解直角三角形复习教案

《解直角三角形》复习教案

一、复习目标：

1. 掌握直角三角形中锐角三角函数的定义。

2. 熟记30°，45°，60°角的各三角函数值，会计算含特殊角三角函数的代数式的值。

3. 能熟练运用勾股定理、直角三角形中两锐角互余及三角函数定义解直角三角形。

4. 会用解直角三角形的有关知识解简单的实际问题。

二、复习重点：

先构造直角三角形，再综合应用勾股定理和锐角三角函数解决简单的实际问题。

三、复习难点：

把实际问题转化为解直角三角形的数学问题。

四、复习过程：

（一）知识回顾

1.三角函数定义:

我们规定

①斜边的对边A ∠叫∠A 的正弦.记作斜边

的对边A A ∠=sin ②斜边的邻边A ∠叫∠A 的余弦.记作斜边

的邻边A A ∠=cos ③

的邻边的对边A A ∠∠叫∠A 的正切.记作tanA=的邻边的对边A A ∠∠ 2.特殊角的三角函数值

3.互为余角的函数关系式:

C B

A 的对边 ∠A 的邻边

90°-∠A 与∠A 是互为余角.

有A A cos )90sin(=- A A sin )90cos(=-

通过这两个关系式,可以将正,余弦互化.

如 50cos 40sin = 8451sin 2138cos '='

4.三个三角函数性质

当∠A 从30°增长到45°,再增长到60°,它的正弦值从2

1增到22,再增到23.说明正弦值随着∠A 的增大而增大.即两个锐角,大角的正弦大,反之两个锐角的正弦值比较,正弦值越大,角越大.如 48sin 50sin >.

同理正切函数也具有相同的性质,如tan53°>tan40°

比较两个函数值的大小,通常化成同名函数,再根据性质比较大小.

（二）综合运用：

例1:已知2)cos (sin ,450ααα-<<化简

解:|cos sin |)cos (sin 2αααα-=-

αααcos sin ,450<∴<<

比如αααααcos sin ,23cos ,21sin ,30<=

= . 再如 50sin 40cos cos ,40sin sin ,40====ααα

ααcos sin ,40cos 40sin <∴<

所以ααααsin cos |cos sin |-=- 例2. 如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB=Rt ∠，CD ⊥AB ，D 为垂足，CD=5，BD=2， 求：(1) tanA; (2)cos ∠ACD;(3)AC 的长。

注意：角之间的转化，如∠ACD=∠B ，∠A=∠BCD 。

例3 、已知：△ABC 中，∠A=30°，∠C-∠B=60°，AC=22 ，求△ABC 的面积。 注意：画CD ⊥AB ，将解一般三角形问题转化为解直角三角形问题；在本题中，求公共直边CD 成为求解的关键。

例4．北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地A 的正东方向且距离A 地40海里的B 处训练。突然接到基地命令，要该舰前往C 岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治。已知

B

C 岛在A 的北偏东方向60°，且在B 的北偏西45°方向，军舰从B 处出发，平均每小时行驶20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院?(精确到0.1小时)

例5．如图，城市规划期间，要拆除一电线杆AB ，已知距电线杆水平距离14米的D 处有一大坝，背水坡的坡度i ＝2:1，坝高CF 为2米，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，

D 、

E 之间是宽为2米的人行道．请问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域)。之间的转化，如∠ACD=∠B ，∠A=∠BCD 。

（三）、纠正补偿：

1、判断题

（1）.015cos 75sin =- .

（2）.在Rt ΔABC 中,∠C=90°,a,b,c 分别∠A,∠B,∠C 的对边则c b B c a A ==cos ,sin .( ) （3）.已知βα,是锐角,若βαβα>>则,sin sin .( )

（4）.直角三角形ABC 中,各边都扩大2倍,则正弦值也扩大2倍.( )

（5）.若α是锐角, 60,30cos sin ==αα则.( )

（6 ）.当αααααsin cos )cos (sin ,4502-=-<<时 ( )

2、填空题

（1）若ααcos ,2

3)90sin(则=- =______. （2）α是直角三角形的一个锐角,如果方程04cos 3cos 10102=+--ααx x 有两个相等

实根,则αsin =______.

（3） 在Rt ΔABC 中,两直角边分别是

2525-+和,则最大锐角的余弦值是

______.

（4） 在Rt ΔABC 中,∠C=90°,A BC AC sin ,22,24则=== ______.

（5）βα,是锐角,且23)15cos(,23sin =-= βα,则3

βα+=______. （6）在Rt ΔABC 中,∠C=Rt ∠,则A sin =______,AB

AC 是∠A 的______函数. （7）若α是锐角,且2

1cos )21

(cos 2-=-αα,则α的取值范围是______. （8）化简|154sin |36sin 12-+- 的结果是______.

（9）已知等腰三角形的两边分别是10,14.则底角的余弦值是______.

(三)解答下列各题:

1.若把AD 看作是某电视塔的高，B,C 看作是两个观测点， 30°, 45°分别是这两个观测点测得的两个仰角，并测得BC=12米 ,求电视塔的高度。

2．海中有一小岛A ，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B 处测得小岛A 在北偏东60°，航行12海里到达C 点，这时测得小岛A 在东北方向上，如果渔船不改变方向，继续向东捕捞，有没有触礁的危险？

（四）、完善整合：

1、请你谈谈本节课有何收获？

2、课外练习：

（1）.在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°,AC=5,AB=13,则tanA=

（2）.在⊿ABC 中， ∠A=60°,AB=2cm,AC=3cm,则S ⊿ABC = （3）如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N 的走向为南偏东30°，在M 的南偏东60°方向上有一点A ，以A 为圆心、500m 为半径的圆形区域为居民区。取MN 上的另一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°。已知MB ＝400m ，通过计算回答，如果不改变方向，输水管道是否会穿过居民区。

教后记： A B C

30° D 45° 东 B A

6 C 4北 E F 西 1B A C 2 3 60