第9章平面图和图的着色

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集合与图论 如果用V表示多面体的顶点， 表示棱， 如果用 表示多面体的顶点，用E表示棱，用F表示 表示多面体的顶点 表示棱 表示 面数， 面数，则V-E+F=2。 。 定理9.1.1(欧拉公式 如果一个平面连通图有 个 欧拉公式) 如果一个平面连通图有p个 定理 欧拉公式 顶点、 条边 个面 条边、 个面， 顶点、q条边、f个面，则p-q+f=2。 。 证 对面数用归纳法 没有内部面， 中无圈， 是树 是树。 当f=1时，G没有内部面，所以 中无圈，G是树。 时 没有内部面 所以G中无圈 p-q+f=1+1=2 假如对一切不超过f-1个面的平面连通图欧拉公式 假如对一切不超过 个面的平面连通图欧拉公式 成立，现证f个面时的情况 个面时的情况。 成立，现证 个面时的情况。
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集合与图论 推论9.1.6 每个平面图 中顶点度的最小值不超 每个平面图G中顶点度的最小值不超 推论 过5， 即δ(G)≤5。 ， 。 仍然用推论9.1.4，q≤3p-6。 ， 仍然用推论 。 如果G的每个顶点的度大于 ，也就是≥6， 如果 的每个顶点的度大于5，也就是 ， 的每个顶点的度大于 那么所有顶点的度数和大于或等于6p。 那么所有顶点的度数和大于或等于 。 由欧拉定理， 由欧拉定理，2q≥6p，即q≥3p。 ， 。 不满足推论9.1.4，q≤3p-6。 ， 不满足推论 。 因此，每个平面图G中顶点度的最小值不超过 因此，每个平面图 中顶点度的最小值不超过 5，即δ(G)≤5。 ， 。 18/55
考虑到每条边在两个面上， 2q≥3f，即 考虑到每条边在两个面上， ， 20≥21。矛盾。 。矛盾。 其实直接利用推论9.1.4，任意 其实直接利用推论 ，任意(p,q)平面图都满足 平面图都满足 q≤3p-6，这里 ，这里p≥3。 q=10≤3p-6=9，这是不成立的。 。 ，这是不成立的。 所以K 不是可平面图。 所以 5不是可平面图。 16/55
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定义9.1.1 图G称为被嵌入平面 内，如果 的图解 称为被嵌入平面 定义 称为被嵌入平面S内 如果G的图解 已画在平面S上 而且任何两条边均不相交(除顶点外 除顶点外)。 已画在平面 上，而且任何两条边均不相交 除顶点外 。 平面图。 已嵌入平面的图称为平面图 已嵌入平面的图称为平面图。 如果一个图可以嵌入平面，则称此图是可平面的。 如果一个图可以嵌入平面，则称此图是可平面的。 图是可平面的
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v1
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集合与图论 推论9.1.3 设G是一个 是一个(p,q)可平面连通图，而且 可平面连通图， 推论 是一个 可平面连通图 而且G 的每个面都是一个长为4的圈围成的，则q=2p-4。 的每个面都是一个长为 的圈围成的， 。 的圈围成的 推论9.1.4 若G是任一有 个顶点 条边的可平面图 是任一有p个顶点 推论 是任一有 个顶点q条边的可平面图 p≥3，则q≤3p-6。 ， 。 连通的且没有三角形， 若G是2-连通的且没有三角形，则q≤2p-4。 是 连通的且没有三角形 。 1、 1、因为当平面图中每个面都是三角形时其边数最 由推论9.1.2，则q≤3p-6。 多，由推论 ， 。 2、若G是2-连通的且没有三角形 则G中任意两个 、 连通的且没有三角形,则 中任意两个 是 连通的且没有三角形 顶点都在同一个圈上。 顶点都在同一个圈上。 已知没有三角形，所以圈的长都是 时边数最多 时边数最多。 已知没有三角形，所以圈的长都是4时边数最多。 所以q≤2p-4。 。 所以
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集合与图论
最大(极大 可平面图 最大 极大)可平面图 极大
一个图称为最大可平面图， 一个图称为最大可平面图，如果这个可平面图再加 最大可平面图 入一条边，新图必然是不可平面的。 入一条边，新图必然是不可平面的。 ° ° ° ° ° 图1 是最大可平面图。 图1是最大可平面图。 是最大可平面图
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再加一条边就是k 可证k 是不可平面图。 再加一条边就是 5，可证 5是不可平面图。
集合与图论 ° ° ° °
最大(极大) 最大(极大)平面图的性质
° ° ° ° ° u° °v °
最大(极大 平面图的主要性质： 最大 极大)平面图的主要性质 极大 平面图的主要性质： 最大(极大 平面图是连通的. 极大)平面图是连通的 定理 最大 极大 平面图是连通的 定理 n(n≥3)阶最大(极大)平面图中不可能有割点 ≥ 阶最大(极大) 和桥. 和桥
集合与图论 如果K 是平面图， 如果 3,3是平面图，则p-q+f=2， ， 即6-9+f=2，亦即 。 ，亦即f=5。 在偶图K 在偶图 3,3中每个圈的长至少为 4，所以 ，所以2q≥4f=20，q≥10，但q=9， ， ， ， 矛盾。 矛盾。 所以K 不是平面图。 所以 3,3不是平面图。
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集合与图论 第九章
平面图和图的着色
主要内容： 主要内容： 平面图及其欧拉公式 非哈密顿平面图(*) 非哈密顿平面图 库拉托斯基定理、 库拉托斯基定理、对偶图 图的顶点着色(*) 图的顶点着色 图的边着色(*) 图的边着色
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集合与图论
9.1 平面图及欧拉公式
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集合与图论 定理9.1.2 （欧拉公式的推广）设G是具有 欧拉公式的推广） 定理 是具有 k(k≥2)个连通分支的平面图，则nm+r=k+1. 个连通分支的平面图， ≥ 个连通分支的平面图
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集合与图论 推论9.1.1 若平面连通图 有p个顶点 条边且每个 若平面连通图G有 个顶点 个顶点q条边且每个 推论 面都是由长为n的圈围成的 的圈围成的， 面都是由长为 的圈围成的，则q=n(p-2)/(n-2)。 。 因为G的每个面都是长为 的圈围成的， 的每个面都是长为n的圈围成的 证 因为 的每个面都是长为 的圈围成的，所 的每条边都在G的两个面上 以G的每条边都在 的两个面上。 的每条边都在 的两个面上。 q=f×n/2 × f=2q/n p-q+2q/n=2 q=n(p-2)/(n-2)
集合与图论 顶点数p≥4的最大平面图，δ(G)≥3。 的最大平面图， 例9.1.1 顶点数 的最大平面图 。 v ° ° 证 设G是最大平面图，其最小度顶点为v。 是最大平面图，其最小度顶点为 。 是最大平面图 也是一个平面图， 在 的一个面内。 设G-v也是一个平面图，v在G-v的一个面内。 也是一个平面图 的一个面内 在这个面内，边界上至少有三个顶点。 在这个面内，边界上至少有三个顶点。 由极大性， 必然与这些顶点都相连 必然与这些顶点都相连。 由极大性，v必然与这些顶点都相连。 因此， 因此， δ(G)≥3。 。
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集合与图论 v2 v3 ° v4 ° 2、假如圈上每两点都相邻 、假如圈上每两点都相邻; 中都邻接,我们可以看到这两个 若v1,v2和v2,v4在G中都邻接 我们可以看到这两个 中都邻接 边不可能不相交; 边不可能不相交 综合以上情况，最大平面图的每个面都是三角形。 综合以上情况，最大平面图的每个面都是三角形。
(1)若平面图 有k个面，可用 1, R2, …, Rk表示. 若平面图G有 个面 可用R 个面， 表示 (2) 面 Ri 的边界 的边界——包围 i的闭通道组 包围R 包围 (3) 面 Ri 的次数 的次数——Ri边界的长度 (4) 闭通道组是指：边界可能是 圈，也可能是闭通 闭通道组是指： 特别地，还可能是非连通的闭通道之并. 道. 特别地，还可能是非连通的闭通道之并 平面图各面次数之和等于边数的两倍. 定理 平面图各面次数之和等于边数的两倍
p i=1 i
(2) 1×g3+2×g4+3×g5+...+(p-2)×gp= ∑(i 2)g = p 2 × × × ×
i=1 i
p
(3) 1×(f3-g3)+2×(f4-g4)+3×(f5-g5)+...= ∑(i 2)( fi gi ) = 0 × × ×
i=1
p
v1 ° v5 °
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集合与图论
平面图的内部面与外部面
f3 f1 f4 f2
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定义9.1.2 平面图把平面分成了若干个区域，这 平面图把平面分成了若干个区域， 定义 些区域都是单连通的，称之为G的面 的面， 些区域都是单连通的，称之为 的面，其中无界的那 个连通区域称为G的外部面 的外部面， 个连通区域称为 的外部面，其余的单连通区域称为 G的内部面。 的内部面。 的内部面
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集合与图论 推论9.1.2 设G是一个有 个顶点 条边的最大可平 是一个有p个顶点 推论 是一个有 个顶点q条边的最大可平 面图，则G的每个面都是三角形，q=3p-6，p≥3。 面图， 的每个面都是三角形， ， 。 的每个面都是三角形 v2 v ° ° 1 v3 ° v4 ° 的一个面不是三角形, 证 若G的一个面不是三角形 的一个面不是三角形 1、假如有两点不相邻，则在此面中把不相邻的两 、假如有两点不相邻， 顶点连接起来，不影响平面性。 顶点连接起来，不影响平面性。 矛盾，因此不可能有两点不相邻。 矛盾，因此不可能有两点不相邻。
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集合与图论 推论9.1.5 K5与K3,3都不是可平面图 推论 ° 如果K 证 如果 5是平 面图， 面图，则5-10+f=2， ， f=7。 即f=7。 ° ° ° ° ° ° ° °
° ° 每个面至少三条边， 个面至少需要 条边。 个面至少需要21条边 每个面至少三条边， 7个面至少需要 条边。
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集合与图论
9.2 非哈密顿平面图
定理9.2.1 设G=(V,E)是一个 是一个(p,q)平面哈密顿图 平面哈密顿图, 定理 是一个 平面哈密顿图 的内部由i条边围成的面 C是G的哈密顿圈，令fi为C的内部由 条边围成的面 的哈密顿圈， 是 的哈密顿圈 的内部由 的个数， 的外部i条边围成的面的个数 的个数，gi为C的外部 条边围成的面的个数，则 的外部 条边围成的面的个数， (1) 1×f3+2×f4+3×f5+...+(p-2)×fp= ∑(i 2) f = p 2 × × × ×
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集合与图论
几点说明及一些简单结论
一般所谈平面图不一定是指平面嵌入。 一般所谈平面图不一定是指平面嵌入。但讨论 某些性质时，是指平面嵌入. 某些性质时，是指平面嵌入 结论： 结论： (1) K5, K3,3都不是平面图 待证 都不是平面图(待证 待证). (2) 设G′ ，若G为平面图，则G′也是平面图 ′G， 为平面图， ′ 为平面图 ′也是平面图. 由此可知， 由此可知，Kn(n≤4)，K2,n(n≥1) 都是平面图 ， ≥ 都是平面图. (3) 设G′ ，若G′为非平面图，则G也是非平面图 ′G， 也是非平面图. ′ ′为非平面图， 也是非平面图 由此可知， 由此可知，Kn(n≥5)，Km,n(m,n≥3) 都是非平面图 ≥ ， ≥ 都是非平面图. (4) 平行边与环不影响平面性 平行边与环不影响平面性.
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集合与图论 ° u°
f3 f1 f4 f2
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平面图的每个内部面都是G的某个圈围成的单连 平面图的每个内部面都是 的某个圈围成的单连 通区域。 通区域。
° ° ° ° 图1
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没有圈的图没有内部面，只有一个外部面。 没有圈的图没有内部面，只有一个外部面。
集合与图论
几点补充
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集合与图论 f≥2，G至少有一个内部面，从而 中有一个圈。 ， 至少有一个内部面 从而G中有一个圈 至少有一个内部面， 中有一个圈。 这个内部面是由这个圈围成的， 这个内部面是由这个圈围成的，从这个圈上去掉一 条边x，则打通了两个面。 条边 ，则打通了两个面。 G-x有p个顶点， 有 个顶点 个顶点， q-1条边，f-1个面。 条边， 个面 个面。 条边 由归纳假设 p-(q-1)+(f-1)=2 p-q+f=2 因此面数是f时也成立。 因此面数是 时也成立。 时也成立