薛定谔方程
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那么，初态 (r ,0)可用能量本征态展开： (r ,0) cn n (r )
n
ˆ (r ˆ, t ) H ˆ, t ) (r 因为它满足含时薛定谔方程：i t
则，t>0的态是不同定态迭加的态： i En t (r , t ) cn n (r )e
这是因为薛定谔方程是线性偏微分方程。 3 薛定谔方程是关于时间的一阶偏微分方程；
知道初始时刻波函数，就可以确定以后任何时刻 的波函数.
2 i r , t U r , t r , t t 2m
2
4
4
4 薛定谔方程中含有虚数 i 所以它的解 (r , t )必然是复数， 只有 (r , t ) 的模方才有直接的物理意义。 5
其定态薛定谔方程：
2 d 2 ( x) V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
o
a
x
特点：
粒子在势阱内受力为零 势能为零
V→∞
V→∞
V(x)
在阱内自由运动 在阱外势能为无穷大 在阱壁上受极大的斥力 不能到阱外
E
0
V=0 a
x
因为系统的势能与时间无关，因此这是一个定 态问题，可以用定态薛定谔方程进行求解。
讨论二：n不取负数
( x) A sin kx A sin kx
2 E
此时波函数与 n取正数时代表相同的概率分布，即无 法给出新的波函数，故舍去。
k
ka n , n 1,2,3,......
因为
2mE k 2
2
结论：
En
ka n n 1,2,3, 2 2 2
5
讨论:
1.从数学上讲,对于任何 E 值,不含时Schrödinger方程(28)都有解.但并 非对于一切 E 值所得出的解都满足物理上的要求.只有某些 E 值对 应的解才是物理上可接受的 ---- 能量本征值 这些要求中,有些是根据波函数的统计诠释而提出的,有的是根据具 体物理情况而提出的.如束缚态边条件,周期性边条件,散射态边条件等. 2. 能量本征值所对应的波函数称为能量本征函数. E E r 3. 这一方程又称为能量本征值方程。
所以，
0;
ka n
n 1,2,3,
n 0, 0无意义。 n 取负值得不出新解）
讨论一：n不等于零
d 2 k 0 2 dx (0) 0
2
d 2 0 2 dx
( x) Cx D
0
D0
(a) 0
C 0 此时波函数没有物理意义，故舍去。
2 薛定谔方程的解满足态叠加原理
2 2 i r , t U r , t r , t t 2m
3
若 1 ( r , t ) 和 2 ( r , t ) 是薛定谔方程的解， 则 c1 1 ( r , t ) c2 2 ( r , t )也是薛定谔方程的解。
2m E E是粒子的总能量，E > 0，令 k 2 ( x) A sin(kx ) 其通解：
式中 A和δ 是待定常数，由边界条件和归一化条件确定。
d ( x) 2mE 2 2 ( x) k ( x) 2 dx
2
oxa
(0) A sin 0 代入边界条件得： (a) A sin(ka ) 0
d 2 ( x) 2 k ( x) 0 2 dx
kx
若k用ik代入,则微分方 程变为： 其解为：
1 Ae
Be
kx
3.2.1 一维无限深方势阱
一维无限深方势阱：
0, V ( x) ,
0 xa ; x 0, x a,
V ( x)
金属中的电子可近似看成处在 一维有限深方势阱中运动。
0 xa x a, x a
(2)小结： 本征能量和本征函数的可能取值
π 2 2 2 2 πn En n n sin x 2 2ma a a 2 2 nπ Pn sin x n 1,2, a a
n
1 2 3
En
π2 2 E1 2ma 2
n
2 π 1 sin x a a
2 2 U (r ) (r ) E (r ) 2
————定态薛定谔方程 ①列出各区域的定态薛定谔方程
1 2
(0 x a )
( x 0及x a)
在阱外粒子势能为无穷大，满足：
2 d 2 ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
在方程
E p2 / 2m
E i , t
(1)
Hale Waihona Puke ˆ i p p(6)
并作用于波函数 r , t 上,就可得出方程 进一步考虑在势场 V r 中运动的粒子,可以得到
2 2 i r , t V r r , t t 2m
4. 这一波函数所描述的量子态称为定态。
定态:能量取确定值的状态 定态波函数
r , t C E r e
i Et
2 2 概率密度分布 ( r , t ) C E ( r ) 不随时间变化
2 ˆ H U r , t 2m Schrö dinger 方程的更普遍的表示是
由此得推论：
若V ( x) V ( x)，且解无简并，则解
必有确定的宇称。
此时， ( x)与 ( x)表示同一个态（可相差一个任意常数）
定理4：设V(-x)= V(x)，当能级有简并时，则对应于任 何一个能量本征值E,总可能找到定态方程的一组完备解, 它们之中的每一个解都有确定的宇称.
定理5：对于阶梯形方位势（在a处跃变）
ˆ x x ,
1 ，称具有确定的宇称。 （3）
1 ，为正宇称（偶宇称）， 1
为负宇称（奇宇称）。
定理3： 设V(x)具有空间反射不变性 V(-x)= V(x) 如ψ(x)是定态方程的属于能量为E的解，则 ψ(-x)也是方程的相应于能量为E的解。
n
到目前为止，我们有了两条关于微观粒子的基 本原理： ①微观粒子的状态（量子态）用波函数描写； 波函数的意义用概率解释， 波函数满足：归一化条件， 标准条件。
②微观粒子状态的变化遵循薛定谔方程。
薛定谔方程是否正确，这要由实验验证。可将 薛定谔方程用于某量子系统，进行分析并作出逻辑 推断，再对这种推断进行实验验证。
引入哈密顿算符:
2 2 i r , t U r , t r , t t 2m 2
ˆ i H t
(29)
ˆ 是体系的Hamilton算符.当 H ˆ 不显含t 时,体系的能 H 量是守恒量.
此时,能量本征方程为
方程的解必处处为零。
x 0, x a
( x) 0
x 0, x a
根据波函数的标准化条件，在边界上 所以，粒子被束缚在阱内运动。 在阱内粒子势能为零，满足：
(0) 0, (a) 0
d ( x) E ( x) 2 2m dx
2 2
oxa
在阱内的薛定谔 方程可写为：
(r , t ) dxdydz 应为有限值
2
, , 6 (r , t )以及 应连续 x y z
7 (r , t )应为单值函数
8 归一化 ( r , t ) dxdydz 1
2
标 准 条 件
定态薛定谔方程： 2 r 2m ( E U (r )) r 0 2
4 x
V(x)
V1 V ( x) V2
xa xa
V2 V1
0
a
x
若 V2 V1 有限，则定态波函数 ( x) 及其导数
' ( x) 必是连续的（若 | V2 V1 | ，则定理不
成立）
▲量子力学解题的一般思路 ①由粒子运动实际情况正确写出势函数V(x)
②代入定态薛定谔方程
2ma
2
n
n 1,2,3,
结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列分立值，即 它的能量是量子化的。
这说明：并非任何 E值所对应的波函数都能满足一维无限深方 势阱所要求的边界条件，只有当能量取上式给出的那些分立的 值 En（体系的能量本征值）时，相应的波函数才是物理上有 意义的，即本问题中体系的能量是量子化的，亦即体系的能谱 是分立的。
P n
2 2πx P sin 1 a a
E2 4E1
E3 9 E1
2 2π 2 2 2π 2 sin x P2 sin x a a a a 2 3π 2 3π 3 sin x P3 sin 2 x a a a a
一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度
( x)
即能量 E 可能是二重简并的。
对应于某个能量本征值 E, 方程的解无简并，则可 取为实函数解
定理2：当能级有简并时，对于能量的某个本征值E， 总可找到方程的一组实解，凡是属于 E 的任何解， 均可表成这一组实解的线性叠加。这组实解是完备的。
宇称的概念 空间反演算符， 定义：
ˆ r - r
2 n sin x, n 1,2,3,阱内 n a a 阱外 0
由归一化条件
a
0
n x A sin ( )dx 1 a
2
A
2 a
n ( x) 为本征态；En 为本征能量。 # 称 n为量子数；
# 能量是量子化的。是由标准化条件而来。
含时波函数为
i En t 2 n sin xe , n ( x, t ) a a 0,
③解方程
④解出能量本征值和相应的本征函数
⑤求出概率密度分布及其他力学量
3.2 方位势 数学预备知识
d 2 ( x) 2 k ( x) 0的三种等价的解。 微分方程 2 dx
A） C）
B） 2 C sin kx D coskx
1 Ae
ikx
Be
ikx
3 G sin(kx )
2
(c) 任何(不显含 t 的)力学量的测值概率分布也不随 时间改变(以后证明).
( r , 0 ) 问题：已知t=0初态 ，如何求t>0的态 ( r , t )
ˆ 1. 若t=0初态是 H 本征态： (r ,0) (r ) i Et 则，t>0的态就是定态： (r , t ) (r )e ˆ 本征态， 2. 若t=0初态 (r ,0) 是非 H
单粒子的Schrö dinger波动方程. 它揭示了微观世界中物质运动的基本规律.
(7)
薛定谔方程是时间的一阶偏微分方程。 因此，若体系在t=0的状态 (r ,0) 给定， 则体系此后任何时刻的状态 ( r , t ) 也就完 全确定。
讨论: 1 薛定谔方程是量子力学中的一项基本假设； 地位与经典力学的牛顿定律相当；
ˆ E H
(30)
对于更复杂的体系的Schrö dinger方程的具体表达 式,关键在于如何写出其Hamilton量算符.
处于定态下的粒子具有如下特征: (a) 粒子在空间的概率密度 r E r 以及概率 流密度显然不随时间改变. (b) 任何(不显含 t 的)力学量的平均值不随时间改变.
一维定态的基本性质
1. 束缚态：粒子被局限在有限空间内运动的态 称束缚态，满足 x , x 0
2. 非束缚态（散射态）：粒子有足够大的能量， 可以摆脱势场之束缚，能谱为连续谱。
潍坊学院
一维定态的基本性质
定理1：设 ( x)是方程的一个解，对应的能量本征值为 E, 则 * ( x)也是方程的一个解，对应的能量也是 E。
n
ˆ (r ˆ, t ) H ˆ, t ) (r 因为它满足含时薛定谔方程：i t
则，t>0的态是不同定态迭加的态： i En t (r , t ) cn n (r )e
这是因为薛定谔方程是线性偏微分方程。 3 薛定谔方程是关于时间的一阶偏微分方程；
知道初始时刻波函数，就可以确定以后任何时刻 的波函数.
2 i r , t U r , t r , t t 2m
2
4
4
4 薛定谔方程中含有虚数 i 所以它的解 (r , t )必然是复数， 只有 (r , t ) 的模方才有直接的物理意义。 5
其定态薛定谔方程：
2 d 2 ( x) V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
o
a
x
特点：
粒子在势阱内受力为零 势能为零
V→∞
V→∞
V(x)
在阱内自由运动 在阱外势能为无穷大 在阱壁上受极大的斥力 不能到阱外
E
0
V=0 a
x
因为系统的势能与时间无关，因此这是一个定 态问题，可以用定态薛定谔方程进行求解。
讨论二：n不取负数
( x) A sin kx A sin kx
2 E
此时波函数与 n取正数时代表相同的概率分布，即无 法给出新的波函数，故舍去。
k
ka n , n 1,2,3,......
因为
2mE k 2
2
结论：
En
ka n n 1,2,3, 2 2 2
5
讨论:
1.从数学上讲,对于任何 E 值,不含时Schrödinger方程(28)都有解.但并 非对于一切 E 值所得出的解都满足物理上的要求.只有某些 E 值对 应的解才是物理上可接受的 ---- 能量本征值 这些要求中,有些是根据波函数的统计诠释而提出的,有的是根据具 体物理情况而提出的.如束缚态边条件,周期性边条件,散射态边条件等. 2. 能量本征值所对应的波函数称为能量本征函数. E E r 3. 这一方程又称为能量本征值方程。
所以，
0;
ka n
n 1,2,3,
n 0, 0无意义。 n 取负值得不出新解）
讨论一：n不等于零
d 2 k 0 2 dx (0) 0
2
d 2 0 2 dx
( x) Cx D
0
D0
(a) 0
C 0 此时波函数没有物理意义，故舍去。
2 薛定谔方程的解满足态叠加原理
2 2 i r , t U r , t r , t t 2m
3
若 1 ( r , t ) 和 2 ( r , t ) 是薛定谔方程的解， 则 c1 1 ( r , t ) c2 2 ( r , t )也是薛定谔方程的解。
2m E E是粒子的总能量，E > 0，令 k 2 ( x) A sin(kx ) 其通解：
式中 A和δ 是待定常数，由边界条件和归一化条件确定。
d ( x) 2mE 2 2 ( x) k ( x) 2 dx
2
oxa
(0) A sin 0 代入边界条件得： (a) A sin(ka ) 0
d 2 ( x) 2 k ( x) 0 2 dx
kx
若k用ik代入,则微分方 程变为： 其解为：
1 Ae
Be
kx
3.2.1 一维无限深方势阱
一维无限深方势阱：
0, V ( x) ,
0 xa ; x 0, x a,
V ( x)
金属中的电子可近似看成处在 一维有限深方势阱中运动。
0 xa x a, x a
(2)小结： 本征能量和本征函数的可能取值
π 2 2 2 2 πn En n n sin x 2 2ma a a 2 2 nπ Pn sin x n 1,2, a a
n
1 2 3
En
π2 2 E1 2ma 2
n
2 π 1 sin x a a
2 2 U (r ) (r ) E (r ) 2
————定态薛定谔方程 ①列出各区域的定态薛定谔方程
1 2
(0 x a )
( x 0及x a)
在阱外粒子势能为无穷大，满足：
2 d 2 ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
在方程
E p2 / 2m
E i , t
(1)
Hale Waihona Puke ˆ i p p(6)
并作用于波函数 r , t 上,就可得出方程 进一步考虑在势场 V r 中运动的粒子,可以得到
2 2 i r , t V r r , t t 2m
4. 这一波函数所描述的量子态称为定态。
定态:能量取确定值的状态 定态波函数
r , t C E r e
i Et
2 2 概率密度分布 ( r , t ) C E ( r ) 不随时间变化
2 ˆ H U r , t 2m Schrö dinger 方程的更普遍的表示是
由此得推论：
若V ( x) V ( x)，且解无简并，则解
必有确定的宇称。
此时， ( x)与 ( x)表示同一个态（可相差一个任意常数）
定理4：设V(-x)= V(x)，当能级有简并时，则对应于任 何一个能量本征值E,总可能找到定态方程的一组完备解, 它们之中的每一个解都有确定的宇称.
定理5：对于阶梯形方位势（在a处跃变）
ˆ x x ,
1 ，称具有确定的宇称。 （3）
1 ，为正宇称（偶宇称）， 1
为负宇称（奇宇称）。
定理3： 设V(x)具有空间反射不变性 V(-x)= V(x) 如ψ(x)是定态方程的属于能量为E的解，则 ψ(-x)也是方程的相应于能量为E的解。
n
到目前为止，我们有了两条关于微观粒子的基 本原理： ①微观粒子的状态（量子态）用波函数描写； 波函数的意义用概率解释， 波函数满足：归一化条件， 标准条件。
②微观粒子状态的变化遵循薛定谔方程。
薛定谔方程是否正确，这要由实验验证。可将 薛定谔方程用于某量子系统，进行分析并作出逻辑 推断，再对这种推断进行实验验证。
引入哈密顿算符:
2 2 i r , t U r , t r , t t 2m 2
ˆ i H t
(29)
ˆ 是体系的Hamilton算符.当 H ˆ 不显含t 时,体系的能 H 量是守恒量.
此时,能量本征方程为
方程的解必处处为零。
x 0, x a
( x) 0
x 0, x a
根据波函数的标准化条件，在边界上 所以，粒子被束缚在阱内运动。 在阱内粒子势能为零，满足：
(0) 0, (a) 0
d ( x) E ( x) 2 2m dx
2 2
oxa
在阱内的薛定谔 方程可写为：
(r , t ) dxdydz 应为有限值
2
, , 6 (r , t )以及 应连续 x y z
7 (r , t )应为单值函数
8 归一化 ( r , t ) dxdydz 1
2
标 准 条 件
定态薛定谔方程： 2 r 2m ( E U (r )) r 0 2
4 x
V(x)
V1 V ( x) V2
xa xa
V2 V1
0
a
x
若 V2 V1 有限，则定态波函数 ( x) 及其导数
' ( x) 必是连续的（若 | V2 V1 | ，则定理不
成立）
▲量子力学解题的一般思路 ①由粒子运动实际情况正确写出势函数V(x)
②代入定态薛定谔方程
2ma
2
n
n 1,2,3,
结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列分立值，即 它的能量是量子化的。
这说明：并非任何 E值所对应的波函数都能满足一维无限深方 势阱所要求的边界条件，只有当能量取上式给出的那些分立的 值 En（体系的能量本征值）时，相应的波函数才是物理上有 意义的，即本问题中体系的能量是量子化的，亦即体系的能谱 是分立的。
P n
2 2πx P sin 1 a a
E2 4E1
E3 9 E1
2 2π 2 2 2π 2 sin x P2 sin x a a a a 2 3π 2 3π 3 sin x P3 sin 2 x a a a a
一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度
( x)
即能量 E 可能是二重简并的。
对应于某个能量本征值 E, 方程的解无简并，则可 取为实函数解
定理2：当能级有简并时，对于能量的某个本征值E， 总可找到方程的一组实解，凡是属于 E 的任何解， 均可表成这一组实解的线性叠加。这组实解是完备的。
宇称的概念 空间反演算符， 定义：
ˆ r - r
2 n sin x, n 1,2,3,阱内 n a a 阱外 0
由归一化条件
a
0
n x A sin ( )dx 1 a
2
A
2 a
n ( x) 为本征态；En 为本征能量。 # 称 n为量子数；
# 能量是量子化的。是由标准化条件而来。
含时波函数为
i En t 2 n sin xe , n ( x, t ) a a 0,
③解方程
④解出能量本征值和相应的本征函数
⑤求出概率密度分布及其他力学量
3.2 方位势 数学预备知识
d 2 ( x) 2 k ( x) 0的三种等价的解。 微分方程 2 dx
A） C）
B） 2 C sin kx D coskx
1 Ae
ikx
Be
ikx
3 G sin(kx )
2
(c) 任何(不显含 t 的)力学量的测值概率分布也不随 时间改变(以后证明).
( r , 0 ) 问题：已知t=0初态 ，如何求t>0的态 ( r , t )
ˆ 1. 若t=0初态是 H 本征态： (r ,0) (r ) i Et 则，t>0的态就是定态： (r , t ) (r )e ˆ 本征态， 2. 若t=0初态 (r ,0) 是非 H
单粒子的Schrö dinger波动方程. 它揭示了微观世界中物质运动的基本规律.
(7)
薛定谔方程是时间的一阶偏微分方程。 因此，若体系在t=0的状态 (r ,0) 给定， 则体系此后任何时刻的状态 ( r , t ) 也就完 全确定。
讨论: 1 薛定谔方程是量子力学中的一项基本假设； 地位与经典力学的牛顿定律相当；
ˆ E H
(30)
对于更复杂的体系的Schrö dinger方程的具体表达 式,关键在于如何写出其Hamilton量算符.
处于定态下的粒子具有如下特征: (a) 粒子在空间的概率密度 r E r 以及概率 流密度显然不随时间改变. (b) 任何(不显含 t 的)力学量的平均值不随时间改变.
一维定态的基本性质
1. 束缚态：粒子被局限在有限空间内运动的态 称束缚态，满足 x , x 0
2. 非束缚态（散射态）：粒子有足够大的能量， 可以摆脱势场之束缚，能谱为连续谱。
潍坊学院
一维定态的基本性质
定理1：设 ( x)是方程的一个解，对应的能量本征值为 E, 则 * ( x)也是方程的一个解，对应的能量也是 E。