运筹学 多目标规划

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项目 投资 利润 废物 劳动 力
1 2.4 0.4 0.3 0.6
2 5.2 1 2 1.1
3 11 3 3 2
4 6.2 2 3 2.8
5 17 4 3 1.5
6 21 5 5 2.6
7 3.5 0.7 1 0.7
8 6.1 1.5 0.5 1.5
9 4.8 1.2 1.4 1
12
∑ d i xi i =1
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模 型
max ∑ bi xi
i =1 12 12
max ∑ d i xi
i =1
⎧ 12 ⎪∑ a i xi ≤ 80 ⎪ i =1 ⎪ 12 s.t.⎨∑ ci xi ≤ 20 ⎪ i =1 ⎪ x i = 0,1, i = 1,2,...,12 ⎪ ⎩
j =1 p
h( F ) = ∑ λ j f j
j =1
p
min h( F )
x∈S
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最小最大法
以最坏的目标函数值为评价函数值 对给定的 可行解求 最坏的目 标函数值 求评价函 数最优
h( F ( x)) = max f j ( x )
j=1,..., p
min h( F )
min f1 ( x)
返回
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目标规划
问题 模型 求解方法 应用
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问题
彩虹集团是一家集生产与外贸于一体的大型公司，它在上海和深圳都有自己 的生产和销售机构拟在下一年度招聘三个专业的职工170人。具体招聘计划 见下表： 专业 人员 城市 生产管理 20 上海 25 深圳 营销管理 30 上海 20 深圳 财务管理 40 上海 35 深圳
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求解有效解的方法
理想点法 平方和加权法 虚拟目标法 线性加权和法 最小最大法 乘除法 优先级法
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理想点法
以单目标最优值为理想值使函数与理想值的差的平方和最小
求理想值 写出评价 函数 求评价函 数最优
f j* = min f j ( x), j = 1,2,..., p
在意愿城市工作的人数约束夜市不等式约束要求不足变量最 小，对应约束变为
x11 + x12 + x 21 + x 22 + x 33 + x34 + x 43 + x 44 + x51 + x 52 + x 62 + d 8− − d 8+ ≥ 136
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动态规划
min d 1− + d 1+
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绝对最优解不一定存在 不同的目标在不同的可行解上达到最优
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有效解
若对于某个可行解x不存在可行解y使得
F ( y ) ≤ F ( x)
则称可行解x为有效解
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弱有效解
若对于某个可行解x不存在可行解y使得 F ( y ) < F ( x) 则称可行解x为弱有效解 弱有效解包含有效解
意愿城市 上海 上海 深圳 深圳 上海 深圳
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现需要安排人选，希望： 集团按计划录用满在各城市适合从事该专业的职员 80%以上人员能够从事志向专业 80%以上的人员能去意愿城市
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分 析
本安排需要确定不同类型的人在不同城市从事不同工作的人数
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解决思路
首先给每一个主观目标两个变量，分别表示其超出量和不足量，分别记 为d+、d-，要求两者不同时大于零。 然后根据目标的性质对他们提出要求： 如果目标是某个量不低于某个值，目标满足时不足量为0，在不能满足 目标时要求不足量越小越好。 如果目标是某个量不超过某个值，目标满足时超出量为0，在不能满足 目标时要求超出量越小越好。 如果目标是某个量等于某个值，目标满足时超出量和不足量都为0，在 不能满足目标时要求超出量和不足量越小越好。 这样就得到了一个关于目标超出量和不足量的多目标规划我们称为目标 规划，也称为目的规划。
应聘人员经严格审核，初选了180人。按适合从事专业，本 人志向专业和希望工作的地点共分为6大类。
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类别 1 2 3 4 5 6
人数 25 35 20 40 34 26
适合专业 生产、营销 营销、财务 生产、财务 生产、财务 营销、财务 财务
意愿专业 生产 营销 生产 财务 财务 财务
务的人数
26
x11 第二类人分别在上海从 x12 事营销、财务和在深圳 x13 从事营销、财务的人数 x14 x11 x12 第三类人分别在上海从 x13 事生产、财务和在深圳 x14 从事生产、财务的人数
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显然要求每类聘用人数之和不超过该类总人数，记每类总人数为
a i , i = 1,...,6 则有
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特征
•约束是线性整数约束； •目标有两个，均为线性函数； •都为求最大
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有效解
多目标的难点 有效解 弱有效解
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多目标的难点
绝对最优解—使每个目标都达到最优的可行解
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动态规划
x∈S
h( F ) =
∑ ( f j − f j* ) 2
j =1
p
min h( F ) = min ∑ ( f j − f j* ) 2
x∈S x∈S j =1
p
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平方和加权法
使函数与某一下界的差的平方和最小 确定下界 写出评价 函数 求评价函 数最优
f j* ≤ min f j ( x), j = 1,2,..., p
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从事志向专业的人数满足
x11 + x13 + x 21 + x 23 + x 31 + x33 + x 42 + x 44 + x52 + x 54 + x 61 + x 62 ≥ 136
在意愿城市工作的人数满足
x11 + x12 + x 21 + x 22 + x33 + x 34 + x 43 + x 44 + x 51 + x52 + x 62 ≥ 136
x∈S
h( F ) = ∑ ( f j − f j* ) 2
j =1
p
min h( F ) = min ∑ ( f j − f j* ) 2
x∈S x∈S j =1
p
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虚拟目标法
使函数与虚拟目标的差的平方和最小 确定下界 写出评价 函数 求评价函 数最优
f j* ≤ min f j ( x), f j* ≠ 0, j = 1,2,..., p
x∈S
h( F ) =
∑(
j =1
p
≤
f j − f j* 2 ) f j*
min h( F )
x∈S
返回
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线性加权平均法
以目标函数的加权平均值为评价函数 确定权系 数 写出评价 函数 求评价函 数最优
1 ≥ λ j ≥ 0, j = 1,2,..., p, ∑ λ j = 1
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求解
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结果
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备注
没有可行的安排，因而必须放松约束。 约束分为客观约束（刚性约束）和主观约束（弹性约束） 客观约束不可放松 主观约束是目标要求，当不能实现时可以降低要求 当有多个主观约束时需要确定放松哪一个放松多少可以有可行方案，同 时放松的程度越少越好。或者说确定这些主观目标的实现程度。
∑ xij ≤ a i , i = 1,...,6
j =1
4
在上海和深圳从事生产、营销和财务的人员等于需求人数，即
x11 + x31 + x 41 = 20 x12 + x 21 + x51 = 30
x13 + x33 + x 43 = 25 x14 + x 23 + x53 = 20
x 22 + x32 + x 42 + x52 + x 61 = 40 x 24 + x34 + x 44 + x54 + x 62 = 35
10 15 4 2 2
11 8.5 2.3 2 1
12 30 6 4 1.2
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问题分析
是否投资 总投资额 总利润 废物排放总量 劳动力使用总量
xi
12
投资 x i = 1 i = 1,2,...,12
∑ ai xi
i =1
∑ bi xi i =1
∑ ci xi
i =1 12
分别要求下式达到最小
− + − + d2 + d2 d3 + d3 − + d4 + d4 − + d5 + d5 − + d6 + d6
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志向专业约束为不等式约束，要求不足变量最小，对应约束变为
− + x11 + x13 + x 21 + x 23 + x31 + x 33 + x 42 + x 44 + x52 + x54 + x 61 + x 62 + d 7 − d 7 ≥ 136
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来自百度文库实例
上述问题中的刚性约束是每类聘用总人数的限制，其他约束都是弹性约束。 需求约束为等式约束，如上海对生产人员的需求约束为
x11 + x31 + x 41 = 20
引入超出和不足变量后变为
x11 + x31 + x 41 + d 1− − d1+ = 20
由于是等式要求，所以要求超出量和不足量都尽量少，等价于
x∈S
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乘除法
适用既有求最大又有求最小的多目标问题 写出评价 函数
∏ fj
h( F ) =
j =1 p j = s +1 s
min f j ( x), j = 1,2,..., s
x∈S
∏ fj
max f j ( x), j = s + 1,..., p
x∈S
求评价函 数最优
min d 1− + d 1+ ⎧ x11 + x31 + x 41 + d 1− − d 1+ = 20 ⎪ s.t.⎨ − + ⎪d 1 , d 1 ≥ 0 ⎩
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其他五个需求约束类似可得
− + x12 + x 21 + x51 + d 2 − d 2 = 30 − + x 22 + x32 + x 42 + x52 + x 61 + d 3 − d 3 = 40 − + x13 + x33 + x 43 + d 4 − d 4 = 25 − + x14 + x 23 + x53 + d 5 − d 5 = 20 − + x 24 + x34 + x 44 + x54 + x 62 + d 6 − d 6 = 35
min h( F )
x∈S
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优先级法
适用于目标有明显的轻重之分的问题 确定优先级 求第一级单 目标最优 以第一级单 目标等于最优 值为约束求第 二级目标最优
f j , j = 1,2,..., p
f1* = min f1 ( x)
x∈S
x∈S f1 ( x ) = f1*
x11
x12
x13
x14
第一类人分别在上海从 事生产、营销和在深圳 从事生产、营销的人数
x11 x12 第四类人分别在上海从 x13 事生产、财务和在深圳 从事生产、财务的人数 x14 x11 x12 第五类人分别在上海从 x13 事营销、财务和在深圳 x14 从事营销、财务的人数 x11 第六类人分别在上海从 x12 事财务和在深圳从事财
− + min d 2 + d 2 − + min d 3 + d 3
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目 标 规 划 模 型
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多目标规划
马建华 博士 副教授
管理科学与工程学院 majh@sdie.edu.cn
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多目标规划
多目标决策问题 多目标规划 目的规划 层次分析法
2010-4-24
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多目标决策问题
应用实例 问题模型 问题特征
返回
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多目标规划问题
某市计划发展委员会安排下一个年度的重大项目规划，计划一年安排总投 资不超过8亿元，经过初期筛选选中12项可供考虑，每个项目需要投资的 数量（单位千万元）、建成后的年利润（单位千万元）、每年废物排放量 （单位万吨）和租用的劳动力（单位千人）如下表所示，为了保护环境该 市签订了环保责任书，承诺新增废物量不超过20万吨，从经济的角度要 求利润尽可能的高，从社会发展的角度讲要求新增就业岗位尽量多，问应 如何选择投资项目？