关于“芝诺悖论”的一些思考

关于“芝诺悖论”的一些思考

王玉峰北京大学哲学系

现在流传下来而广为人所知的所谓“芝诺悖论”共有九个：四个是关于运动的，三个是指向“多”的，一个是反对空间观念的，另一个则试图表明感觉是不可靠的。[1]这些芝诺“悖论”长久以来就引起了人们的广泛兴趣，其中尤以关于所谓运动的那四个悖论最为著名。而芝诺反对运动的那些论证其原著已经佚失，现有资料来自亚里士多德在《物理学》中的论述，主要是该书第六卷第九章。[2]根据亚里士多德的记载，这四个所谓关于运动的悖论分别是：两分法，阿喀琉斯，飞矢不动和运动场。[3]

亚里士多德在其《物理学》中分别反驳了芝诺，指出了芝诺的这些“悖论”都是“错误”的。后来的大多数学者们基本上是继承了亚里士多德的看法，而近代以来也有一些数学家和逻辑学家们借助于当时的数学和逻辑学成就，主要是微积分理论，来试图“解决”这些“悖论”。表面上看来，这些学者们似乎是“解决”了这些“悖论”，可是带有悖谬性的是，正是通过这些“悖论”的“解决”，芝诺由一个哲学家变成了一个没有常识的人。

而在本文中，笔者则通过对芝诺关于所谓运动的这四个“悖论”的重新诠释，来试图恢复芝诺作为一个严肃的哲学家的本来面目。

根据这四个悖论的内容，我把它们分成两组来分别加以论述，那就是两分法和阿喀琉斯一组，飞矢不动和运动场一组。我将表明芝诺的这两组悖论分别是针对当时在数学和物理学中流行的错误“前提”的，所以他的这些“悖论”没有什么所谓的“逻辑”错误。

（一）两分法与阿喀琉斯

根据亚里士多德的记载，所谓的“两分法”是指，一个位移的事物在达到目的地之前必须先抵达一半处，可是这种一再二分的一半是为数无限的，因此不可能走完为数无限的路程，因此运动不存在。[4]有人认为这和中国古代哲学中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的道理是一样的。

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而“阿喀琉斯”的悖论意思是说：“一个跑得最快的人永远追不上一

个跑得最慢的人。因为追赶的人必须首先跑到被追的人的出发点，因此走的慢的人必然永远领先。”[6]亚里士多德说，“这个论证和第一个论证，即二分法的论证是一回事，分别只在于：在分划那个量时这里不是用的二分法。”[7]弗里曼用现代数学来解释这个论证：设慢跑者为快跑者速度的1/10，快者跑10单位长度，慢者只能跑1单位长度，按10：1列式为：1/10+1/100+1/1000+……+1/n，这样只能无限接近，不能赶上。[8]

对这两个“悖论”，亚里士多德认为芝诺的这些想法都是错误的。针对“两分法”，亚里士多德说，“芝诺在有一个论证里犯了错误。他主张一个事物不可能在有限的时间里通过无限的事物，或者分别地和无限的事物相接触。须知长度和时间被说成是‘无限的’有两种涵义，并且一般地说，一切连续事物被说成是‘无限的’都有两种涵义：或分起来的无限，或延伸上的无限。因此，一方面，事物在有限的时间里不能和数量上无限的事物相接触，另一方面，却能和分起来无限的事物相接触，因为时间本身分起来也是无限的。因此通过一个无限的事物是在无限的世界里而不是在有限的时间里进行的，和无限的事物接触是在无限数的而不是在有限数的现在上进行的。因此，既不能在有限的时间里通过无限的量，也不能在无限的时间里通过有限的量；而是：时间无限，量也无限，量无限，时间也无限。”[9]

也就是说，在亚里士多德看来，芝诺是混同了以上两种不同的无限概念，有限的时间固然不能穿越无限延展的距离而达到终点，可是有限的时间却可以越过一定量度（它是可以被无限分割的）中无限数的点而达到终点，因为这有限的时间也是同样可以被无限分割的。[10]

对于“阿喀琉斯”悖论，亚里士多德认为，由于它和“二分法”的论证是一回事，所以“对这个论证的解决办法也必然是同一个方法。”[11]亚里士多德说，“认为在运动中领先的东西不能被追上这个想法是错误的。因为在它领先的时间内是不能被赶上的，但是，如果芝诺允许它能越过所规定的有限的距离的话，那么它是可以被赶上的。”[12]

因此我们可以看到，芝诺的这两个悖论是以时空的“无限分割”为前提，亚里士多德对这两个悖论的解决方式是：承认了时空的这种无限可分性，但是通过区分了两种不同的“无限”，而主张在有限的时间里通过有限距离的无限的点是可能的。因为有限的时间和距离本身都是可以无限分割的。

近代以来的数学家和逻辑学家们用微积分的方式来解决这两个悖论的方法和亚里士多德的方式是很相似的，他们都是首先承认了时空的某种无限可分性，然后再对这个问题加以处理。且不管数学家们求极限和积分的运算是否正确，我们的一个问题是：这是否是芝诺提出这两个“悖论”的原意？这些学者们是否理解了芝诺“悖论”的意图？

在我看来，亚里士多德和近代以来的微积分学者们所说的这些固然是“正确”的，因为这些显然可以被我们的经验所直接证明。可是由于他们误解了芝诺“悖论”的“意图”，所以他们对这些“悖论”的解决本身乃是无的放矢的！下面我讲试图说明这一点。

众所周知，芝诺是哲学家巴门尼德的学生及好友，而根据柏拉图在《巴门尼德篇》中的记载，芝诺不仅仅原意在友谊方面和巴门尼德相契，而且在他的著作中也愿意和他保持一致。也就是说芝诺的学说是以另外一种方式来论证他的老师的观点。因此，要想了解芝诺悖论的意图，我认为必须要首先了解巴门尼德的一些基本思想。在巴门尼德看来，存在是一种不生不灭，连续的和绝对完满的“一”。[13]在这里需要特别注意的是，在巴门尼德那里，这个绝对完满的“一”乃是“有限”的，他曾把之比喻为“滚圆的球体”。因此，“无限”反而表示不完满和有缺陷的意思。也正是如此，绝对的无限乃是根本不存在的东西，任何有限的事物也不可能“无限可分”。所以根据巴门尼德的哲学，“无限”和“无限可分”乃是一些违反“自然”的概念。

芝诺悖论必须要放到巴门尼德哲学的这种背景中来思考。第欧根尼.拉尔修认为芝诺是辩证法的创始人。芝诺的这种辩证法和苏格拉底的方法是很相似的，他们都是从一个假定的“前提”出发，然后推导出一个明显荒谬的结论，或者推导出两个正相反对的结论，以此来否定那个原先假定的“前提”。对芝诺的这些“悖论”因此也必须要放到这种“辩证法”的思想方式中来把握。

在说明了以上两点后，我们下面就可以来看一看芝诺的“两分法”和“阿喀琉斯”悖论了。毫无疑问，这两个“悖论”是以时空的某种“无限可分”性为前提的，并且它们的结论也明显是荒谬的，一个运动的物体当然可以经过整个路程的一半而到达终点，阿喀琉斯当然可以追上乌龟。根据“辩证法”的思路，这两个明显荒谬的结论显然是在质疑事物的“无限可分”这个前提。因此，芝诺在此根本不存在什么逻辑矛盾，如果一个有限的距离真的可以“无限分割”，即所谓“日取其半，万世不竭”的话，那一个运动的物体当然永远不可能达到终点，阿喀琉斯当然永远不可能追上乌龟。因此，问题就在于：“无限分割”这个观念是否是正确的或它是否是符合自然的？这才是芝诺这两个悖论的真实意图。而显然，在这里芝诺是通过“另一种方式”和他的老师巴门尼德在思想上保持了一致：存在是“有限”的完满的，不存在什么广延上的“无限”，也不存在什么在量上的“无限可分”。

芝诺“两分法”和“阿喀琉斯”的悖论除了捍卫他的老师的观点外，似乎也是直接针对当时毕达哥拉斯学派的某些观点的。比如十九世纪后期法国研究科学和哲学史的泰纳利（Paul Tannery）就认为亚里士多德误解了芝诺，芝诺并不是否认运动的可能性，他只是说运动和多不相容。芝诺的真正目的是反对毕达哥拉斯学派关于线，面，体是无数的点的总和这种