的内部由 的个数， 的外部i条边围成的面的个数 的个数，gi为C的外部 条边围成的面的个数，则 的外部 条边围成的面的个数， (1) 1×f3+2×f4+3×f5+...+(p-2)×fp= ∑(i 2) f = p 2 × × × ×
考虑到每条边在两个面上， 2q≥3f，即 考虑到每条边在两个面上， ， 20≥21。矛盾。 。矛盾。 其实直接利用推论9.1.4，任意 其实直接利用推论 ，任意(p,q)平面图都满足 平面图都满足 q≤3p-6，这里 ，这里p≥3。 q=10≤3p-6=9，这是不成立的。 。 ，这是不成立的。 所以K 不是可平面图。 所以 5不是可平面图。 16/55
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集合与图论
几点说明及一些简单结论
一般所谈平面图不一定是指平面嵌入。 一般所谈平面图不一定是指平面嵌入。但讨论 某些性质时，是指平面嵌入. 某些性质时，是指平面嵌入 结论： 结论： (1) K5, K3,3都不是平面图 待证 都不是平面图(待证 待证). (2) 设G′ ，若G为平面图，则G′也是平面图 ′G， 为平面图， ′ 为平面图 ′也是平面图. 由此可知， 由此可知，Kn(n≤4)，K2,n(n≥1) 都是平面图 ， ≥ 都是平面图. (3) 设G′ ，若G′为非平面图，则G也是非平面图 ′G， 也是非平面图. ′ ′为非平面图， 也是非平面图 由此可知， 由此可知，Kn(n≥5)，Km,n(m,n≥3) 都是非平面图 ≥ ， ≥ 都是非平面图. (4) 平行边与环不影响平面性 平行边与环不影响平面性.
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集合与图论
最大(极大 可平面图 最大 极大)可平面图 极大
一个图称为最大可平面图， 一个图称为最大可平面图，如果这个可平面图再加 最大可平面图 入一条边，新图必然是不可平面的。 入一条边，新图必然是不可平面的。 ° ° ° ° ° 图1 是最大可平面图。 图1是最大可平面图。 是最大可平面图
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° ° °
° °
再加一条边就是k 可证k 是不可平面图。 再加一条边就是 5，可证 5是不可平面图。
集合与图论 ° ° ° °
最大(极大) 最大(极大)平面图的性质
° ° ° ° ° u° °v °
最大(极大 平面图的主要性质： 最大 极大)平面图的主要性质 极大 平面图的主要性质： 最大(极大 平面图是连通的. 极大)平面图是连通的 定理 最大 极大 平面图是连通的 定理 n(n≥3)阶最大(极大)平面图中不可能有割点 ≥ 阶最大(极大) 和桥. 和桥
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° u°
f3 f1 f4 f2
v ° °
° u°
f3 f1 f4 f2
°v °
集合与图论 定理9.1.2 （欧拉公式的推广）设G是具有 欧拉公式的推广） 定理 是具有 k(k≥2)个连通分支的平面图，则nm+r=k+1. 个连通分支的平面图， ≥ 个连通分支的平面图
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集合与图论 推论9.1.1 若平面连通图 有p个顶点 条边且每个 若平面连通图G有 个顶点 个顶点q条边且每个 推论 面都是由长为n的圈围成的 的圈围成的， 面都是由长为 的圈围成的，则q=n(p-2)/(n-2)。 。 因为G的每个面都是长为 的圈围成的， 的每个面都是长为n的圈围成的 证 因为 的每个面都是长为 的圈围成的，所 的每条边都在G的两个面上 以G的每条边都在 的两个面上。 的每条边都在 的两个面上。 q=f×n/2 × f=2q/n p-q+2q/n=2 q=n(p-2)/(n-2)
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集合与图论 f≥2，G至少有一个内部面，从而 中有一个圈。 ， 至少有一个内部面 从而G中有一个圈 至少有一个内部面， 中有一个圈。 这个内部面是由这个圈围成的， 这个内部面是由这个圈围成的，从这个圈上去掉一 条边x，则打通了两个面。 条边 ，则打通了两个面。 G-x有p个顶点， 有 个顶点 个顶点， q-1条边，f-1个面。 条边， 个面 个面。 条边 由归纳假设 p-(q-1)+(f-1)=2 p-q+f=2 因此面数是f时也成立。 因此面数是 时也成立。 时也成立
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集合与图论
平面图的内部面与外部面
f3 f1 f4 f2
° u°
°v °
定义9.1.2 平面图把平面分成了若干个区域，这 平面图把平面分成了若干个区域， 定义 些区域都是单连通的，称之为G的面 的面， 些区域都是单连通的，称之为 的面，其中无界的那 个连通区域称为G的外部面 的外部面， 个连通区域称为 的外部面，其余的单连通区域称为 G的内部面。 的内部面。 的内部面
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°
°
v1
...
集合与图论 推论9.1.3 设G是一个 是一个(p,q)可平面连通图，而且 可平面连通图， 推论 是一个 可平面连通图 而且G 的每个面都是一个长为4的圈围成的，则q=2p-4。 的每个面都是一个长为 的圈围成的， 。 的圈围成的 推论9.1.4 若G是任一有 个顶点 条边的可平面图 是任一有p个顶点 推论 是任一有 个顶点q条边的可平面图 p≥3，则q≤3p-6。 ， 。 连通的且没有三角形， 若G是2-连通的且没有三角形，则q≤2p-4。 是 连通的且没有三角形 。 1、 1、因为当平面图中每个面都是三角形时其边数最 由推论9.1.2，则q≤3p-6。 多，由推论 ， 。 2、若G是2-连通的且没有三角形 则G中任意两个 、 连通的且没有三角形,则 中任意两个 是 连通的且没有三角形 顶点都在同一个圈上。 顶点都在同一个圈上。 已知没有三角形，所以圈的长都是 时边数最多 时边数最多。 已知没有三角形，所以圈的长都是4时边数最多。 所以q≤2p-4。 。 所以
p i=1 i
(2) 1×g3+2×g4+3×g5+...+(p-2)×gp= ∑(i 2)g = p 2 × × × ×
i=1 i
p
(3) 1×(f3-g3)+2×(f4-g4)+3×(f5-g5)+...= ∑(i 2)( fi gi ) = 0 × × ×
i=1
p
v1 ° v5 °
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集合与图论 如果用V表示多面体的顶点， 表示棱， 如果用 表示多面体的顶点，用E表示棱，用F表示 表示多面体的顶点 表示棱 表示 面数， 面数，则V-E+F=2。 。 定理9.1.1(欧拉公式 如果一个平面连通图有 个 欧拉公式) 如果一个平面连通图有p个 定理 欧拉公式 顶点、 条边 个面 条边、 个面， 顶点、q条边、f个面，则p-q+f=2。 。 证 对面数用归纳法 没有内部面， 中无圈， 是树 是树。 当f=1时，G没有内部面，所以 中无圈，G是树。 时 没有内部面 所以G中无圈 p-q+f=1+1=2 假如对一切不超过f-1个面的平面连通图欧拉公式 假如对一切不超过 个面的平面连通图欧拉公式 成立，现证f个面时的情况 个面时的情况。 成立，现证 个面时的情况。
集合与图论 顶点数p≥4的最大平面图，δ(G)≥3。 的最大平面图， 例9.1.1 顶点数 的最大平面图 。 v ° ° 证 设G是最大平面图，其最小度顶点为v。 是最大平面图，其最小度顶点为 。 是最大平面图 也是一个平面图， 在 的一个面内。 设G-v也是一个平面图，v在G-v的一个面内。 也是一个平面图 的一个面内 在这个面内，边界上至少有三个顶点。 在这个面内，边界上至少有三个顶点。 由极大性， 必然与这些顶点都相连 必然与这些顶点都相连。 由极大性，v必然与这些顶点都相连。 因此， 因此， δ(G)≥3。 。