黎曼积分和勒贝格积分

n
n
从而
mi ( xi1 xi )
f (x)dx
[ a ,b ]
M i ( xi1 xi )
i 1
i 1
对上式左、右端关于一切分划各取 上、下确界，即得
b
b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
[a,b]
a
a
xi-1 xi
例
Dirichlet函数不Riemann可积 0
(x)

( x),
x [a,b]
E
令A, B为f (x)在[a,b]上的上、下确界，
则Βιβλιοθήκη Baidu一切n有
|
T
(n)
(x)
|
B

A,由控制收敛定理可知
lim
n

[a,b] T
(
n
)
(
x)dx

( x)dx,
[a,b]
引理的证明
lim
n

[a,b] T
(n)
(
x)dx
Lesbesgue积分与Riemann积分的关系的证明
另外mi (xi1 xi ) [xi1,xi ] f (x)dx M i (xi1 xi )
其中M i sup{f (x) : xi1 x xi }, mi inf{ f (x) : xi1 x xi }
n0 (2n 1) 0

2

.
n0 (2n 1)
0, 分割T，使得 ixi i 1
M i sup{f (x) : xi1 x xi} mi inf{ f (x) : xi1 x xi}
i M i mi
0
1
Darboux上、下积分
对[a,b]作分划序列
T
(n)
:
a

x(n) 0
上述过程反之也成立。
2. Lesbesgue积分与Riemann积分的关系 (Lebesgue积分是对Riemann积分的推广)
定理：若f(x)在[a,b]上有界且Riemann可积， 则f(x)在[a,b]上Lebesgue可积，且
b
(L) f (x)dx (R) f (x)dx
[ a ,b ]
例：f(x)有无穷积分, 但不Lebesgue可积.

(R) 0
f
(x)dx


2
1
0.8
0.6
f
(x)

sin x x
x (0,)
0.4
0.2
-0.2
5
10
15
20
25
30
证明： sin x 不L可积.
x

(L) f (x)dx (L)
sin xdx
[0,)
n0

x(n) i 1
)
i 1
i 1
b
b
a f (x)dx a f (x)dx.
从而结 论成立
1. Riemann可积的内在刻画
定理：有界函数f(x)在[a,b]上Riemann可积的 充要条件是f(x)在[a,b]上的不连续点全体为零 测度集.
证明：若f(x) Riemann可积,则f(x) 的 Darboux上、下积分相等，
b
b
(x)dx f (x)dx f (x)dx.
[a,b]
a
a
其中：(x) lim sup{ f ( y) f (z) : y, z (x , x ) I [a,b]}. 0
由(x)的定义易知(x) 0，且(x)=0的充要条件为
f (x)在x处连续.
a
证明： f(x)在[a,b]上Riemann可积， 故f(x)在[a,b]上几乎处处连续，
从而f(x)在[a,b]上有界(界设为M, 则M可积)可测， 并且Lebesgue可积. 下证两积分相等.
Lesbesgue积分与Riemann积分的关系的证明
其次， 对[a,b]的任一分划
T : a x0 x1 x2 xn b
f(x) Riemann可积当且仅当f(x) 的不连续点全体为零测 度集.
f(x)在[a,b]上Riemann可积
Riemann可积的充要条件
b
n
n
b

a
f
(x)dx

lim
||T ||0
i 1
M ixi
lim ||T ||0
i 1
mi xi

a
f (x)dx
n
x(n) i1

x

xi(n)}
xi-1 xi
Darboux上积分
b a
kn
f
(x)dx

lim
n
i 1
M
(n i
)
(
xi(
n)

x(n) i 1
)
Darboux下积分
b a
kn
f
(x)dx

lim
n
i 1
m(n) i
(
xi(
n)

x(n) i 1
)
引理：设f(x)在[a,b]上为有界函数，记ω(x)为[a,b] 上的振幅函数，则

x(n) 1

x(n) 2


x(n) kn
b
n 1,2,3,
|
T
(n)
|
max{xi(n)

x(n) i1
:
1 i kn}
lim | T (n) | 0
n
令（对每个i及n）
M
( i
n)

sup{f
(x) :
x(n) i1

x

xi(n)}
mi(n)

inf{
f
(x) :
第五章 积分论
第五节 Lesbesgue积分与Riemann积分的关系
Riemann积分
xi-1 xi
分割定义域
b
n
(R)
a
f (x)dx lim ||T ||0 i1
f (i )xi
1. 回顾Lesbesgue积分的定义
⑴ 非负简单函数的积分
n
n
设 (x) ci Ei (x) i 1

lim
0
i 1
i mEi
1. Levi逐项积分定理
若fn(x)为E上非负可测函数列，
f1(x)

f 2 ( x)

f3(x)


fn ( x)

,且lim n
fn ( x)

f
(x)
则lim n
E fn (x)dx
lim
E n
fn (x)dx
2. Lebesgue控制收敛定理
从而
b
(x)dx
f (x)dx
b
f (x)dx 0，
[a,b]
a
a
又(x) 0 a.e.于[a,b],
故 ( x)在[a, b]上几乎处处为零。
又(x) 0 a.e.于[a,b], 故 ( x)在[a, b]上几乎处处为零。
从而f(x)在[a,b]上的不连续点全体为零测度集，
根据Lesbesgue积分的可加性，我们有
n
f (x)dx
f (x)dx
[ a ,b ]
n1 [ xi1 , xi ]
另外mi (xi1 xi ) [xi1,xi ] f (x)dx M i (xi1 xi )
其中M i sup{f (x) : xi1 x xi }, mi inf{ f (x) : xi1 x xi }

( x)dx,
[a,b]
另一方面
xi-1 xi
kn
lim
n
[ a ,b ]
T
(n)
(x)dx

lim
n
(M
(n i
)

m(n) i
)( xi(n)

x(n) i 1
)
i 1
kn
kn
lim n
M
( i
n)
(
xi(n
)

x(n) i 1
)

lim
n
mi(n) ( xi(n)
证明：对 [a,b]作分划序列
引理的证明
T (n)
:
a

x(n) 0

x(n) 1

x(n) 2


x(n) kn
b
n 1,2,3,
|
T
(n)
|
max{
xi( n )

x(n) i 1
:
1 i kn}
lim | T (n) | 0
n
作函数列
xi-1 xi
T (n)
(x)

lim
n
fn (x)

f
(x)
a.e.于E，
且存在M>0，使得|fn(x)| ≤M a.e.于E. 如果
mE ,则
lim
n
E fn (x)dx
E
lim
n
fn (x)dx.
本节主要内容
若f(x) Riemann可积，则f(x)在[a,b]上Lebesgue可积，且 积分值相等.
1
D(x) 1 x[0,1]Q 0 x[0,1]Q 处处不连续
Riemann函数Riemann可积
R(x) 1/ q x p/ q(0,1)Q 0 x(0,1)Q
在有理点处不连续，在无理点处连续（参见：数学分析）
注：Lebesgue积分与广义Riemann积分无必然联系
是
E


i 1
Ei
(
Ei可测且两两不交）
上非负简单函数，定义(L)E

(
x)dx

n

ci
mE i
i 1
为 (x) 在E上的Lebesgue积分.
例：对Dirichlet函数
D(x) 1 x[0,1]Q 0 x[0,1]Q
有(L)E D(x)dx 1 0 01 0
0
1
⑵ 非负可测函数的积分
设f(x)为E上非负可测函数，定义
(L)E f (x)dx sup{(L)E (x)dx :(x)为E上的简单函数,
0 (x) f (x)}
为f(x)在E上的Lebesgue积分.
⑶ 一般可测函数的积分
设f(x)为E上的可测函数，定义
(L) f (x)dx (L) f (x)dx (L) f (x)dx
设fn(x)为E上可测函数列，
lim
n
fn (x)

f
(x)
a.e.于E，
且存在非负L可积函数F(x)，使得|fn(x)| ≤F(x) a.e.
于E，
lim
n
E fn (x)dx
E
lim
n
fn (x)dx
3. Lebesgue控制收敛定理的推论
设fn(x)为E上可测函数列，
x [2n ,(2n1) ]
不连 续点零测度 (R) n0
(2n1) sin xdx
2n
x

(R)
n0
sin(2n t)dt 0 2n t


(R)
sin t dx
1

sin tdt
n0
0 2n t
E
E
E
（要求 (L)E f (x)dx, (L)E f (x)dx 不同时为 ）
为f(x)在E上的Lebesgue积分.
注：当 (L)E f (x)dx 有限时，称f(x)在E上 L可积
Lesbesgue积分
yi yi-1
分割值域
n
(L)
[ a ,b ]
f
( x)dx
M 0
(n) i

mi( n )
x

(
x(n) i 1
,
xi(
n
)
)
x是T (n)的分点
i 1,2,3, , kn , n 1,2,3,
引理的证明
令E {x [a,b] : x是T (n) (n 1,2,3, )的分点},
则mE

0,
且
lim
n
T
(
n
)