现代控制理论基础考试题B卷及答案
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一．（本题满分10分）
请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感2L 的电流强度。
【解答】根据基尔霍夫定律得：
1113222332
1L x Rx x u L x Rx x Cx x x
++=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩ 改写为1
13111
22
322
31
211111R x x x u L L L R x x x L L x x x C C ⎧
=--+⎪⎪
⎪=-+⎨⎪⎪=-⎪⎩
，输出方程为2y x =
写成矩阵形式为
[]11
111222
2
331231011000110010R
L
L x x L R x x u L L x x C C x y x x ⎧⎡⎤
--⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥
⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎪⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢
⎥
⎨⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎪⎣
⎦
⎪
⎡⎤⎪
⎢⎥
⎪=⎢⎥⎪
⎢⎥⎪⎣⎦⎩
二．（本题满分10分）
单输入单输出离散时间系统的差分方程为
(2)5(1)3()(1)2()y k y k y k r k r k ++++=++
回答下列问题：
（1）求系统的脉冲传递函数； （2）分析系统的稳定性；
（3）取状态变量为1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，求系统的状态空间表达式； （4）分析系统的状态能观性。 【解答】
（1）在零初始条件下进行z 变换有：
()()253()2()z z Y z z R z ++=+
系统的脉冲传递函数：
2()2
()53
Y z z R z z z +=++ （2）系统的特征方程为
2()530D z z z =++=
特征根为1 4.3z =-，20.7z =-，11z >，所以离散系统不稳定。 （3）由1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，可以得到
21(1)(2)(1)(2)(1)x k x k r k y k r k +=+-+=+-+ 由已知得
(2)(1)2()5(1)3()y k r k r k y k y k +-+=-+-112()5(1)3()r k x k x k =-+-
[]212()5()()3()r k x k r k x k =-+-123()5()3()x k x k r k =--- 于是有：
212(1)3()5()3()x k x k x k r k +=--- 又因为
12(1)()()x k x k r k +=+ 所以状态空间表达式为
[]112212(1)()011()(1)35()3()()10()x k x k r k x k x k x k y k x k ⎧+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---⎣
⎦⎣⎦⎪⎣⎦⎣⎦⎨
⎡⎤
⎪=⎢⎥⎪⎣⎦⎩
（4）系统矩阵为
0135⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦G ，输出矩阵为[]10=c ，[][]01100135⎡⎤
==⎢⎥
--⎣⎦
cG 能观性矩阵为o 1001⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦c Q cG ，o rank 2=Q ，系统完全能观。 三．（本题满分10分） 回答下列问题：
（1）简述线性系统的对偶原理；
（2）简述线性定常系统的状态稳定性与输出稳定性的相互关系；
（3）r 输入r 输出2+r 阶线性解耦系统等效于多少个独立的单输入单输出系统？ 【解答】
（1）若线性系统1与线性系统2互为对偶，则系统1的能控性等价于系统2的能观性，系统1的能观性等价于系统2的能控性。
（2）若线性定常系统的状态稳定，则输出必稳定，反之，若线性定常系统的输出稳定，则状态未必稳定。当且仅当线性定常系统的传递函数没有零极点对消现象时，其状态稳定性和输出稳定性才是等价的。
（3）r 输入r 输出2+r 阶线性解耦系统等效于r 个独立的单输入单输出系统。 四．（本题满分10分）
设有一个2阶非线性系统，其状态方程为1122
22
cos x x x x x x =-⎧⎨=⎩，判断该系统在坐标
原点处的稳定性，并证明你的判断。
【解】此系统在坐标原点处不稳定。 【证明】
取李雅普诺夫函数22
12()V x x =+x ，显然是正定函数，此外，沿着状态轨线的导数为：()2
112211222
()222cos 2V x x x x x x x x x =+=-+x 221122222cos 2x x x x x =-+ ()22
11222
2cos 2x x x x x =-+222222112222222112cos cos 2cos 42x x x x x x x x x ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭
2
22
12222
112cos 2cos 22x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
显然是正定的，所以该系统在坐标原点处不稳定。
五．（本题满分10分）
设某控制系统的模拟结构图如下，
试判断系统的能控性、能观性和稳定性。 【解答】
根据模拟结构图可得状态空间表达式
11221
23x x x u x x u =-++⎧⎨=--⎩ 1y x =
写成矩阵形式为
[]11221223110110x x u x x x y x ⎧-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎪⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤
⎪=⎢⎥⎪
⎣⎦⎩
2310-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，11⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
b ，[]10=
c 。 系统的特征方程为
()223
det 2301λλλλλ
+--==++=I A
显然系统渐近稳定。