多污染源对流_扩散方程的参数识别反问题
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其中α表示正则化参数 ,Ω表示稳定泛函 , 取 L2 [ 0 , l ]空间上的范数 。以下给出 (11) 的正则化迭代法求 解步骤 。
1) 利用算子识别摄动法和线性化技术 , 建立数
值迭代过程为 :
D j +1 = D j +δD j .
(13)
其中初值 D0 取为精确解 D 附近的一个数 , 本问题
φ‖2 +αΩ(δK j ) .
(14)
因δDj 是一微小的扰动量 ,由多元泰勤公式展开得 :
ρ( D j +δD j , x , t) = ρ( D j , x , t) +
于是
kTρi ( D j , x , t) ·δK j + o( ‖δD j ‖) .
F(δK j ) = ‖ρ(δD j , x , t) - φ + kTρi (δD j , x , t) ·δK j ‖2 +αΩ(δK j ) . (15) 若在区间 0 < x < l 有 M 个离散点 x m , ( m = 1 ,2 , …, M) ,取 Ω(δKj ) =δKjT ·δKj ,则
M
∑ F(δK j ) = [ρ( Dj , x m , t′) - φ( x m ) + m =1
n
∑δk
φj
ij
=
δK
T j
·θ后 , 对应于
Dj
+δD j
的方程组
i =1
(1) 的解记为ρ( Dj +δDj , x , t) , 所以δDj 的确定问
题可以转化为δK j = (δK1j δK2j …δKnj ) 的确定问题 ,
而δKj 可由下列目标函数的局部极小值确定 :
F(δK j ) = ‖ρ( D j +δD j , x , t′) -
,因为 D 为常系数 , 故利用中心差商
代替导数 :
5 5x
D百度文库
5ρ 5x
=
D ·ρi- 1 , j
-
2ρi , j
h2
ρ + i+1 , j
+ O ( h2 ) .
(6)
将式 (4) 、(5) 、(6) 代入方程 ( 1) 中 , 则方程 ( 1) 在 ( i ,
j) 点被表示为
ρi , j+1 - ρi , j + O ( k) +
断误差可得 :
ρ h2 i , j+1
+
(2 Dk
-
uk h +
Kk h2 -
h2 )ρi , j +
( uk h - Dk )ρi+1 , j - Dkρi- 1 , j = kh2 f ij .
(8)
由此就得到逼近方程 (1) 的差分方程 ,即可解出方程
的数值解 。
3 正则化迭代法参数反演
对于方程 (1) ,假设函数 v ,ρ1 ( x ,0) ,ρ0 (0 , t) , ρ( l , t) 已知 ,另外如果在一河段上有多个污染源 , 且 污染源的分布和排放的污染物浓度 M1 已确定 , 讨 论 D , K。为了辨识 D , K , 通常要附加一些先验条 件 。如何附加这些条件 , 在理论与实践中都是十分 重要的 ,在理论上 ,这些附加条件的给法应当保证解 的存在性 、唯一性 。在实践中附加条件往往由测量
ρ| x = l = ρ( l , t) . 式中 :δ为狄拉克函数 ; v 为流速 ; D 为扩散系数 ;
K 为污染物的降解率 。当函数ρ1 ( x ,0) ,ρ0 (0 , t) , ρ( l , t) , v , Mi ( i = 1 , 2 , …, p) 已知 , 根据实际断面处
的检测值 ,通过方程 (1) 来确定参数 D , K。那么多污
算子 A ,因此 ,参数识别反问题就是解下列非线性算
子方程
A ( D) = φ( x) .
(11)
式中 : D 为待求的量 ,φ( x) 表示可测量数据构成的
数据空间中的一点 。一般来说 , 算子 A 是非线性
566
太 原 理 工 大 学 学 报 第 39 卷
先对矩形域作均匀网格剖分 :时间步长为 k = T/ m ,空
间步长为 h = l/ n ,易知网域包含 ( n - 1) ×( m - 1) 个
内点。由上面可知方程 (1) 的初始条件为 :
ρ| t = 0 = ρ1 ( x , 0) , 0 ≤ x ≤ l.
(2)
边界条件为 :
ρ| x =0 = ρ0 (0 , t) , 0 ≤ t ≤ T ;
后 ,求得一个 n 维实向量
K = ( k1 , k2 , …, kn) T ,
n
∑ 使得函数 D = kφi i 同时满足方程组 (1) 。 i =1
另一方面 , 对于每个给定的 D , 都存在相应于
(1) 的初边值问题的解ρ( D , x , t) 及相应的ρ( x , t) =
φ( x) ,即存在一个从 D 到ρ( x , T) =φ( x) 的非线性
1 问题的提出
考虑一维河道的污染控制问题 。设其长为 L , 其整个河段上散布 p 个时间连续污染源 , 其坐标与 源强分别为 xi , Mi ( kg/ ( m3 ·s) ) , i = 1 , 2 , …, p. 污 染物的断面平均浓度满足一维对流扩散方程 。本课 题着重处理汾河水环境数值模拟研究预测 , 根据汾 河具体实际问题出发 , 汾河沿途有大量的污染源排 放 ,如果逐点计算 , 势必大大增加计算量 , 并浪费时 间 。作者认为可以将含有多个污染源的河段纳为一 个整体进行研究 , 这样可以减少河流分段数目 。另 外由于汾河河段基本为宽深比不大的中小型河道 , 污染物质在排放到水体中后 , 在较短纵向距离的河 段内基本上能在断面内达到均匀混合状态 , 污染物 浓度在断面上横向变化不大 , 可用一维水质数学模 型模拟污染物沿河流纵向的迁移转化规律 。一维含 有污染源的水质数学模型为 :
的 ,而且是不适定的 ,不适定性具体表现为数据空间 中的φ( x) 有微小扰动时 , 其解 D 却有任意大的变
化[9 ,10 ] 。直接求解 (11) 得到的解与真解有时相距甚
远 ,因此为了避免误差太大 ,下面利用正则化迭代法 求解方程 (11) 。可将问题转化为下列非线性泛函极
小值问题 : Jα[ D ] = ‖A ( D) - φ( x) ‖2 +αΩ( D) . (12)
水域的污染情况 ,以达到总体控制的目标 ? 从数学 角度来讲 ,该类问题可以视为反问题 ,即限制某一水 域的污染物浓度值不得大于限定浓度值 ,通过几个 主要断面处的实测值求出控制方程的参数 ,进而求 出研究水域处的污染物浓度做以比较[4 ,5] 。目前国 内外对此问题有一定的研究 ,但并不多 ,本文利用正 则化迭代法求解控制方程的参数 ,求解反问题的过 程中嵌套求解正问题 。
k
u ·ρi+1 , j - ρi , j + O ( h) =
h
D ·ρi- 1 , j
-
2ρi , j
h2
ρ + i+1 , j
+
O ( h2 ) - K ·Ci , j + f i , j .
(7)
q
∑ 式中 , f i, j = Mδi ( x - xi ) . 在 (7) 中忽略局部截 i =1
染源对流2扩散方程的参数识别反问题就是根据这些
已知的分布来确定对流扩散方程参数 ,从而可以求解
出该河段上任意点处的污染物质量浓度ρ( x , t) ,由此
即可看出其是否符合环境保护要求的理想分布 。
2 正问题求解
下面利用差分法[6] 在矩形区域 Ω= { 0 < x < l ,
0 < t < T} 上求解一维多污染源对流扩散方程 (1) 。首
多污染源对流2扩散方程的参数识别反问题
闵 涛1 ,马晓伟1 ,冯民权1 ,高宗强2
(11 西安理工大学 ,陕西 西安 710054 ; 21 山西省水利厅 ,山西 太原 030006)
摘 要 :研究了多污染源对流2扩散方程参数识别的一种新方法. 该方法把参数反问题转化为 优化问题 ,利用正则化迭代法求解控制方程的参数 。实例模拟结果表明 ,该方法具有精度高 、收敛 速度快且易于编程实现和计算时间少的特点 。数值模拟结果与所研究汾河河段的实际水质监测结 果基本吻合 ,表明该方法具有一定的合理性和实用性 。
令
θ = (φ1 ,φ2 , …,φn) T ,
K = ( k1 , k2 , …, kn) T ∈ Rn ,
记
D j
=
KTθ,
D
=
lim D
n →∞
j
= lim KT ·θ. n →∞
n
∑ 用有限项逼近 D ,得 D = kφi i , n的大小取决于逼 i =1
近精度的要求 。因此 , 求 D 的问题就是在确定基
第 39 卷 第 6 期 2008 年 11 月
3
太原理工大学学报
J OU RNAL O F TA IYUAN UN IV ERSIT Y O F T EC HNOLO GY
文章编号 :100729432 (2008) 0620564204
Vol. 39 No . 6 Nov. 2008
给出 ,因此应当考虑这些量的可观测性与易观测性 。
本文选定附加条件为
ρ( x , t) = φ( x) , 0 < x < l.
(9)
以空间ρ[0 , l ]作为参数 D , K 的解空间 ,取
ρ[0 , l ]的一组基φ1 ,φ2 ,则对于 D 参数有
n
∑ D =
kφi i .
(10)
i =1
ρ| x = l = ρ( l , t) , 0 ≤ t ≤ T.
(3)
对于方程 (1)
,
5ρ 5x
与
ρC 5t
由向前差分得到
,
具体可表
示为 :
5ρ 5t
=
ρ - i , j +1
k
ρi , j
+ O( k) ,
(4)
5ρ 5x
=
ρi+1 , j
h
ρi , j
+ O ( h) .
(5)
对于55x
D
5ρ 5x
中选择 D0 = 01 1 , K0 = 01 1 作为初始猜测值 。δDj
为扰动量 ,由下列非线性最优化问题来确定 :
Jα(δD j ) = ‖A ( D j +δD j ) - φ( x) ‖2 +αΩ(δD j ) .
2) 扰动量δDj 的确定把对应于方程组 (1) 的解
记为ρ( D , x , t) , 对 D 增加一个微小扰动量δD j =
3收稿日期 :2008204203 基金项目 :国家自然科学基金资助项目 (50579061) ;教育部博士点基金资助项目 (20050700003) 作者简介 :闵涛 (1963 - ) ,男 ,陕西西安人 ,教授 ,博士 ,主要从事水环境反问题研究 , ( Tel) 13096913238
第 6 期 闵 涛等 :多污染源对流2扩散方程的参数识别反问题
565
5ρ 5t
+
v
5ρ 5x
=
D
52ρ 5 x2
-
Kρ +
q
∑ Mδi ( x - xi ) ;
i =1
(1)
ρ| t = 0 = ρ1 ( x , 0) ,
ρ| x = 0 = ρ0 (0 , t) ,
关键词 :对流2扩散方程 ;污染源项 ;差分法 ;反问题 ;正则化迭代法 中图分类号 : X832 文献标识码 :A
近年来 ,环境污染的问题越来越受到人们的普 遍重视 ,为了达到合理 、有效 、经济地保护人类环境 的目的 ,一个急待解决的问题是如何科学 、准确地根 据环境容量的要求来确定任意水域的污染情况 ,以 达到总体控制的目标 。实际测量势必耗费大量的人 力 、物力和财力 ,不可取 。因此 ,对于人类赖以生存 的地表水环境系统和地下水环境系统 ,研究可靠准 确的预测方法 ,以使水环境系统能真正受益于可持 续发展的战略目标并真正受到有效的保护 ,具有重 要的学术价值和经济意义[1 ,2 ,3 ] 。近十年来 ,越来越 多的学科领域提出和研究了各自领域中的反问题 , 不少学科领域的权威专家把反问题列为本学科的发 展方向和学术前沿 ,水环境也不例外 。特别值得一 提的是 ,我国学者金忠青 、周志芳的专著《工程水力 学反问题》综述了十几年来反问题在工程水力学方 面的突出成果 ,系统描述了这方面的方法和理论及 实际应用背景 ,是一本理论和实践上都很有价值的 著作 。周孝德教授在反问题的稳定性方面也进行了 专门的研究 ,得出了一些有益的结果 。但是 ,应该承 认反问题作为一个新的研究方向 ,在水环境领域尚 处于起步阶段 ,它涉及诸多领域 ,是带有边缘学科性 质的综合性研究课题 。就其目前发展状况而言 ,其 理论和应用方面还未成熟 。针对污水排放特征 ,水 源污染到处可见 ,如某一河段上有多个排污点 ,那么 如何科学 、准确地根据环境容量的要求来确定任意
1) 利用算子识别摄动法和线性化技术 , 建立数
值迭代过程为 :
D j +1 = D j +δD j .
(13)
其中初值 D0 取为精确解 D 附近的一个数 , 本问题
φ‖2 +αΩ(δK j ) .
(14)
因δDj 是一微小的扰动量 ,由多元泰勤公式展开得 :
ρ( D j +δD j , x , t) = ρ( D j , x , t) +
于是
kTρi ( D j , x , t) ·δK j + o( ‖δD j ‖) .
F(δK j ) = ‖ρ(δD j , x , t) - φ + kTρi (δD j , x , t) ·δK j ‖2 +αΩ(δK j ) . (15) 若在区间 0 < x < l 有 M 个离散点 x m , ( m = 1 ,2 , …, M) ,取 Ω(δKj ) =δKjT ·δKj ,则
M
∑ F(δK j ) = [ρ( Dj , x m , t′) - φ( x m ) + m =1
n
∑δk
φj
ij
=
δK
T j
·θ后 , 对应于
Dj
+δD j
的方程组
i =1
(1) 的解记为ρ( Dj +δDj , x , t) , 所以δDj 的确定问
题可以转化为δK j = (δK1j δK2j …δKnj ) 的确定问题 ,
而δKj 可由下列目标函数的局部极小值确定 :
F(δK j ) = ‖ρ( D j +δD j , x , t′) -
,因为 D 为常系数 , 故利用中心差商
代替导数 :
5 5x
D百度文库
5ρ 5x
=
D ·ρi- 1 , j
-
2ρi , j
h2
ρ + i+1 , j
+ O ( h2 ) .
(6)
将式 (4) 、(5) 、(6) 代入方程 ( 1) 中 , 则方程 ( 1) 在 ( i ,
j) 点被表示为
ρi , j+1 - ρi , j + O ( k) +
断误差可得 :
ρ h2 i , j+1
+
(2 Dk
-
uk h +
Kk h2 -
h2 )ρi , j +
( uk h - Dk )ρi+1 , j - Dkρi- 1 , j = kh2 f ij .
(8)
由此就得到逼近方程 (1) 的差分方程 ,即可解出方程
的数值解 。
3 正则化迭代法参数反演
对于方程 (1) ,假设函数 v ,ρ1 ( x ,0) ,ρ0 (0 , t) , ρ( l , t) 已知 ,另外如果在一河段上有多个污染源 , 且 污染源的分布和排放的污染物浓度 M1 已确定 , 讨 论 D , K。为了辨识 D , K , 通常要附加一些先验条 件 。如何附加这些条件 , 在理论与实践中都是十分 重要的 ,在理论上 ,这些附加条件的给法应当保证解 的存在性 、唯一性 。在实践中附加条件往往由测量
ρ| x = l = ρ( l , t) . 式中 :δ为狄拉克函数 ; v 为流速 ; D 为扩散系数 ;
K 为污染物的降解率 。当函数ρ1 ( x ,0) ,ρ0 (0 , t) , ρ( l , t) , v , Mi ( i = 1 , 2 , …, p) 已知 , 根据实际断面处
的检测值 ,通过方程 (1) 来确定参数 D , K。那么多污
算子 A ,因此 ,参数识别反问题就是解下列非线性算
子方程
A ( D) = φ( x) .
(11)
式中 : D 为待求的量 ,φ( x) 表示可测量数据构成的
数据空间中的一点 。一般来说 , 算子 A 是非线性
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太 原 理 工 大 学 学 报 第 39 卷
先对矩形域作均匀网格剖分 :时间步长为 k = T/ m ,空
间步长为 h = l/ n ,易知网域包含 ( n - 1) ×( m - 1) 个
内点。由上面可知方程 (1) 的初始条件为 :
ρ| t = 0 = ρ1 ( x , 0) , 0 ≤ x ≤ l.
(2)
边界条件为 :
ρ| x =0 = ρ0 (0 , t) , 0 ≤ t ≤ T ;
后 ,求得一个 n 维实向量
K = ( k1 , k2 , …, kn) T ,
n
∑ 使得函数 D = kφi i 同时满足方程组 (1) 。 i =1
另一方面 , 对于每个给定的 D , 都存在相应于
(1) 的初边值问题的解ρ( D , x , t) 及相应的ρ( x , t) =
φ( x) ,即存在一个从 D 到ρ( x , T) =φ( x) 的非线性
1 问题的提出
考虑一维河道的污染控制问题 。设其长为 L , 其整个河段上散布 p 个时间连续污染源 , 其坐标与 源强分别为 xi , Mi ( kg/ ( m3 ·s) ) , i = 1 , 2 , …, p. 污 染物的断面平均浓度满足一维对流扩散方程 。本课 题着重处理汾河水环境数值模拟研究预测 , 根据汾 河具体实际问题出发 , 汾河沿途有大量的污染源排 放 ,如果逐点计算 , 势必大大增加计算量 , 并浪费时 间 。作者认为可以将含有多个污染源的河段纳为一 个整体进行研究 , 这样可以减少河流分段数目 。另 外由于汾河河段基本为宽深比不大的中小型河道 , 污染物质在排放到水体中后 , 在较短纵向距离的河 段内基本上能在断面内达到均匀混合状态 , 污染物 浓度在断面上横向变化不大 , 可用一维水质数学模 型模拟污染物沿河流纵向的迁移转化规律 。一维含 有污染源的水质数学模型为 :
的 ,而且是不适定的 ,不适定性具体表现为数据空间 中的φ( x) 有微小扰动时 , 其解 D 却有任意大的变
化[9 ,10 ] 。直接求解 (11) 得到的解与真解有时相距甚
远 ,因此为了避免误差太大 ,下面利用正则化迭代法 求解方程 (11) 。可将问题转化为下列非线性泛函极
小值问题 : Jα[ D ] = ‖A ( D) - φ( x) ‖2 +αΩ( D) . (12)
水域的污染情况 ,以达到总体控制的目标 ? 从数学 角度来讲 ,该类问题可以视为反问题 ,即限制某一水 域的污染物浓度值不得大于限定浓度值 ,通过几个 主要断面处的实测值求出控制方程的参数 ,进而求 出研究水域处的污染物浓度做以比较[4 ,5] 。目前国 内外对此问题有一定的研究 ,但并不多 ,本文利用正 则化迭代法求解控制方程的参数 ,求解反问题的过 程中嵌套求解正问题 。
k
u ·ρi+1 , j - ρi , j + O ( h) =
h
D ·ρi- 1 , j
-
2ρi , j
h2
ρ + i+1 , j
+
O ( h2 ) - K ·Ci , j + f i , j .
(7)
q
∑ 式中 , f i, j = Mδi ( x - xi ) . 在 (7) 中忽略局部截 i =1
染源对流2扩散方程的参数识别反问题就是根据这些
已知的分布来确定对流扩散方程参数 ,从而可以求解
出该河段上任意点处的污染物质量浓度ρ( x , t) ,由此
即可看出其是否符合环境保护要求的理想分布 。
2 正问题求解
下面利用差分法[6] 在矩形区域 Ω= { 0 < x < l ,
0 < t < T} 上求解一维多污染源对流扩散方程 (1) 。首
多污染源对流2扩散方程的参数识别反问题
闵 涛1 ,马晓伟1 ,冯民权1 ,高宗强2
(11 西安理工大学 ,陕西 西安 710054 ; 21 山西省水利厅 ,山西 太原 030006)
摘 要 :研究了多污染源对流2扩散方程参数识别的一种新方法. 该方法把参数反问题转化为 优化问题 ,利用正则化迭代法求解控制方程的参数 。实例模拟结果表明 ,该方法具有精度高 、收敛 速度快且易于编程实现和计算时间少的特点 。数值模拟结果与所研究汾河河段的实际水质监测结 果基本吻合 ,表明该方法具有一定的合理性和实用性 。
令
θ = (φ1 ,φ2 , …,φn) T ,
K = ( k1 , k2 , …, kn) T ∈ Rn ,
记
D j
=
KTθ,
D
=
lim D
n →∞
j
= lim KT ·θ. n →∞
n
∑ 用有限项逼近 D ,得 D = kφi i , n的大小取决于逼 i =1
近精度的要求 。因此 , 求 D 的问题就是在确定基
第 39 卷 第 6 期 2008 年 11 月
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太原理工大学学报
J OU RNAL O F TA IYUAN UN IV ERSIT Y O F T EC HNOLO GY
文章编号 :100729432 (2008) 0620564204
Vol. 39 No . 6 Nov. 2008
给出 ,因此应当考虑这些量的可观测性与易观测性 。
本文选定附加条件为
ρ( x , t) = φ( x) , 0 < x < l.
(9)
以空间ρ[0 , l ]作为参数 D , K 的解空间 ,取
ρ[0 , l ]的一组基φ1 ,φ2 ,则对于 D 参数有
n
∑ D =
kφi i .
(10)
i =1
ρ| x = l = ρ( l , t) , 0 ≤ t ≤ T.
(3)
对于方程 (1)
,
5ρ 5x
与
ρC 5t
由向前差分得到
,
具体可表
示为 :
5ρ 5t
=
ρ - i , j +1
k
ρi , j
+ O( k) ,
(4)
5ρ 5x
=
ρi+1 , j
h
ρi , j
+ O ( h) .
(5)
对于55x
D
5ρ 5x
中选择 D0 = 01 1 , K0 = 01 1 作为初始猜测值 。δDj
为扰动量 ,由下列非线性最优化问题来确定 :
Jα(δD j ) = ‖A ( D j +δD j ) - φ( x) ‖2 +αΩ(δD j ) .
2) 扰动量δDj 的确定把对应于方程组 (1) 的解
记为ρ( D , x , t) , 对 D 增加一个微小扰动量δD j =
3收稿日期 :2008204203 基金项目 :国家自然科学基金资助项目 (50579061) ;教育部博士点基金资助项目 (20050700003) 作者简介 :闵涛 (1963 - ) ,男 ,陕西西安人 ,教授 ,博士 ,主要从事水环境反问题研究 , ( Tel) 13096913238
第 6 期 闵 涛等 :多污染源对流2扩散方程的参数识别反问题
565
5ρ 5t
+
v
5ρ 5x
=
D
52ρ 5 x2
-
Kρ +
q
∑ Mδi ( x - xi ) ;
i =1
(1)
ρ| t = 0 = ρ1 ( x , 0) ,
ρ| x = 0 = ρ0 (0 , t) ,
关键词 :对流2扩散方程 ;污染源项 ;差分法 ;反问题 ;正则化迭代法 中图分类号 : X832 文献标识码 :A
近年来 ,环境污染的问题越来越受到人们的普 遍重视 ,为了达到合理 、有效 、经济地保护人类环境 的目的 ,一个急待解决的问题是如何科学 、准确地根 据环境容量的要求来确定任意水域的污染情况 ,以 达到总体控制的目标 。实际测量势必耗费大量的人 力 、物力和财力 ,不可取 。因此 ,对于人类赖以生存 的地表水环境系统和地下水环境系统 ,研究可靠准 确的预测方法 ,以使水环境系统能真正受益于可持 续发展的战略目标并真正受到有效的保护 ,具有重 要的学术价值和经济意义[1 ,2 ,3 ] 。近十年来 ,越来越 多的学科领域提出和研究了各自领域中的反问题 , 不少学科领域的权威专家把反问题列为本学科的发 展方向和学术前沿 ,水环境也不例外 。特别值得一 提的是 ,我国学者金忠青 、周志芳的专著《工程水力 学反问题》综述了十几年来反问题在工程水力学方 面的突出成果 ,系统描述了这方面的方法和理论及 实际应用背景 ,是一本理论和实践上都很有价值的 著作 。周孝德教授在反问题的稳定性方面也进行了 专门的研究 ,得出了一些有益的结果 。但是 ,应该承 认反问题作为一个新的研究方向 ,在水环境领域尚 处于起步阶段 ,它涉及诸多领域 ,是带有边缘学科性 质的综合性研究课题 。就其目前发展状况而言 ,其 理论和应用方面还未成熟 。针对污水排放特征 ,水 源污染到处可见 ,如某一河段上有多个排污点 ,那么 如何科学 、准确地根据环境容量的要求来确定任意