非均匀沙床面粗糙度的分形特征

1999年7月

水 利 学 报

SHU ILI XU EBAO第7期非均匀沙床面粗糙度的分形特征

王协康 方 铎

(四川大学高速水力学国家重点实验室,成都,610065)

姚令侃

(西南交通大学铁道工程系,成都,610031)

摘 要 本文在分析非均匀沙床面颗粒随机分布特性的基础上,对床面颗粒暴露度函数关系进行了分析,通过简化颗粒的排列方式,利用分形理论研究了初始及粗化床面糙度的分形特征,结合实验资料讨论了床面糙率n 与糙度分维数D的关系,并与床面糙率n和代表粒径(d50、d90)的关系进行了比较,初步认为对于初始床面分维数与床面糙率具有更好的相关关系,而粗化床面两者代表性基本一致,为更好地研究床面糙率、泥沙起动及其输沙过程提出了一种新的研究方法.

关键词 床面糙率,粗化床面,分形理论.

中图号 T V143 5

天然河道中的泥沙几乎都为非均匀沙,造成床面是粗糙起伏凸凹不平的.大小颗粒在床面上的凸起高度千变万化,这使研究床面泥沙起动及其输沙过程极其困难.1973年A S Paintal[1]利用M ER-CER绝对暴露度观点,假设暴露度分布为均匀分布,提出了考虑暴露度及其分布的泥沙起动概率计算方法.韩其为[2]提出了相对暴露度的概念,并假设它服从均匀分布.刘兴年[3]在平衡输沙实验中对暴露度进行了实测,倾向于认为暴露度并非均匀分布.尽管研究者用暴露度这一个概念对床面糙度和床面相邻颗粒位置特性的描述较明晰,但至今仍难以提出一个经过检验的暴露度分布表达式.另一种床面糙度的表示方法是尼古拉茨在三十年代提出的床面糙率尺寸k s,对均匀沙来说,k s就等于泥沙粒径D;而非均匀沙,常选取一种代表粒径作为糙率尺寸,如D65、D75、D90等[4].由此可知,糙率尺寸同样难以真正描述床面的粗糙程度.

床面泥沙形态决定了床面粗糙度,而床面形态是河床水沙运动的结果,是泥沙颗粒在床面的排列组合形式,对任何一个局部来说,它都与整个床面泥沙组合形态具有相似性.这也是我们研究泥沙级配采样时的理论依据,因为局部的床沙级配代表整个床沙级配.而近年来在许多领域得到广泛应用的分形几何学就是指描述物体的这种自相似性.由此可以认为,利用分形理论去研究非均匀沙床面粗糙度具有可靠的依据,它比暴露度和代表粒径更具有统计意义.

1 床面非均匀沙颗粒分布特性

泥沙塑造的床面形态极其复杂,而床面非均匀沙颗粒分布具有明显的随机性.对于无泥沙补给,且水流强度无法使泥沙起动时床面形态主要受颗粒形状及其非均匀程度的影响,即使粒径比较均匀,仍存在不同粒径沙的混合排列现象.非均匀沙的隐蔽与暴露作用使床面泥沙凸起高度变化多样,对研究床面泥沙的分布特性极其困难.张美德[5]曾对川江河段实测资料分析得出各河段床沙d50、D max沿程均为跳跃状变化,上下相邻河段粒径大小悬殊,形成沿程为不规则的锯齿形分布;而床沙沿断面分布与断面流速、水深、流量及来沙的分布有关,资料表明主流区流速和单宽流量最大,粒径最粗,粒径变幅也大,近岸区流速和单宽流量最小,粒径也最细,变幅亦小.

本文于1998年11月11日收到.系国家自然科学基金委员会与水利部联合资助项目(编号:59890200) 九 五 三峡工程泥沙问题研究资助项目(编号:95-4-1-4).

2 床面泥沙分布随机性的理论描述

由于床面凸凹不平,其暴露度沿程和横断面变化多样,为此构造床面暴露度函数为

V( x, y)=

1

(N-n)(M-m)

N-n

i=1

M-m

j=1

{Z(x i+n x,y i+m y)-Z(x i,y i)}2,(1)

式中Z(x,y)是床面高度函数(基面与平均坡降一致),它随纵向y(沿河道方向)和横向x(垂直河道方向)不同呈随机变化;该函数的增变量V( x, y)定义为两点间增量平方均值,可称为暴露度函数; x=n x, y=m y,N、 x、M、 y分别为沿横向和纵向取样总数和间隔.为了便于实际操作,我们对横向和纵向V( x, y)分别讨论,由式(1)得:

V( x=0, y)=

1

M-m

M-m

j=1

{Z(x,y i+m y)-Z(x,y j)}2

V( x, y=0)=1

N-n N-n

i=1

{Z(x i+n x,y)-Z(x i,y)}2

.(2)

公式(2)是平稳和同性的,即增变量V( x=0, y)、V( x, y=0)仅随样本间距m y 和n x变化.增变量反映分形特征[6]

V( x=0, y)=<|Z(y2)-Z(y1)|2> |y2-y1|2H y

V( x, y=0)=<|Z(x2)-Z(x1)|2> |x2-x1|2H x

,(3)式中括号<>代表大样本Z( x=0, y)、Z( x, y=0)的平均值.理论证明[7]分形维数D x= 2-H x、D y=2-H y.将式(2)用显函方式描述为

V( x=0, y)=A y, y y

V( x, y=0)=A x x x

,(4)式中A x、A y为系数,在V( x=0, y)、V( x, y=0)与 y、 x的对数关系图中,A x、A y是曲线截距, x、 y为对数曲线斜率( x=2H x, y=2H y),则床面糙度分形维数

D x=2- x/2.D y=2- y/2.(5)

3 床面糙度的分维计算及其意义

3 1 床面糙度分维的简化及计算 由于床面高度函数的描述难以确定,而河床上非均匀沙颗粒之间的相互排列组合极其复杂,为了便于研究,本文着重讨论初始床面及粗化床面糙度的分维,并简化床面高度函数的描述,以此探讨床面糙度的分维描述.

床面糙度反映了床沙各级粒径在床面的排列组合形式,概化各级粒径泥沙为圆形,并相切紧密分布,因而暴露度取决于相邻颗粒的排列概率.近似假定床沙成层分布,且床面泥沙高度函数Z(d i) =d i,令床面各粒径泥沙重为P(d i),其对应的颗粒度N(d i)=6P(d i)/( (r s-r)d3i),取 x= y=d i,式(2)定义的粒径d i暴露度V(d i)可描述为:

V(d i)=

1

n

j=1

N(d j)

n

j=1

C1N(d

i

)C

1

N(d

j

)(d j-d i)

2.(6)

当把颗粒概化为圆形时,上式简化为:

V(d i)=

6P(d j)

(r s-r)d3i n

j=1P(d j)

d3j

n

j=1

P(d j)

d j

(d j-d i)2.(7)

因此,如果床面泥沙级配已知,则利用上式可计算床面各级泥沙的暴露度V(d i),在双对数坐标轴上点绘V(d i)~d i的关系曲线,由下式可确定床面糙度分维数D x与D y的值