第七讲 要素需求函数、成本函数、利润函数与供给函数.ppt
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成本高一些，但边际成本递减的阶段长一些；而
当企业的规模为时k (3) ，边际成本递减的阶段会
更长一些。
k (2) STC
C
k (2)
LTC
k (1) Y
V
s
O R TW
q
第三节 学习成本与成本可加性 一、学习曲线
学习的含义：指干中学。
学习效应的数学刻画：C2 0 q1
考虑两个时期，t=1,2.每个时期有产量q，于是两
个时期产量分别为q ,q 。第一期的成本为C (q ),
12
11
第二期的成本为C
(q
22
,
q 1
)，学习效应指
C2 q1
0。即
第一期的产出量越多，则第二期的生产成本会降下来。
学习曲线：
L=A+BN ...(7.43) 式中的L表示产出的劳动投入量，N表示累计的产出量，
A,B>0.
如 =0，则L=A+B，这时单位产出的劳动投入量为一常
数，N增加不会引起L减少。于是，不存在学习效应。
如 =1，则L=A+B / N，那么,随N ，L A.这时， 学习效应是充分的。
在通常的情况下，0< <1,的大小表示学习效应的大
小。有时，学习曲线可写成
L=AN ...(7.44)
2、学习曲线图形
L
O
Q
例3：设有一公司，在累计产量达到20时，测得 总用工为200小时；在累计产量达到40时，测得 总用工为360小时，试估计学习曲线
qq
(q)
q
b q
(q)q
((q)
q2
b)
0
解出 (q) (q) b 即 MC AC
q
同理，MC AVC 时，是AVC的最低点。如MC<AC(AVC)，则会使 AC(AVC）下降；如MC>AC(AVC)，则会使AC(AVC）上升。
如果MC一直高于AC,则AC一直上升，一定会有规模 报酬递减；
q
q
平均可变成本AVC是可以记为
AVC (q)
q
平均（固定）不变成本AFC可以记为 AFC b q
边际成本（MC）是产出量增量所导致的成本增量， 数学上表达为对产出量q的一阶导数，即
MC `(q) dC
dq
因此，边际成本只与可变成本 有关，与不变成本无关！
成本曲线与产量曲线的形状正好倒个个。AFC是b/q,因此是 一条双曲线。由于边际成本先是下降（边际产量开始上升）， 后上升，因此平均成本（AC)与平均可变成本AVC呈U型。在 平均成本线的最低点，边际成本MC等于平均成本。因为，让 对q求道，AT并C 令 C该导(数q) 为b 零，有
x2
(
)r
g(
1
)r
(
1
pA) r
r1
r2
2 (r1, r2 ,
p)
我们可以同样以成本最小化求最优要素需求。即
minx1r1 x2r2
s.t. f (x1, x2) q
x1 0, x2 0
相应的拉氏函数为：L(x1, x2 ) x1r1 x2r2 q f (x1, x2 )
L x1
r1
f1
0
L x2
r2
f2
0
L
q
f
(x1, x2 )
0
从而
f1
r1
f2
r2
注意：由于生产函数是呈规模报酬递减的，所以， 利润最大化问题有解，我们可以根据最大化的利 润要求找出要素需求。
如果生产函数是呈规模不变或规模递增，则利润 可能没有极大值，这时就不能从利润极大去找要 素需求。只能根据成本最小要求去找要素需求。
可变。因此，如果生产函数是 q f (x1, x2 , k )
则短期成本函数可以表达为
通常，在r1与r2 给定时，x1 与
STC r1x1 r2 x2 (k
x2是q的函数，所以短期
)
成本函数可以略去 x1，x2于是
STC (q, r1, r2, k) (k)
如果 r1与r2 给定，则 STC (q, k) (k)
0.0152
L 15.77N
二、成本函数的次可加性与规模报酬
1.反映规模报酬递增的若干成本变化范畴。
这个问题是与“U形”企业理论相联系的。
先考虑一个只生产一种产品的企业。设 C(q)为企业生产q产量的总成本。注意， C(q)已是企业决策最优化后的产物，即C （q）已是为生产q单位产品的一组投入品 的最低成本。为简单起见，假定成本函数 除在零点外是二阶可微
并且
f11 f21
f12 f22
f11 f22
f122 0
不难验证，例1中的生产 函数是严格凹的。
当生产函数为严格凹时，利润极大化问题有解。
从 pf1 r1 式可知： pf1 r1 0
pf2 r2
pf2 r2 0
p 因与求为关x2于的f1 函x与1数，fx2，分2 我，别r1们，为r2再x1
L=AN- 解：由于
L1
200 20
A20-
...(E.18)
L2
360 40
A40- ...(E.19)
由 L2 ，可得0.9 2- L1
ln(0.9) ln 2
ln(0.9) 0.0152 ln 2
0.0152 又解A：从式（E.18)可知
10 A200.0152
10 A 200.0152 15.77 所以，学习曲线为
1 pD [ f22dr1 f12dr2 ( f12 f2 f22 f1 )dp]
同理
dx2
1 pD [ f21dr1
f11dr2 ( f21 f1
f11 f2 )dp]
这里D>0是由于生产函数的严格凹性
如果只看 r1 对 x1 的影响，我们令 dr2 dp 0
则有
dx1
1 pD
利润最大化必然要求要素的使用达到其边际 产量的价值等于要素本x1身的价格时才最优。
例1：q Ax1 x2这里 0, 0,但 1, x1 0, x2 0
求企业关于 x1 与x2 的需求函数。
解：
pf1 p Ax1 1x2 r1..(E.1) pf2 p Ax1 x2 1 r2..(E.2)
dq
利润极大化的二阶条件是，在短期，ddq22
(q)
d 2C dq2
0
如果不是这样，d 2 0，则说明生产可以无限扩张，利
dq2
润增加不会随生产增加而递减。但这在短期是无法做
到的。
因此
d 2
dq2
(q)
d 2C dq2
0
d 2C dq2
0
即边际成本 递增！
三、长期成本函数（LRTC)
• 在长期，所有要素都是可变的，而且生产规模k也
所以，从成本最小出发求要素需求，是更为一般 的办法。
二、要素价格变化对要素需求量的影响
r • 结论：1上升
x 下降 1
r2 上升
x 下降 1
r1上升
x 下降 2
r2 上升
x 下降
为推导这种影响，先引进生产函数f (x1, x2 ) 凹2 性的概念。
【定义】我们说 f (x1, x2 )为严格凹的，如果 f11 0, f22 0
即产出品价格上升会驱使企业增加投入品。
第二节 短期成本函数与长期成本函数 一、成本函数的定义
• 设生产函数为 q f (x1, x2 ), r1, r2分别为要素价
格， x1 0, x2 0
• 则成本函数是 C(r1, r2 , q) min(r1x1 r2 x2 )
s.t. f (x1, x2 ) q
分别生产他们节约成本。
、两个定理
【定理】边际成本在任何地方都递减意
味着平均成本在任何地方都递减。
证明：
由于 所以，
C(q)=F+ q C（' x）dx， 0
q
C(p) p
d dq
F q
d dq
q C'（x）dx/q ...(7.4
0
而
d dq
F q
F q2
...(7.49)
f12
0
就有 dx1 0
dr2
如果要看产出品价格p 对 x1的影响，则令 dr1 dr2 0
有：
dx1
1 pD
(
f12
f2
f22 f1)dp
即：dx1 dp
1 pD
[
f12
f2
f22 f1]
由于假定 f12通常为正，并且 f2 0, f22 0, f1 0,
所以在这种情况下，我们有 dx1 0 dp
如果MC一直等于AC,则AC是一条水平线，一定是规 模报酬不变；
如果MC一直小于AC,则AC会一直下降，一定有规模 报酬递增。
图7.3即表示了这三种不同的情形。
2. 成本函数的二阶性质
当成本函数为 C (q) b 时，利润也可以表达为是
产出量的函数 pq (q) b
于是 d p (q) 0 是利润极大化的一阶条件。
C（q）= F+ q C（' x）dx，当q>0 0
0, 其他情形
这里，F 0为生产的固定成本，
C（' x）为边际成本，q C（、 x）dx实质 0
上就是可变成本。
首先，如果对于所有可能出现的产出
量q，如果C // (q) 0，那么，边际成
本严格递减。
其次，如果对于所有的q1与q
都
2
满足
其中， (q, k ) 为k给定条件下生产q的成本， (k)为生产规
模k本身的成本
• 下图是对长期成本函数中规模k的说明：
• 下图中有三个不同的生产规模；k (1) , k (2) , k (3)。
• 企业的规模为 k(1)时，起步时的总成本低一些，
因为规模小；但不久边际成本就递增了；企业的
规模为 k (2) 时，当规模扩大一些，起步时的总
(
f
22
dr1
)
即
dx1 dr1
1 pD
f22
0
因为 D 0 ，F22 0
那么，r2 对x1有什么影响呢？我们令 dr1 dp 0
则有
dx1 dr2
1 pD
(
f12
)
这里 dx1 的符号取决于 f12 的符号。f12 是指 x2增加后对 x1
dr2
的边际产量的作用。
f1 是资本的边际产出。如果
x2 r1 x1 r2
x2
r1 r2
x1..(E.4)
p
Ax1
1
(
r1 r2
x1 )
r1
p
Ax1
1
(
r1 ) r2
r1
x1
1
gpA
1
(
r1 r2
)
r1
pA
1
r1
r1 2
x 1 1
令 1 r
x1
1
( ) r r1
1
g( ) r ( pA) r
r2
1(r1, r2 ,
p)
f1dp f2dp
dr1 dr2
用克莱姆法则解 dx1，dx2（D= f11 f22 f122 0 ）可以得到：
dx1
1 p2D
[(
f1dp
dr1 )
pf 22
(
f 2 dp
dr2 )
pf12 ]
1 pD
[
f 22 dr1
f22 f1dp
f2 f12dp dr2 f12 ]
0<q1<q2 , 有
C(q2 ) C(q1)
q2
q1
那么，平均成本是严格递减的。
这里再引入一个新概念：“成本函数的
次可加”：如果对于产量q1，q
2，……q
，
n
有
n
C（qi）
C
n
qi
i1
i1
那么，成本函数就是严格次可加
（subadditivity）的。 在一个有限的产量变化范围内，
共同生产一组产出量的总和会比
与 的全微分
有：pf11dx1 pf12dx2 f1dp dr1 0
pf21dx1 pf22dx2 f2dp dr2 0
pf11dx1 pf12dx2来自百度文库 f1dp dr1
pf21dx1 pf22dx2 f2dp dr2
即： pf11
pf21
pf12 pf22
dx1 dx2
由于，在任何x 0，q范围内
有C / (q) C / (x) （这是边际成本在任何地方都严格
令
x1
pf1
r1
0,
x2
pf2
r2
0,
即 pf1 r1， pf2 r2
x1 x1(r1, r2 , p)
x2 x2 (r1, r2 , p)
pf1为要素的边际产量 MP1 的价值，pf2 为边际产量 MP2 的价值。
pfi ri pfi ri
xi还未用足，企业增加 xi的投入 xi用得太多，企业减少 xi的投入
• 我们用下式表示成本函数
C (q, r1, r2 ) b
如果生产函数为 q f (x1, x2 ),如果要素价格是给
定的，r1 r1,r2 r2 ，则成本C就只是产量q的函数， 于是
C (q) b
注：C有时又写成TC，即总成本
1.平均成本与边际成本的关系
ATC C (q) b
• 如果 xi* (r1, r2 , q)(i 1, 2) 是成本最小化规划的解， 称该解为条件要素需求函数。这里所谓的“条件” 是指在产出量给定的条件下，求要素需求。
• 则成本函数就是
c(r1, r2, q) r1x1*(r1, r2, q) r2x2*(r1, r2, q)
二、短期成本函数（SRTC)
第七讲 要素需求函数、成本函 数、利润函数与供给函数
一、要素需求函数的推导
• 利润公式：利润（π）=总收入-总成本
π=pq-C …（7.1）
注意：公式7.1还不是利润函数，只是一个定义
如果 q f (x1, x2 ) ，则 C r1x1 r2x2 b
公式7.1可写成 pf (x1, x2 ) r1x1 r2x2 b...(7.2)
当企业的规模为时k (3) ，边际成本递减的阶段会
更长一些。
k (2) STC
C
k (2)
LTC
k (1) Y
V
s
O R TW
q
第三节 学习成本与成本可加性 一、学习曲线
学习的含义：指干中学。
学习效应的数学刻画：C2 0 q1
考虑两个时期，t=1,2.每个时期有产量q，于是两
个时期产量分别为q ,q 。第一期的成本为C (q ),
12
11
第二期的成本为C
(q
22
,
q 1
)，学习效应指
C2 q1
0。即
第一期的产出量越多，则第二期的生产成本会降下来。
学习曲线：
L=A+BN ...(7.43) 式中的L表示产出的劳动投入量，N表示累计的产出量，
A,B>0.
如 =0，则L=A+B，这时单位产出的劳动投入量为一常
数，N增加不会引起L减少。于是，不存在学习效应。
如 =1，则L=A+B / N，那么,随N ，L A.这时， 学习效应是充分的。
在通常的情况下，0< <1,的大小表示学习效应的大
小。有时，学习曲线可写成
L=AN ...(7.44)
2、学习曲线图形
L
O
Q
例3：设有一公司，在累计产量达到20时，测得 总用工为200小时；在累计产量达到40时，测得 总用工为360小时，试估计学习曲线
(q)
q
b q
(q)q
((q)
q2
b)
0
解出 (q) (q) b 即 MC AC
q
同理，MC AVC 时，是AVC的最低点。如MC<AC(AVC)，则会使 AC(AVC）下降；如MC>AC(AVC)，则会使AC(AVC）上升。
如果MC一直高于AC,则AC一直上升，一定会有规模 报酬递减；
q
q
平均可变成本AVC是可以记为
AVC (q)
q
平均（固定）不变成本AFC可以记为 AFC b q
边际成本（MC）是产出量增量所导致的成本增量， 数学上表达为对产出量q的一阶导数，即
MC `(q) dC
dq
因此，边际成本只与可变成本 有关，与不变成本无关！
成本曲线与产量曲线的形状正好倒个个。AFC是b/q,因此是 一条双曲线。由于边际成本先是下降（边际产量开始上升）， 后上升，因此平均成本（AC)与平均可变成本AVC呈U型。在 平均成本线的最低点，边际成本MC等于平均成本。因为，让 对q求道，AT并C 令 C该导(数q) 为b 零，有
x2
(
)r
g(
1
)r
(
1
pA) r
r1
r2
2 (r1, r2 ,
p)
我们可以同样以成本最小化求最优要素需求。即
minx1r1 x2r2
s.t. f (x1, x2) q
x1 0, x2 0
相应的拉氏函数为：L(x1, x2 ) x1r1 x2r2 q f (x1, x2 )
L x1
r1
f1
0
L x2
r2
f2
0
L
q
f
(x1, x2 )
0
从而
f1
r1
f2
r2
注意：由于生产函数是呈规模报酬递减的，所以， 利润最大化问题有解，我们可以根据最大化的利 润要求找出要素需求。
如果生产函数是呈规模不变或规模递增，则利润 可能没有极大值，这时就不能从利润极大去找要 素需求。只能根据成本最小要求去找要素需求。
可变。因此，如果生产函数是 q f (x1, x2 , k )
则短期成本函数可以表达为
通常，在r1与r2 给定时，x1 与
STC r1x1 r2 x2 (k
x2是q的函数，所以短期
)
成本函数可以略去 x1，x2于是
STC (q, r1, r2, k) (k)
如果 r1与r2 给定，则 STC (q, k) (k)
0.0152
L 15.77N
二、成本函数的次可加性与规模报酬
1.反映规模报酬递增的若干成本变化范畴。
这个问题是与“U形”企业理论相联系的。
先考虑一个只生产一种产品的企业。设 C(q)为企业生产q产量的总成本。注意， C(q)已是企业决策最优化后的产物，即C （q）已是为生产q单位产品的一组投入品 的最低成本。为简单起见，假定成本函数 除在零点外是二阶可微
并且
f11 f21
f12 f22
f11 f22
f122 0
不难验证，例1中的生产 函数是严格凹的。
当生产函数为严格凹时，利润极大化问题有解。
从 pf1 r1 式可知： pf1 r1 0
pf2 r2
pf2 r2 0
p 因与求为关x2于的f1 函x与1数，fx2，分2 我，别r1们，为r2再x1
L=AN- 解：由于
L1
200 20
A20-
...(E.18)
L2
360 40
A40- ...(E.19)
由 L2 ，可得0.9 2- L1
ln(0.9) ln 2
ln(0.9) 0.0152 ln 2
0.0152 又解A：从式（E.18)可知
10 A200.0152
10 A 200.0152 15.77 所以，学习曲线为
1 pD [ f22dr1 f12dr2 ( f12 f2 f22 f1 )dp]
同理
dx2
1 pD [ f21dr1
f11dr2 ( f21 f1
f11 f2 )dp]
这里D>0是由于生产函数的严格凹性
如果只看 r1 对 x1 的影响，我们令 dr2 dp 0
则有
dx1
1 pD
利润最大化必然要求要素的使用达到其边际 产量的价值等于要素本x1身的价格时才最优。
例1：q Ax1 x2这里 0, 0,但 1, x1 0, x2 0
求企业关于 x1 与x2 的需求函数。
解：
pf1 p Ax1 1x2 r1..(E.1) pf2 p Ax1 x2 1 r2..(E.2)
dq
利润极大化的二阶条件是，在短期，ddq22
(q)
d 2C dq2
0
如果不是这样，d 2 0，则说明生产可以无限扩张，利
dq2
润增加不会随生产增加而递减。但这在短期是无法做
到的。
因此
d 2
dq2
(q)
d 2C dq2
0
d 2C dq2
0
即边际成本 递增！
三、长期成本函数（LRTC)
• 在长期，所有要素都是可变的，而且生产规模k也
所以，从成本最小出发求要素需求，是更为一般 的办法。
二、要素价格变化对要素需求量的影响
r • 结论：1上升
x 下降 1
r2 上升
x 下降 1
r1上升
x 下降 2
r2 上升
x 下降
为推导这种影响，先引进生产函数f (x1, x2 ) 凹2 性的概念。
【定义】我们说 f (x1, x2 )为严格凹的，如果 f11 0, f22 0
即产出品价格上升会驱使企业增加投入品。
第二节 短期成本函数与长期成本函数 一、成本函数的定义
• 设生产函数为 q f (x1, x2 ), r1, r2分别为要素价
格， x1 0, x2 0
• 则成本函数是 C(r1, r2 , q) min(r1x1 r2 x2 )
s.t. f (x1, x2 ) q
分别生产他们节约成本。
、两个定理
【定理】边际成本在任何地方都递减意
味着平均成本在任何地方都递减。
证明：
由于 所以，
C(q)=F+ q C（' x）dx， 0
q
C(p) p
d dq
F q
d dq
q C'（x）dx/q ...(7.4
0
而
d dq
F q
F q2
...(7.49)
f12
0
就有 dx1 0
dr2
如果要看产出品价格p 对 x1的影响，则令 dr1 dr2 0
有：
dx1
1 pD
(
f12
f2
f22 f1)dp
即：dx1 dp
1 pD
[
f12
f2
f22 f1]
由于假定 f12通常为正，并且 f2 0, f22 0, f1 0,
所以在这种情况下，我们有 dx1 0 dp
如果MC一直等于AC,则AC是一条水平线，一定是规 模报酬不变；
如果MC一直小于AC,则AC会一直下降，一定有规模 报酬递增。
图7.3即表示了这三种不同的情形。
2. 成本函数的二阶性质
当成本函数为 C (q) b 时，利润也可以表达为是
产出量的函数 pq (q) b
于是 d p (q) 0 是利润极大化的一阶条件。
C（q）= F+ q C（' x）dx，当q>0 0
0, 其他情形
这里，F 0为生产的固定成本，
C（' x）为边际成本，q C（、 x）dx实质 0
上就是可变成本。
首先，如果对于所有可能出现的产出
量q，如果C // (q) 0，那么，边际成
本严格递减。
其次，如果对于所有的q1与q
都
2
满足
其中， (q, k ) 为k给定条件下生产q的成本， (k)为生产规
模k本身的成本
• 下图是对长期成本函数中规模k的说明：
• 下图中有三个不同的生产规模；k (1) , k (2) , k (3)。
• 企业的规模为 k(1)时，起步时的总成本低一些，
因为规模小；但不久边际成本就递增了；企业的
规模为 k (2) 时，当规模扩大一些，起步时的总
(
f
22
dr1
)
即
dx1 dr1
1 pD
f22
0
因为 D 0 ，F22 0
那么，r2 对x1有什么影响呢？我们令 dr1 dp 0
则有
dx1 dr2
1 pD
(
f12
)
这里 dx1 的符号取决于 f12 的符号。f12 是指 x2增加后对 x1
dr2
的边际产量的作用。
f1 是资本的边际产出。如果
x2 r1 x1 r2
x2
r1 r2
x1..(E.4)
p
Ax1
1
(
r1 r2
x1 )
r1
p
Ax1
1
(
r1 ) r2
r1
x1
1
gpA
1
(
r1 r2
)
r1
pA
1
r1
r1 2
x 1 1
令 1 r
x1
1
( ) r r1
1
g( ) r ( pA) r
r2
1(r1, r2 ,
p)
f1dp f2dp
dr1 dr2
用克莱姆法则解 dx1，dx2（D= f11 f22 f122 0 ）可以得到：
dx1
1 p2D
[(
f1dp
dr1 )
pf 22
(
f 2 dp
dr2 )
pf12 ]
1 pD
[
f 22 dr1
f22 f1dp
f2 f12dp dr2 f12 ]
0<q1<q2 , 有
C(q2 ) C(q1)
q2
q1
那么，平均成本是严格递减的。
这里再引入一个新概念：“成本函数的
次可加”：如果对于产量q1，q
2，……q
，
n
有
n
C（qi）
C
n
qi
i1
i1
那么，成本函数就是严格次可加
（subadditivity）的。 在一个有限的产量变化范围内，
共同生产一组产出量的总和会比
与 的全微分
有：pf11dx1 pf12dx2 f1dp dr1 0
pf21dx1 pf22dx2 f2dp dr2 0
pf11dx1 pf12dx2来自百度文库 f1dp dr1
pf21dx1 pf22dx2 f2dp dr2
即： pf11
pf21
pf12 pf22
dx1 dx2
由于，在任何x 0，q范围内
有C / (q) C / (x) （这是边际成本在任何地方都严格
令
x1
pf1
r1
0,
x2
pf2
r2
0,
即 pf1 r1， pf2 r2
x1 x1(r1, r2 , p)
x2 x2 (r1, r2 , p)
pf1为要素的边际产量 MP1 的价值，pf2 为边际产量 MP2 的价值。
pfi ri pfi ri
xi还未用足，企业增加 xi的投入 xi用得太多，企业减少 xi的投入
• 我们用下式表示成本函数
C (q, r1, r2 ) b
如果生产函数为 q f (x1, x2 ),如果要素价格是给
定的，r1 r1,r2 r2 ，则成本C就只是产量q的函数， 于是
C (q) b
注：C有时又写成TC，即总成本
1.平均成本与边际成本的关系
ATC C (q) b
• 如果 xi* (r1, r2 , q)(i 1, 2) 是成本最小化规划的解， 称该解为条件要素需求函数。这里所谓的“条件” 是指在产出量给定的条件下，求要素需求。
• 则成本函数就是
c(r1, r2, q) r1x1*(r1, r2, q) r2x2*(r1, r2, q)
二、短期成本函数（SRTC)
第七讲 要素需求函数、成本函 数、利润函数与供给函数
一、要素需求函数的推导
• 利润公式：利润（π）=总收入-总成本
π=pq-C …（7.1）
注意：公式7.1还不是利润函数，只是一个定义
如果 q f (x1, x2 ) ，则 C r1x1 r2x2 b
公式7.1可写成 pf (x1, x2 ) r1x1 r2x2 b...(7.2)