单自由度系统的振动

（2-22）
式（2-22），对应于 ζ ＞1的情况，此时系统的 运动是非振荡的，并且随时间按指数规律衰减，x(t) 的确切形状取决于A1 和A2 ，也即取决于初始位移 x0 和初速度v0 。 ζ ＞1的情况称为大阻尼或过阻尼 。
2.1 单自由度系统的自由振动
临界阻尼（ζ =1）
s2 2ns n2 0 （2-20）
临界阻尼是 ζ ＞1和 ζ ＜1的一个分界点，应该注意到， ζ
=1时，系统的运动趋近于平衡位置的速度是最大的。
ζ =1也是系统振动与非振动运动的临界点。
2.1 单自由度系统的自由振动
ζ ＞1 、 ζ =1时系统的自由振动如图2-8--图2-9 。
图2-8 ζ ＞1 时x(t) 曲线
图2-9ζ =1 时x(t) 曲线
1
keq
1 k1
1 k2
如果有n 个弹簧串联时，可以证明有以下结论
keq
n i 1
1 ki
1
（2-4） （2-5） （2-6）
2.1 单自由度系统的自由振动
2.1.1 单自由度系统的运动方程
图2-5 单自由度模型
运动微分方程 单自由度弹簧-阻尼器-质量系统可由图2-5（a）
表示，下面用牛顿定律来建立系统的运动方程。绘系 统的分离体图如图2-5（b）。
比较方程（2-11）和（2-16），并利用（2-12）式的
关系，可以导出振幅A与相角φ 有如下形式
A
x02
v0
n
2
tan1 v0 x0n
（2-17）
2.1 单自由度系统的自由振动
例2-1 如图2-6 ，一个半径为R的半圆形薄壳，在 粗糙的表面上滚动，试推导此壳体在小幅运动下的运 动微分方程，并证明此壳体的运动象简谐振子，计算 振子的自然振动频率。
2
2
2 gR2 sin
（b）
2.1 单自由度系统的自由振动
Mc
R sindw
2
2
gR2
sin
d
gR2 cos
2
2
2 gR2 sin
（b）
其中， dw是给定角φ位置的微元体重量，ρ是壳体单位面积的
质量。
壳体对C 点的转动惯量为:
Ic R sin 2 R2 (1 cos)2 dm
弹性元件的组合
在实际工程系统中，常常会有多个弹性元件以各种形式 组合在一起的情况，其中最典型的是并联和串联两种形式， 分别如图2-4（a）和2-4（b）所示。
图2-4 弹簧的组合
并联时弹簧的等效刚度
Fs1 k1 (x2 x1 )
Fs2 k2 (x2 x1 )
Fs Fs1 Fs2 k1(x2 x1) k2 (x2 x1) keq (x2 x1)
图2-6 例2-1题图
2.1 单自由度系统的自由振动
解： 分析:本例运动方程的建立过程要比弹簧质量系统复杂一
些，运用理论力学中平面运动的理论，可建立系统的运动方程 。
设壳体倾斜角为θ（如图2-6），设c 为壳体与粗糙表面的 接触点，在无滑动的情况下，壳体瞬时在绕c 点作转动。对c 点取矩，可得系统的运动微分方程。
2
0
（e）
（e）式表明，当 θ很小时，系统运动的确象简谐振子，其
自然频率为:
n
g
R 2
（f）
2.1 单自由度系统的自由振动
2.1.3 有阻尼自由振动
有阻尼自由振动方程
有阻尼自由振动方程:
m&x&(t) cx&(t) kx(t) 0
（2-18a）
写成:
&x&(t) 2n x&(t) n2x(t) 0
Ic&& Mc （a）
2.1 单自由度系统的自由振动
Ic&& Mc
（a）
其中，IC为绕点 C的转动惯量， MC 为重力作用下的恢复力矩。为方便起见，
设壳体的长度为单位长度，由图2-6，对
于给定的θ，对C点的恢复力矩MC 有如下 形式：
Mc
R sindw
2
2
gR2
sin
d
gR2 cos
（2-18b）
其中， c / 2m n称为粘性阻尼因子。设（2-18b）式的解有如
下形式:
x(t) Aest
（2-19）
将（2-19）代入（2-18b）中，可得代数方程
s2 2ns n2 0
(2-20)
2.1 单自由度系统的自由振动
s2 2ns n2 0
(2-20)
这就是系统的特征方程，它是s 的二次方程，有两个解：
所以等效弹簧刚度为
keq k1 k2
（2-1） （2-2）
2.1 单自由度系统的自由振动
n
keq ki i 1
串联时弹簧的等效刚度
（2-3）
在图2-4（b）所示的串联情况下，可以得到如下关系
Fs k1(x0 x1)
Fs k2 (x2 x0 )
将x0 消掉，可得
Fs keq (x2 x1)
2.1 单自由度系统的自由振动
周期
在简谐振动中，完成一个完整的运动周期所需的时间定义
为周期T
2
T
n
（2-14）
从物理概念上讲，T代表完成一个完整的振荡所需的时间，
事实上T等于振动过程中相邻的两个完全相同的状态所对应的时
间差，其单位为秒。
自然频率
自然频率通常也用每秒的循环次数表示，其数学表达式为:
自然频率的单位为赫兹(HZ)。
系统的自由度定义为能完全描述系统运动所必须 的独立的坐标个数。
在离散模型中，最简单的是单自由度线性系统， 它用一个二阶常系数常微分方程来描述。这类模型常 用来作为较复杂系统的初步近似描述。
第2章 单自由度系统的振动
2.1 单自由度系统的自由振动
构成离散模型的元素
构成离散模型的元素有三个，弹性元件、阻尼元件和惯 性元件。
&x&(t) n2x(t) 0
n2
k m
（2-9）
ωn称为系统的无阻尼自然角频率。可以证明（2-9）式具有如 下形式的通解:
x(t) A1 cosnt A2 sin nt
（2-10）
其中A1和A2为积分常数，由系统的初始条件决定，即由初始 位移x(0)和初始速度 x(0) 决定。
2.1 单自由度系统的自由振动
飞行器结构动力学
第2章 单自由度系统的振动
第2章 单自由度系统的振动
2.1 单自由度系统的自由振动 2.2 单自由度系统的强迫振动 2.3 单自由度系统的工程应用
第2章 单自由度系统的振动
2.1 单自由度系统的自由振动
2.1 单自由度系统的自由振动
正如第一章所述，振动系统可分为离散模型和连 续模型两种不同的类型。离散模型具有有限个自由度 ，而连续模型则具有无限个自由度。
2 R
2
2
2
1 cos
d 2 R3( 2 cos )
（c）
2.1 单自由度系统的自由振动
Ic&& Mc
（a）
当壳体作小幅振动时，即θ很小时，引入近似表达式
sinθ≈θ，cosθ≈1 ， 并将（b）、（c）两式代入（a）中，得到
:
2R3 2&& 2gR2
（d）
整理可得:
&&
R
g
在特殊情况 ζ =1,方程（2-20）有一个重根，s1=s2=－ωn ， 不难证明在这种情况下，系统有如下形式的解:
x(t) ( A1 tA2 )ent
（2-23）
这也代表一指数衰减的响应， ζ =1的情况称为临界阻尼。
由表达式 c / 2mn 可见当 ζ =1时，临界粘性阻尼 ccr 2mn 2 km
A1 exp 2 1 nt A2 exp 2 1 nt A1 exp( 2 1nt) A2 exp( 2 1nt) ent
（2-22）
2.1 单自由度系统的自由振动
大阻尼(ζ ＞1)
x(t) A1es1t A2es2t
A1 exp 2 1 nt A2 exp 2 1 nt A1 exp( 2 1nt) A2 exp( 2 1nt) ent
(2-20)
2.1 单自由度系统的自由振动
s1
s2
2 1 n
当ζ =0时，得到两个复根±iωn ，此时系 统就是简谐振子。
（2-21）
当 0 ＜ζ ＜ 1时， 为复共轭，在图中对称 地位于实轴的两侧，并位于半径为 ωn的 圆上。
当 ζ =1时，特征方程的根 s1 、s2为－ωn ，落在实轴上。
（2-8）
（2-8）式是一个二阶常系数常微分方程。常数 m ，c， k是 描述系统的系统参数。方程（2-8）的求解在振动理论中是十分 重要的。
2.1 单自由度系统的自由振动
2.1.2 无阻尼自由振动 运动方程
本节首先讨论单自由度系统的自由振动。在自由振动情况 下，F (t) 恒等于零。在（2-8）式中令，F (t) =0 ，c = 0 则有:
2.1 单自由度系统的自由振动
阻尼元件
阻尼元件通常称为阻尼器，一般也假设为无质量。
常见的阻尼模型三种形式:
由物体在粘性流体中运动时受到的阻力所致的粘滞阻尼。
由相邻构件间发生相对运动所致的干摩擦（库仑）阻尼。
由材料变形时材料内部各平面间产生相对滑移或滑动引起
内摩擦所致的滞后阻尼。 粘滞阻尼是一种最常见的阻尼模型。
Fd
x1
x2
Fd
c
Fd
斜率 c x2 x1
0
(a)
(b)
图2-2阻尼模型
2.1 单自由度系统的自由振动
在本书中，如无特别说明，所说的阻尼均指粘
滞阻尼，其阻尼力Fd 与阻尼器两端的相对速度成正 比，如图2-2（b），比例系数 c 称为粘性阻尼系数
，它的单位为牛顿-秒/米（N-s/m），阻尼器通常用
s1
s2
2 1 n
（2-21）
很明显，s1、s2 的性质取决于 阻尼因子ζ ，其相互关系可以从s 平面，即复平面上得到反映（如 图2-7）。
图2-7 s1 、s2 的复平面表示
2.1 单自由度系统的自由振动
参数ζ对系统响应的影响。
s2 2ns n2 0
（2-20）式的根 s1 、s2 作为 阻尼因子ζ 的函数在复平面 上描绘出一条曲线，图中可 直观地了解参数ζ对系统运动 行为的影响，或者说对系统 响应的影响。
c 表示。
Fd
x1
x2
Fd
c
Fd
斜率 c x2 x1
0
(a)
(b)
图2-2阻尼模型
2.1 单自由度系统的自由振动
惯性元件 惯性元件就是离散系统的质量元件，惯性力Fm与
质量元件的加速度 x(t) 成正比，如图2-3所示，比例
系数就是质量m 。m 的单位为千克（kg ）。
图2-3 质量模型
2.1 单自由度系统的自由振动
2.1 单自由度系统的自由振动
用 F(t)表示作用于系统上的外力，用x(t) 表示质量m 相对 于平衡位置的位移，可得:
F (t) Fs (t) Fd (t) m&x&(t)
（2 -7）
由于Fs (t) kx(t)， Fd (t) cx(t) 方程（2-7）变为:
m&x&(t) cx&(t) kx(t) F(t)
2.1 单自由度系统的自由振动
小阻尼（ 0 ＜ζ ＜ 1）
0 ＜ζ ＜ 1时，解（2-22）可改写成如下形式：
x(t)
弹性元件
弹性元件最典型的例子是弹簧，通常假定弹簧为无质量元 件。如图2-1(a)所示，弹簧力Fs 与其相对变形 x2-x1的典型函数关 系如下图2-1（b）所示。
图2-1 弹簧模型
2.1 单自由度系统的自由振动
图2-1 弹簧模型
当x2-x1 比较小时，可以认为弹簧力与弹簧变形量 成正比，比例系数为图中曲线的斜率k，如果弹簧工作 于弹簧力与其相对变形成正比的范围内，则称弹簧为 线性弹簧，常数称为弹簧常数k ，或弹簧刚度。一般 用k 表示。单位为（N/m）。
当 ζ ＞1时，特征方程的根始终在实轴上, 且随着 ζ →∞， s1 →0、s2 →∞
2.1 单自由度系统的自由振动
系统的通解
x(t) Aest
（2-19）
s1
s2
2 1 n
（2-21）
将特征方程的根（2-21）代入（2-19）式，可得系统的通解 : x(t) A1es1t A2es2t
若引入
A1 Acos
A2 Asin
可得: A A12 A22
tan1 A2
A1
蒋(2-11)代入(2-10)可导得:
（2-11） （2-12）
x(t) Acosnt
（2-13）
A和φ也是积分常数，同样由x(0) 和 x(0) 决定。
方程（2-13）表明系统以为ωn 频率的简谐振动，这 样的系统又称为简谐振荡器。（2-13）式描述的是最 简单的一类振动。
fn
n 2
1 T
（2-15）
பைடு நூலகம்.1 单自由度系统的自由振动
积分常数A和φ 的表达式
下面给出用初始条件表示的积分常数A和φ 的表达 式。引入符号 x0 x(0) ， v0 x(0)，利用方程（2-10）
不难证明简谐振子对初始条件 x0和v0 的响应为
x(t)
x0
cos nt
v0
n
sin
nt
（2-16）