从一道高考试题谈函数的凹凸性

几何方法和函数凹凸性等．
因为在 高 中 数 学 教 学 中，对 二 阶 导 数 没 有 教
学要求，所以函 数 的 凹 凸 性 这 一 概 念 在 高 中 数 学
的课本中还未曾被 提 及，但 是 利 用 函 数 凹 凸 性 解
决某些函数类问题和不等式问题的案例已经在全
国各地的高考中频 繁 出 现，并 且 有 些 题 目 若 利 用
（３ ）指数函数狔＝犪狓（犪＞ ０ ，且犪≠ １ ）为下凸 函数．
（４）对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓（犪＞ ０ ，且犪≠ １ ）：０ ＜ 犪 ＜ １ 时为下凸函数，犪 ＞ １ 时为上凸函数．
（５ ）“双勾”函数狔＝犪狓 ＋狓犫 （犪＞ ０ ，犫＞ ０）：
狓 ∈ （－∞，０）时为上凸函数，狓 ∈ （０ ，＋∞）时为 下凸函数．
的狓１ ，狓２
都有如下不等式犳（狓１
＋狓２ ２
）≥
１ ２
［犳（狓１ ）
＋犳（狓２ ）］② 成立，则称犳（狓）是上凸函数（图 ２），当 且仅当狓１ ＝ 狓２ 时取等号．（注：国内外数学界对函 数凹凸性的定义尚不一致）
图 １ 图 ２
从几何意义来看，不等式 ① 表示定义域中任意 两点狓１ ，狓２ 的中点 犕 所对应的曲线上的点犙位于弦 上对应点犘 的下面．不等式 ② 则有相反的意义．
个基本初等函数，要 求 考 生 根 据 函 数 的 图 象 研 究
函数的性质 ——— 凹凸性．对试题中的不等关系式
既可以利用函数的 图 象 直 观 地 认 识，也 可 以 通 过
代数式的不等关系 来 理 解．考 查 的 重 点 是 结 合 函
数的图象准确理解凹凸的含义．
例 ３ （２００６ 年重庆 卷）如 图 １ ，单 位 圆 中 弧 犃犅 的长为狓，犳（狓）表示弧犃犅 与弦犃犅 所围成的 弓形 面 积 的 ２ 倍，则 函 数 狔 ＝犳（狓）的 图 象 是 （ ）．
），且
狓１
≠ 狓２ ，证
（ ） 明：１ ２
［犳（狓１
）＋犳（狓２
）］＞ 犳
狓１
＋狓２ ２
．
思 路 １ 根 据 不 等 式 的 意 义，只 要 证 明
（ ） １
２
［犳（狓１
）＋犳（狓２ ）］－犳
狓１
＋狓２ ２
＞ ０ 即可．
（ ） 证明
１ ２
［犳（狓１ ）＋犳（狓２ ）］－犳 狓１
＋狓２ ２
＝
１ ２
函 数 的 凹 凸 性 解 题 ，则 可 收 到 事 半 功 倍 的 效 果 ．
２ 凹凸函数的定义 如果函数犳（狓）对其定义域中任意的狓１ ，狓２ 都
有如下 不 等 式 犳（狓１
＋狓２ ２
）≤
１ ２
［犳（狓１
）＋犳（狓２
）］
① 成立，则称犳（狓）是下凸函数（图 １），当且仅当狓１ ＝ 狓２ 时取等号；如果函数犳（狓）对其定义域中任意
本题考 查 的 知 识 点 是 函 数 的 图 象 与 图 象 变
化 ，其 中 根 据 已 知 计 算 出 函 数 的 解 析 式 ，从 而 分 析
函数犳（狓）＝狓－ ｓｉｎ 狓，利用凹凸函数的性质及图
象表象是解答本题的关键．
４ 高中数学中常见函数的凹凸性 以下列出的中数学中常见函数的凹凸性：
（１ ）反比例函数狔＝狓犽 （犽≠ ０）：当犽＞ ０ 且狓
（ｔａｎ
狓１
＋
ｔａｎ
狓２ ） －
ｔａｎ
狓１ ＋狓２ ２
＝
（ ） １
２
ｓｉｎ 狓１ ｃｏｓ 狓１
＋
ｓｉｎ ｃｏｓ
狓２ 狓２
－
ｓｉｎ（狓１ ＋狓２ ） １ ＋ ｃｏｓ（狓１ ＋狓２ ）
＝
［ ］ １
２
ｓｉｎ（狓１
＋狓２
）
ｃｏｓ
１ 狓１ ｃｏｓ
狓２
－１
２ ＋ ｃｏｓ（狓１
＋狓２ ）
［ ］ ＝
ｓｉｎ（狓１ ＋狓２ ） ２ｃｏｓ狓１ ｃｏｓ狓２
＋ ｃｏｓ（狓１ ＋狓２ ）的大小，不等式即可得证（证略）．
试题考 查 的 数 学 知 识 主 要 包 括：三 角 函 数 的
图 象 和 性 质 ，同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 式 ，两 角 和
正弦公式、积化 和 差 公 式 与 半 角 正 切 的 有 理 表 达
式 ，不 等 式 的 意 义 和 基 本 性 质 等 ．覆 盖 的 知 识 点 比
事实上，有些涉及对数函 数、指 数函数以 及一
些三角不等式的计算或证明，往 往看 起来 很复 杂，
甚 至 无 从 下 手 ，但 如 果 利 用 凹 凸 函 数 的 性 质 给 予 计
算 或 证 明 ，则 会 起 到 简 捷 明 了 、事 半 功 倍 的 效 果 ．
较 多 ，涉 及 了 三 角 函 数 的 大 多 数 基 础 知 识 ．试 题 设
计在三角函数和不 等 式 知 识 的 交 汇 点 处，匠 心 独
具，使学 生 感 到 既 熟 悉 又 陌 生，是 一 道 构 思 巧 妙、
值得称道的好题．
实际上，此题为 １ ９９４ 年全国高考数学（理科）
第 ２２ 题，该 题 还 有 多 种 证 法，如 分 析 法、换 元 法、
２０１４ 年第 ４ 期 中学数学月刊 · ５５ ·
从一道高考试题谈函数的凹凸性
徐解清 （江苏省苏州市相城区教研室 ２１ ５ １ ３ １ ）
１ 引例 近日做到这样一题：已知函数犳（狓）＝ｔａｎ 狓，
狓
∈
（０
，π ２
），若
狓１
，狓２
∈
（０
，π ２
１
－
１
２ｃｏｓ 狓１ ｃｏｓ 狓２ ＋ ｃｏｓ（狓１ ＋狓２
）
＝
ｓｉｎ（狓１ ２ ｃｏｓ狓１
＋狓２ ）·１ ｃｏｓ 狓２ １
－ ｃｏｓ（狓１ ＋ ｃｏｓ（狓１
－狓２ ＋狓２
） ）．
因 为 狓１ ，狓２
∈
（０
，π ），且 ２
狓１
≠ 狓２ ，所 以
ｓｉｎ（狓１ ＋ 狓２ ） ＞ ０ ，１ － ｃｏｓ（狓１ － 狓２ ） ＞ ０ ，
（ ） １
２
［犳（狓１
）＋犳（狓２
）］＞ 犳
狓１
＋狓２ ２
．
运用了证明不等式的基本方法 ——— 比较法．
证明能不能深入下 去，关 键 在 于 能 否 根 据 题 设 条
件 正 确 地 选 择 公 式 ，进 行 三 角 恒 等 变 形 ．
思路
２
本题要证
１ ２
（ｔａｎ 狓１
＋ ｔａｎ
狓２ ）＞
ｔａｎ 狓１ ＋狓２ ，左 边 运 用 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 ２
象．注意到对任意狓１ ，狓２ ∈犐，且狓１ ＜狓２ ，当犳（狓）
（ ） 总满
足
犳
狓１
＋狓２ ２
＞
犳（狓１
）＋犳（狓２ ２
）时
，函
数
犳（狓）在区间犐 上的图象 是 上 凸 的，由 此 否 定狔＝ ２狓 ，狔＝狓２ ，狔＝ｃｏｓ２狓，应选 Ｂ．
本题主 要 考 查 函 数 的 凹 凸 性，试 题 给 出 了 四
分析
扇形
犗犃犅
的
面
积
为
狓２π·π
＝
狓 ２
，
△犃犅犗
的面积为
ｓｉｎ 狓，所 以 弓 形 面 积 ２
为狓 ２
－
图１
ｓｉｎ ２
狓，则犳（狓）＝狓－
ｓｉｎ
狓．因
为狔＝ｓｉｎ
狓，当狓
∈
（０ ，π）时为上凸函数，当狓 ∈ （π，２π）时为下凸函 数，所以犳（狓）＝狓 － ｓｉｎ 狓，当狓 ∈ （０ ，π）时为下 凸函数，当狓 ∈ （π，２π）时为上凸函数．观察四个 选项，只有 Ｄ 符合．
利用上 述 关 系，不 仅 可 以 深 刻 地 研 究 函 数 的 有 关 性 质 ，较 为 准 确 地 绘 制 函 数 的 图 象 ，而 且 可 以 为许多问题的求解 带 来 积 极 的 启 迪 作 用，对 优 化 学生思维的品质十分有益．
· ５６ · 中学数学月刊 ２０１４ 年第 ４ 期
３ 典例分析
例 １ （２００５ 年北京卷）设函数犳（狓）＝２狓 ，对
于任意的狓１ ，狓２ （狓１ ≠狓２ ），有下列命 题：① 犳（狓１
＋ 狓２ ）＝ 犳（狓１ ）犳（狓２ ）；② 犳（狓１狓２ ）＝ 犳（狓１ ）＋
（ ） 犳（狓２
）；③
犳（狓１ ）－犳（狓２ 狓１ －狓２
） ＞
０ ；④ 犳
狓１
） ＞
０ ；若 狓１
＜ 狓２ ，则
犳（狓１
）＜ 犳（狓２
），则犳（狓１ ）－犳（狓２ 狓１ －狓２
） ＞
０ ，故
③
正
确； 因 为 犳（狓） ＝ ２狓 是 下 凸 函 数， 所 以
（ ） 犳
狓１
＋狓２ ２
＜
犳（狓１
）＋犳（狓２ ２
），故
④
正 确．本 题
根据指数的运算性质和指数函数的单调性以及凹
凸性对 ①②③④ 进行逐一进行判定即可．
（６ ）三角函数狔＝ ｓｉｎ狓：狓 ∈ （０，π）时为上凸 函数，狓 ∈ （π，２π）时 为 下 凸 函 数；三 角 函 数狔＝
ｃｏｓ
狓：狓
∈
（－
π２ ，π２ ）时为上凸函数，狓
∈
（π ２
，３π） ２
时为下凸函数；三角函数狔＝ ｔａｎ狓：狓 ∈ （－ π２ ，０）
时为上凸函数，狓 ∈ （０，π２ ）时为下凸函数．
＋狓２ ２
＜
犳（狓１
）＋犳（狓２ ２
）．其
中
正
确
的
命
题
序
号
是
．
分 析 ２狓１ ·２狓２ ＝２狓１ ＋狓２ ，所以 ① 成立；２狓１ ＋
２狓２ ≠ ２狓１狓２ ，所以 ② 不成立；函数犳（狓）＝２狓 在 犚
上是 单 调 递 增 函 数，若 狓１ ＞ 狓２ ，则 犳（狓１ ）＞
犳（狓２
），则犳（狓１ ）－犳（狓２ 狓１ －狓２
∈ （－ ∞，０）时，为上凸函数；当犽＞ ０ 且狓 ∈ （０ ， ＋ ∞）时，为下凸函数．当犽＜ ０ 且狓 ∈ （－ ∞，０） 时，为下凸函数；当犽＜ ０ 且狓 ∈ （０ ，＋ ∞）时，为 上凸函数．
（２ ）二次函数狔＝犪狓２ ＋犫狓 ＋狓（犪≠ ０）：犪＞ ０ 时为下凸函数，犪 ＜ ０ 时为上凸函数．
式与 两 角 和 的 正 弦 公 式， 化 为 正 余 弦， 得
（ ） １
２
ｓｉｎ 狓１ ｃｏｓ 狓１
＋
ｓｉｎ ｃｏｓ
狓２ 狓２
＝
ｓｉｎ（狓１ ２ｃｏｓ 狓１
＋狓２ ） ｃｏｓ 狓２
，右
边
运
用
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半角正切 的 有 理 表 达 式，得 １ ＋ｓｉｎｃｏ（狓ｓ（１狓＋１ 狓＋２狓）２ ）．两
式的分子相同，只要比较分母 ２ｃｏｓ 狓１ ｃｏｓ 狓２ 与 １
例 ２ （２００５ 年湖北卷）在狔＝２狓 ，狔＝ｌｏｇ２狓，
狔＝狓２ ，狔＝ｃｏｓ ２狓 这四个函数中，当 ０ ＜狓１ ＜ 狓２
（ ） ＜
１
时，犳 狓１
＋狓２ ２
＞
犳（狓１
）＋犳（狓２ ２
）恒
成
立
的
函 数 的 个 数 是 （ ）．
（Ａ）０ （Ｂ）１ （Ｃ）２ （Ｄ）３ 分析 运用数形结合思想，考察各函数的图