平行线等分线段定理

AD
A
E ？F
？
B
C
E ？F
？
B
C
推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的 推论2 经过三角形一边的中点与另一
直线，必平分另一腰。
边平行的直线，必平分第三边。
符号语言： ∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB ∴DF=FC
符号语言 ∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB ∴AF=FC
例题讲解：
已知：线段ＡＢ
ＨＣ
Ｇ
Ｆ
Ｍ
Ｅ
Ｄ
求作：线段ＡＢ的五等分点。 作法：１）作射线ＡＣ。
Ａ ＩＪＫ Ｌ Ｂ Ｎ
２）在射线ＡＣ上顺次截取 ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＨ。
３）连结ＨＢ。
４）过点Ｇ、Ｆ、Ｅ、Ｄ分别作ＨＢ的平行线ＧＬ、ＦＫ、 ＥＪ、ＤＩ，分别交ＡＢ于点Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ。
Ｌ、Ｋ、Ｊ、Ｉ就是所求的五等分点
判断题：
若AB∥CD∥EF， AC=CE，
符号语言 ∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB ∴AF=FC
小结
1、平行线等分线段定理和两个推论 2、定理和推论的应用
辅助线点滴： 有线段中点时，常过 该点作平行线，构造 平行线等分线段定理 及推论的基本图形。
(1)把线段n等分
(2)证明在同一直线上的线 段相等
A AD
？
E
F
？
E ？F ？
B
CB
C
已知：如图，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC
求证： A1B1=B1C1
A
l1
证明：过B1作EF∥AC，分别交l1、l3于 l2 B 点E、F
l3 C
∵ l1∥l2∥l3 ∴得到□ ABB1E和□ BCFB1
∴EB1 =AB ，B1F=BC
∵AB=BC ∴EB1=B1F 又∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△A1B1E≌△C1B1F
AF=4厘米，
FD
则AB= 8 厘米.
B
E
C
证明题
1.已知：□ABCD中，E、F分别是AB、DC的中点，
CE、AF 分别交BD于M、N， A
D
求证：BM=MN=NC. 分析：需证明EC∥AF.
证明：
E.
M B
N. F C
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC；
∵E、F分别是AB、DC的中点，∴AE=FC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴EC∥AF,
若BE=60厘米，那么BO= 20 厘米.
A
E C
O
B D
F
已知△ABC中，AB=AC，AD⊥BC， A
M是AD的中点，CM交AB于P，
. DN∥CM交AB于N，如果AB=6厘米， P M
则PN= 2 厘米.
N
∟
B
D
C
已知△ABC中，CD平分∠ACB，
AE⊥CD交BC于E，
A
DF∥CB交AB于F，
ADHale Waihona Puke Baidu
E ？F
？
B
C
符号语言： ∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB ∴DF=FC
推论2: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线， 必平分第三边。
A
E
F
B
C
符号语言 ∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB ∴AF=FC
平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
P
张王 李
E
F
A
B
小结 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线
上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
AD
A
E ？F
E ？F
？
？
B
图4
C
B
图5
C
推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的 推论2 经过三角形一边的中点与另一
直线，必平分另一腰。
边平行的直线，必平分第三边。
符号语言： ∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB ∴DF=FC
∴DC=2EF.
3.已知：梯形ABCD中，AD∥BC， ABDE是平行四边形，
AD的延长线交EC于F， 求证：EF=FC.
分析：需证明AF、BC在
A
其它直线上截得
相等的线段.
B
E
D F
C
讨论题
一、如图：有块三角形菜地，分配给三家农民耕 种，边 AB紧靠水渠，P处是三家合用的肥料仓库，问 怎样分地才能使得每家的耕地面积都相等且都临水渠 和仓库，以便于运输和浇水 。
：
∴BM=MN, MN=ND, 即BM=MN=ND.
2.已知：梯形ABCD中，AD∥BC， A
D
E是AB边的中点， EF∥DC，交BC于F，
E.
M
求证：DC=2EF.
证明： 作EM∥BC交DC于M， B F
C
∵E是梯形ABCD的腰AB的中点，
∴M是DC的中点，即DC=2MC；
∵EF∥DC，∴EF=MC，
∴A1B1=B1C1
A1
E
3
B1 1
2 4
F C1
平行线等分线段定理:
如果一组平行线在一条直线上截得 的线段 相等 ，那么在其他直线上截得
的线段也 相等
l1
符号语言
l2
∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC
l3
∴ A1B1=B1C1
A B C
A1 ？B1 ？C1
推论1: 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平 分另一腰。
P
A
B
一、如图：有块三角形菜地，分配给张、王、李三家农民耕种， 已知张、王、李三家人口分别为2人、4人、6人，菜地分配方法 按人口比例，并要求每户土地均有一部分紧靠水渠AB，P处是三 家合用的肥料仓库，所以点P 必须是三家地的交界地
要求：用尺规在图中作出各家菜地的分界线
（保留作图痕迹，不写作法、标出户名）
× 则 BD=DF=AC=CE. (
)
A
B
C
D
E
F
填空题：
已知AD∥EF∥BC， E是AB的中点，
则DG= BG
H是 AC 的中点，
F是 CD 的中点
A
.
D
E G HF
B
C
填空题：
已知AD∥EF∥BC，
且AE=BE， 那么DF= CF .
A
D
EF
CB
已知AB∥CD∥EF，
AF交BE于O，且AO=OD=DF，
L1
L2
做一做：
（1）在横格纸上画直线L1，使得L1与横线垂 直 ， 观察L1被各条横线分成的线段是否相等。 （2）再画一条直线L2，那么L2被各条横线分成 的线段有何关系？
结 论：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其他直线上截得的线段也相等.
如何来证明？
平行线等分线段定理:
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其 他直线上截得的线段也相等.