数学物理方程第二章分离变量法

a2T 0 T
X " X 0
n ( nl )2
X n sin nl x,
固有 值 （特 征值） 问题
n at n at Tn An cos Bn sin l l
un Tn (t ) X n ( x)
u u ( x, t )
u Tn (t ) X n ( x)
当
0 时有解
0 0,
X 0 ( x) C2或 X 0 ( x) 1
X ( x) C1 cos x C2 sin x
现确定积分常数，由条件知 C2 0
(C1 sin l C 2 cos l ) 0
由第一式可得
C2 0 ，因此第二式变为
u
ut
t 0
( x)
t 0
( x)
0 x l
n a n ut ( x, 0) Bn sin x ( x) l l n 1

n u ( x, 0) An sin x ( x) l n 1

方程左边是傅里叶正弦级数,这就提示我们把右边 的展开为傅里叶正弦级数，然后比较傅里叶系数，得
2 l n An ( ) sin d l 0 l 2 l n Bn 0 ( ) sin l d na
将上述弦振动解与实验结果比较：（图仅示意）
n 1
T1 sin
x
l
a
波速
n2
2 x T2 sin l
a
a
n3
3 x T3 sin l
u u ( x, t )
u Tn (t ) X n ( x)
现用 a XT 遍除各项即得
2
T X 2 aT X
于是得固有值问题 经讨论，当
X "X 0 X (0) 0 X (l ) 0
0 时有解 X C1x C2
由定解条件得 C1 0, C2任意，于是有固有值和固有函数
T X 2 a T X
两边相等显然是不可能的，除非两边实际上是同一个常 数，把这个常数记作------
T X 2 aT X
这可以分离为关于X的常微分方程和关于T的常微分方程， 且边界条件也同样进行分离
X X 0 X (0) 0 X (l ) 0
a2T 0 T
T0 A0 B0t Tn An cos
X " X 0
n ( ) , n 0,1,2, 固有 值 X n cos nl x,
n 2 l
n at n at Bn sin l l
un Tn (t ) X n ( x)
（特 征值） 问题
试探解 u( x, t ) X ( x)T (t )
代入方程和边界条件得 固有值问题
X X 0 X (0) 0 X (l ) 0
和常微分方程
T a2T 0
u |t 0 ( x)
ut a 2 uxx
u | x 0 ux | x l = 0
l
0
A 如取 ( x) x ，则 l
2l
2 lA (2n 1) x 2A 2l (2n 1) x Cn x sin dx 2 [ x( cos ) l 0l 2l l (2n 1) 2l 0 2l (2n 1) (2n 1) x 8A n 0 cos 2l dx] (1) (2n 1)2 2
方程、边界 条件均齐次
设u( x, t ) X ( x)T (t ) 代入上述波动方程和边界条件得
T X XT a X T 0 用 a XT 遍除 2 aT X
2
2
X (0)T (t ) 0 X (l )T (t ) 0
X (0) X (l ) 0
称为固有值（本征值）问题
T a T 0
2
1 、在λ<0时，方程的解是
X ( x) C1e
x
C2 e
x
积分常数 C1 和 C2 由边界条件确定
C1 C2 0 l C1e C2 e l
2、λ=0 时方程的解是

0
来自百度文库由此解出C1 =0, C2 =0，从而
由叠加原理，一般解为：

nat nat nx ( An cos Bn sin ) sin un ( x, t ) (n=1,2,3,…) l l l
nx nat nat u( x, t ) ( An cos Bn sin ) sin l l l n 1
现在要求出叠加系数 An和 Bn 满足初始条件
X (l ) 0
X (0) 0
u |t 0 ( x) ut t 0 ( x)
utt a 2 u xx
u x |x 0 u x |x l = 0
X (0) X (l ) 0
分 离 变 量 流 程 图
u T (t ) X ( x )
T X " 2 aT X
【例题2】研究细杆导热问题,初始时刻杆的一端温度为零度, 另一端跟外界绝热，杆上初始温度为 ( x) ,试求无热源时细杆上 温度的变化。
【解】杆上温度满足下列泛定方程和定解条件
分析：方程与边界条件均为齐次，用分离变量法，根据分离变量法流程，分析如下
ut a 2uxx 0, 0 x l , t 0 u x 0 0, ux x l 0 u t 0 ( x)
l
1
从而下列问题
的解为
ut a 2u xx 0, 0 x l , t 0 u x 0 0, u x x l 0 u t 0 A x l
X ( x) 0
X ( x) C1 x C2
C2 0 C1l C2 0
则仍然解出 C1 0 C2 0
u( x, t ) X ( x)T (t ) 0
3、 λ>0的情况
方程的解是
X ( x) C1 cos x C2 sin x
n 2 2 于是 l n 或 n n 1,2, 2 l n x 此时 X n ( x) Cn sin l n 称为固有值， X n ( x) 称为固有函数
a2n2T 0 现在需要求解 T 当 n 0 时有解 T0 (t ) A0 B0t 当 n 0 时有解 n at n at
Tn (t ) An cos l Bn sin l
其中
(n 1, 2,)
A0 B0 An Bn
均为独立的任意常数。
由叠加原理，一般解为
结果与实验情况完全一致。
u |t 0 ( x) ut t 0 ( x)
utt a 2 u xx
u |x 0 u |x l = 0
X (0) X (l ) 0
分 离 变 量 流 程 图
u T (t ) X ( x )
T X " 2 aT X
只有 cos l 0
由此得
1 l (n ) , n 0,1, 2,3 2 于是得固有值和固有函数为
1 2 2 (n ) 2 2 (2n 1) 2 n 2 2 l 4l
下面求解
(2n 1) x X n ( x) sin 2l
(2n 1) T a T 0 2 4l
齐次发展（演化）问题的求解
齐次稳定场问题的求解
非齐次问题的求解 多变量推广 本章小结
§2.1 齐次发展方程的分离变量法
一 分离变量法简介
研究两端固定的理想弦的自由振动，即定解问题
utt a 2u xx 0 0 x l, t 0 u x 0 0 u x l 0 u t 0 ( x) ut t 0 ( x), 0 x l
n at n at n x ＝A0 B0t ( An cos Bn sin ) cos l l l n 1 n x 由初始条件得 A0 An cos l ( x ) n 1 B B n a cos n x ( x ) (0 x l ) 0 n l l n 1
X (0) X (l ) 0
分 离 变 量 流 程 图
u T (t ) X ( x )
T X " 2 aT X
a2T 0 T
Tn (t ) Cne

X " X 0
n ( (2n2l1) )2 , n 1,2,
X n sin (2n2l1) x,
2
ux ux
x 0 x l
0 0
u t 0 ( x) ut ( x)
t 0 分析：方程与边界条件均为齐次，用分离变量法，根据分离变量法流程，分析如下
【解】 设
u( x, t ) X ( x)T (t ) 并代入方程得
XT a 2 X 0 T
X (0)T (t ) 0 X (l )T (t ) 0

u ( x, t )＝ Tn (t ) X n ( x)
n=0

把右边的函数展成傅里叶余弦级数, 比较两边的系数，得
1 l A0 ( )d l 0
2 l n An ( ) cos d 0 l l
1 l B0 ( )d l 0 2 l n Bn 0 ( ) cos l d na
再看关于T 的方程
C1 0 C2 sin l 0 只有sin l 0 才能保证 C2 0，方程有非零解
n 2 2 " 2 T a T 0 2 l
这个方程的解
分离变量的形式解
n at n at Tn (t ) An cos Bn sin l l
2 2 2
得
Tn (t ) Cn e
u ( x, t ) Cne
n 0

(2 n 1) 2 2 a 2 4l
2
t
由叠加原理，得
(2 n 1)2 2 a 2 4l
2
t
(2n 1) x sin 2l
确定系数 Cn ,由初值条件知

于是
(2n 1) x Cn sin 2l ( x) (0 x l ) n 0 2 l (2n 1) x Cn ( x)sin dx
而 C1 0 只有
C1 sin l 0
sin l 0
于是有固有值和固有函数
l n
n X n ( x) cos x l
n n
2
2
l
2
n 1,2,
综上所述，该问题的固有值和固有函数分别为
n n
2
2
l
2
n 0,1,2,
n X n ( x) cos x l
固有 值 （特 征值） 问题
(2 n 1)2 2 a 2 4l 2
t
un Tn (t ) X n ( x)
u u ( x, t )
u Tn (t ) X n ( x)
经讨论知，仅 0 时有非零解，且
X ( x) C1 cos x C2 sin x
由 X (0) 0 得 C1 0 由 X (l ) 0 得 C2 cos l 0
偏微分方程

分离变量
常微分方程（关于X）+边界条件 故有(值)函数 常微分方程（关于T）+初始条件 叠加系数
通解
本征值
故有函数

【例题1】 磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是 两端自由的均匀杆，它作纵振动。研究两端自由棒的自由 纵振动,即定解问题
utt a u xx 0 0 x l , t 0