概率论与数理统计试卷2008

河海大学2008-2009学年第一学期

《概率论与数理统计》试卷(A 卷)

（供2007级工科类各专业使用）2008年12月

专业姓名学号成绩

一、（每空2分，本题满分18分）填空题

1． 设某人射击的命中率为0.5，则他射击10次至少命中2次的概率为； 2． 设X 为一随机变量，其分布律为 ，则=

q ；

X 的分布函数为

。

3．已知A 、B 两个事件满足条件)()(B A P AB P =，且3.0)(=A P ，则

=

)(B P 。

4． 设随机变量X 服从参数为1的泊松（Poisson ）分布，则=

=)}({2X E X P 。

5．设总体),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是取自X 的一个简单随机样本，X 与2S 分别为样本均值与样本方差，检验假设00:μ=μH ，01:μ>μH ，其中0μ为已知常数，则检验统计量为

，在显著性检验水平为α时的拒绝域为

。

6．设101,,X X 是来自正态总体),(2σμN 的一个简单随机样本，且

)(6

16211X X

X Y +++=

，)(4110987

2X X X X

Y +++=

，∑=-=

10

7

2

22

)

(3

1

i i

Y X S

令S

Y Y k Z 2

1-=，则当=k 时，Z 服从t 分布，自由度为。

X

22136.0q q -P

1

01-

二、（本题满分12分）某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8，0.7和0.9。已知：如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.2；如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合格率为0.6；如果三件都不是优质品，则仪器的不合格率为0.9。

（1）求仪器的不合格率；

（2）如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大。

三、（本题满分12分）已知随机变量X 的密度函数为

⎩

⎨

⎧<<+-=其它

,010),

144()(2x x x c x f

求（1）常数c ；（2）X 的分布函数)(x F ；（3）}5.01.0|2.0{≤<≤X X P 。

四、（本题满分10分）设2)(=X E ，4)(=Y E ，4)(=X D ，9)(=Y D ，5.0=ρXY ，求 （1）32322-+-=Y XY X U 的数学期望； （2）53+-=Y X V 的方差。

五、（本题满分18分）设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为：

⎩⎨

⎧-<<<<=其它

,

0)

1(20,10,

1),(x y x y x f

求：

（1）关于X 和Y 的边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ； （2）)(X E 和)(X D ；

（3）条件概率密度函数)|(|y x f Y X ； （4）Z =X +Y 的概率密度函数)(z f Z 。

六、（本题满分16分）设总体X 的概率密度函数为

⎩

⎨

⎧<<+θ=θ其它

,010,

)1()(x x x f

其中1->θ

为未知参数，n

X

X X ,,,21 为来自该总体的一个简单随机样本。

（1）求θ的矩估计量M

θˆ； （2）求θ的极大似然估计量MLE

θˆ； （3）若给出来自该总体的一个样本1-e ,2-e ,2-e ,1-e ,3-e ,3-e ,2-e ,2-e ，求概率

}2.0{

七、（本题满分14分）水泥厂用自动包装机包装水泥，每袋额定重量为50公斤，某日开工后随机抽查了9袋，称得重量如下（单位：公斤）：

49.6 49.3 50.1 50.0 49.2 49.9 49.8 51.0 50.2

设每袋重量服从正态分布),(2σμN 。 （1）试问该包装机工作是否正常?)05.0(=α

（2）若已知该天包装机包装的水泥重量的方差为3.02=σ，求水泥平均重量μ的置信度为95%的置信区间。

（已知：;5362.0,9.49==s x 283.11.0=z ，645.105.0=z ，960.1025.0=z ；3968.1)8(1.0=t ，3830.1)9(1.0=t ，3722.1)10(1.0=t ，8695.1)8(05.0=t ，8331.1)9(05.0=t ，8125.1)10(05.0=t ，3060.2)8(025.0=t ，2622.2)9(025.0=t ，2280.2)10(05.0=t ）

2008-2009学年第一学期《概率论与数理统计》（工科）参考解答

A 卷

一．1．0.990234或9

105.055.01⨯--；2．0.2；⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧≤<≤<≤--<=x

x x x x F 111096.00136.010)(；3．0.7；4．

e

21；

5．n

S X t /

μ-=

，)1(-≥n t t α；6．

5

12，3。

二.设B ----“仪器不合格”,i A ----“仪器上有i 个部件不是优质品”,3,2,1,0=i ,显然3210,,,A A A A 构成样本空间的一个完备事件组,且0)|(0=A B P ,2.0)|(1=A B P ,6.0)|(2=A B P ,9.0)|(3=A B P ,

504.09.07.08.0)(0=⨯⨯=A P ,398.01.07.08.09.03.08.09.07.02.0)(1=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=A P , 006

.01.03.02.0)(3=⨯⨯=A P ,092.0)()()(1)(3102=---=A P A P A P A P

(1)由全概率公式有:1402

.0)|()()(3

==∑=i i i A B P A P B P

(2)

由

贝

叶

斯

公

式

有:0)|(0=B A P ,1402

796)

()

|()()|(111==

B P A B P A P B A P ,1402

552)

()

|()()|(222=

=

B P A B P A P B A P ,

1402

54)

()

|()()|(333=

=

B P A B P A P B A P , 从计算结果可知,一台不合格仪器中有一个部件不是优质品的

概率最大. 三.(1)由1)(=⎰

+∞∞

-dx x f ,又=

⎰

+∞

∞

-dx x f )(3

)144(1

2

c dx x x

c =

+-⎰, 所以3=c ;

(2)当0≤x 时, )(x F =0; 当10≤

=

∞

-x

x

dx x x

dx x f 02

)144(3)(x x x

3642

3

+-=,

当1>x 时, )(x F =1, 所以X 的分布函数为)(x F ⎪⎩

⎪⎨⎧

>≤<+-≤=1

,110,

3640,02

3x x x x x x . (3)⎰=

≤<=≤<≤2

.01

.0)(}2.01.0{}5.01.0,2.0{dx x f X P X X P ⎰=

+-=

2

.01.02

3

)24(dx x x

x

0.148

⎰=

≤<5

.01

.0)(}5.01.0{dx x f X P ⎰=

+-=

5

.01.02

3

)24(dx x x

x

0.256, 所以

}5.01.0|2.0{≤<≤X X P 256

.0148.0}

5.01.0{}

5.01.0,2.0{=

≤<≤<≤=

X P X X P =0.5781.