RLC串联电路的零输入响应
高二物理竞赛课件RLC串联电路的零输入响应
iC 2 (t )
C2
duC 2 (t ) dt
34
d dt
t
[e 25 (t)]
[12
(t
)
12
e
t
25
(t
)]A
25
iC
2
(t
)
[12
(t
)
12 25
e
t
25
(
t
)]A
电流ic2(t)中冲激部分的强度等于电容元件C2上电荷 的跳变量 :
q2 C2uC2(0 ) C2uC2(0 ) (3 4 0) C 12 C
根据节点电荷不变的原则可得
C1uC1(0 ) C2uC 2 (0 ) C1uC1(0 ) C2uC 2 (0 ) (C1 C2 )1 uC (0 )
uC 1 (0
)
uC 2 (0
)
uc
(0
)
C1uC1(0 ) C1
C2uC C2
2
(0
)
210 0 V 4 V 5
2）t = ∞ 时
0.1s
例. 在图示电路中，C1=2 F，C2=3 F，R=5 ， uc1(0)=10 V，uc2(0)=0，求开关S闭合后的uc1(t) 、 ic1(t)、 uc2(t)和ic2(t)。
解：1）换路前t = 0 时 uc1(0)=10 V，uc2(0)=0 t = 0+时两电容并联 ，必有
uC1(0 ) uC2(0 ) uC (0 )
5) 求uL2 (t)
uL2
(t)
L2
diL2 (t ) dt
2
d
t
[(3 e 0.15 ) (t ) ]
dt
RLC串联电路的零输入响应
uC(0) K1 (9 9)
对式(9－5)求导,再令得到
duC (t ) dt
t0
K1s
K2
iL (0) C
联立求解以上两个方程,可以得到
(9 10)
K1 uC(0)
K2
iL (0) C
s1uC (0)
将 K1, K2的计算结果,代入式（9－8）得到电容电压的 零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电感 电流的零输入响应。
四、欠阻尼情况
当 R 2 L 时，电路的固有频率s1，s2为为两个共轭复
C
数根，它们可以表示为
R s1，2 2L
R 2 1 2L LC
2
0
2 2
将两个相等的固有频率s1=s2=-2 代入式（9－8）得到
uc (t ) K1e2t K2te2t
(t 0)
利用电容电压的初始值uC(0)=-1V和电感电流的初始值 iL(0)=0得到以下两个方程
uC(0) K1 1
duC(t ) dt
t0
2K1
K2
iL (0) C
0
求解以上两个方程得到常数K1=-1和K2=-2,得到电容电 压的零输入响应
DNAP程序可以画出响应的波形。
三、临界情况
当 R2
L C
时，电路的固有频率s1, s2为两个相同的实
数s1=s2=s 。齐次微分方程的解答具有下面的形式
uC(t ) K1est K2test
(9 8)
式中的两个常数K1,K2由初始条件iL(0)和uC(0) 确定。令 式(9-5)中的t=0得到
图9－1 RLC串联二阶电路
解:将R,L，C的量值代入式（9－4）计算出固有频率
RLC串联电路的零输入响应——临界阻尼情况
RLC串联电路的零输入响应——临界阻尼情况RLC串联电路是由电感、电阻和电容三个元件组成的电路。
在该电路中，当电源不加电时，电感和电容会有一定的电荷和电流分布，这种分布会导致零输入响应。
零输入响应是指在没有外部输入信号的情况下，电路中的元件之间会通过内部能量的转移来产生一种响应。
在RLC串联电路中的零输入响应，临界阻尼是其中一种情况。
当电路中的电阻大小等于阻尼电阻临界阻值时，电路呈现临界阻尼特性。
临界阻尼是指电路中的电荷和电流衰减的速度最快，衰减到零的时间最短。
在临界阻尼情况下，电路的阻尼电阻大小等于等效电阻R，即R=2√(L/C)，其中L表示电感的感值，C表示电容的容值。
在临界阻尼情况下，电路的特性如下：1.电路的过渡过程较快：在临界阻尼条件下，电路的过渡过程最快，电荷和电流的衰减速度较大，因此电路的过渡时间相对较短。
2.电路的振荡最小：临界阻尼条件下，电路没有振荡现象，电荷和电流没有来回变化的过程。
电路的响应呈现出衰减的趋势，最终衰减至零。
3.电路的振荡频率：在临界阻尼情况下，电路的振荡频率为共振频率，即f=1/(2π√(LC))。
在RLC串联电路临界阻尼情况下，可以通过解微分方程的方法求解零输入响应。
设电容电压为v(t)，电感电流为i(t)。
电路的微分方程为：L(di(t)/dt) + Ri(t) + (1/C)∫i(t)dt = 0对该微分方程进行求解，并考虑初始条件，可以得到电流i(t)的表达式：i(t) = I_0e^(-Rt/2L)[cos(ωt) + (R/2L)sin(ωt)] + I_1e^(-Rt/2L)[sin(ωt) - (R/2L)cos(ωt)]其中，I_0和I_1为常数，ω为角频率，ω=√(1/LC-(R/2L)^2)。
零输入响应主要体现在电感电流i(t)和电容电压v(t)的变化上。
通过解析上述表达式，可以得到i(t)和v(t)的变化规律。
在临界阻尼情况下，电路的过渡过程较快，电流和电压的大小随时间呈指数衰减的趋势，直至衰减到零。
二阶电路
0
p1e p1tm
p e p2tm 2
0
tm
ln( p2 / p1 ) p1 p2
电感电压在随时间变化的过程中有一个极小值，令 duL 0 dt
求出极小值出现的时刻
t
2
ln( p2 p1
/ p1 ) p2
2t m
在电路的整个工作过程中，电容始终是释放电场能量。 t tm 时电感吸收能量，建立磁场；t tm 时电感释放能量，磁 场逐渐减弱。电阻一直吸收能量，最终将电路中全部能量转变 成热能。
L
di dt
U 0et
(1 t)
在整个过渡过程中，uc ,i,uL是单调衰减的函数，电路的放
电过程仍然属于非振荡性质，但是，恰好介于振荡和非振荡之
间，所以称之为临界非振荡过程。响应随时间变化的波形与过
阻尼情况相似。
动画演示：三种阻尼情况
华中科技大学出版社
11
湖北工业大学
例9.1 在图9-5所示的电路中，换路前电路处于稳态。 求t≥0换路后电容的电压uc和i。已知：
dt
华中科技大学出版社
14
9.2 零状态响应
湖北工业大学
在图9-6所示的基本RLC串联电路中，动态元件电容和电感
的初始值为零， t=0时换路，电源uS作用于电路，求t≥0时的 uc ,i,uL 。由于电路的初始状态为零，所以此时的响应称为二阶 电路的零状态响应。
回路的KVL方程为 uc uL uR uS
iL (0 ) C
0
A1
p2
p2 p1
,
A2
p1 p1 p2
二阶电路的零输入响应
2
二阶电路的零输入响应
s1,2
R 1 R 2L 2 L LC
2
•提出问题
列微分方程
令
def def
•解决问题
•结果分析 解微分方程
R α 2L
ω0
1 LC
结果
2 s1 α α 2 ω0 2 2 s2 α α ω0
d 0 cos
0 sin
L ), C
d arccos 0
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
L ), C
I0 u( t ) e t e jd t e t e jd t j 2Cd
二阶电路的零输入响应
代入初始条件得
I0 s1 A1 s2 A2 C A1 A2 0
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根
2.R 0, 0 ( R 2 s1s2实重根
L ), C
L ), C
联立求解得
I0 A1 C ( s1 s2 ) I0 A2 C ( s1 s2 )
S1
(t<0)
(original state)
二阶电路的零输入响应
Us +
－
i(t) S1
(t>0)
•提出问题
•解决问题 •结果分析
开关在t=0时换路， S1断开、S2 闭合。t>0, RLC串联形成一个 回路，电压u、电流i即为零输 入响应(zero-input response)。
R
L C
S2 + u(t)
RLC并联电路的零状态响应和全响应
1 C
iL (0 )
1 2
2
1Vs
和
uC(0 ) uC(0 ) 10V 带入上式得：
A1 A1
12 A2
10 1
解方程求得：
A1 A2
2 1
X
解（续）
uC(t) (2 t)et 12 12 (2 t)et V i(t) C duC(t) 2[et (2 t)et ] 2(1 t)et A
为变量的电路方程为：
LC
d2uC (t dt 2
)
RC
duC (t dt
)
uC
(t
)
12
X
解（续）
将元件参数带入微分方程并整理得：
d2uC ( dt 2
t
)
2
duC (t dt
)
uC
(t
)
12
特征方程为：s2 2s 1 0
求得特征根为：s1 s2 1
因为特征根为两个相等的负实根，所以电路处于临 界阻尼状态，通解具有如下形式：
200mH
uC(0 ) 0
-
t 0时：
LC
d2iL (t ) dt 2
L R
diL (t) dt
iL (t)
4
1 L 1 200103
R 100 2
C2
250106 14.14
特征根为一对共轭复根，电路处于欠阻尼状态。
X
解（续）
d2iL dt
(t
2
)
40
diL (t dt
)
20000iL
uCh (t ) ( A1 A2t )et
因为激励为直流，所以设特解为：uCp (t ) B
X
信号与系统讲义-2
f (t) u 3 10
p
u pf (t) 2p 10
u(t) (Ae5t B)U(t)
2 du(t) 10u(t) df (t)
dt
dt
u(t) 5Ae5t U(t) (A B)(t)
2(A B) 1 B0
u(t) 1 e5tU(t)V 2
H
(
p)
2p2 8p 3 ( p 1)( p 3)2
求系统的响应 y(t)。
解： D(p) (p 1)(p 3)2 0 p1 1 p2 p3 3
y0 (t) K1e t K 2e3t K 3te3t
y0 (0 ) K1 K2 =2 y0 (0 ) K1 3K 2 K3=1
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
,
d
02 2 , 0
1 LC
4
三、 RLC串联电路全响应
d 2uc dt 2
R L
duc dt
1 LC
uc
1 LC Us
(二阶常系数线性非齐次微分方程)
t<0 , K在2,有 uc (0 ) U0
C
uc Aep1t Be p2t Us
2、重根：(临界阻尼) 即
R2
L C
（自然频率、固有频率）
uc (A Bt)ept Us
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
d 02 2
5.7RLC串联二阶电路的零输入响应及能量过程
(∞) = 0， (∞) = 0。
下面分析从初始值不为零到最终零状态的二阶电路的零输入的
过渡过程。图 5-34 中电路的单回路电流为（自行满足 KCL）
。
零输入非冲激下，由换路准则得两储能元件的初始值为
(0+ ) = (0− ) = 0， (0+ ) = (0− ) = 0
1
1 2
0
= ，共轭复数根又为1,2 = − ± j。
、和0满足 2 + 2 = 02，即直角三角形关系，如图 5-38 所
示，其中 = arctan/。
将1,2 = − + j代入式(3)零输入响应的确定解，结合虚线右边
欧拉公式：
cos =
显示的欧拉公式，整理有
号内的正负有关，分三种情况分析响应特征。
64
第五章 动态电路
′ ()
1.1 当( ) − > ，即 > √ ——过阻尼
根号内大于零的情况属于电阻相对较大的情况，由于零输入过
程是一个放电过程，电阻大能更快地消耗放电能量，所以这种情况
又称为过阻尼。
1.1.1 过阻尼响应表达式
箭头上面的“+”表示电容或电感在这个过程吸收能量。“−”表示在这个过程释放能
量。因电阻对能量的消耗，随时间各量振荡幅值指数衰减直至为零。初始能量全部被电阻吸
收消耗，电阻的耗能功率为2 ()，电阻的瞬时功率与当时电感储存的磁场能量成正比。
1.3 当( ) − = ，即 = √ ——临界阻尼
过阻尼下，1 ，2 均为负实数且|2 | > |1 |。将式(3)中的响应
二阶电路
第七章 二阶电路 §7-1 二阶电路的零输入响应用二阶方程描述的动态电路称为二阶电路，当电路有电感，又有电容时就是一个二阶电路，二阶电路中给定的初始条件有2个 一、方程及特征根（RLC 串联）022=++C CC u dt du RC dtu d LC特征根为：LC L R L R p 12221-⎪⎭⎫⎝⎛+-=LC L R L R p 12221-⎪⎭⎫⎝⎛--=零输入响应为：t t P P C e A e A u 2121+= 1．电路的初始条件有三种情况，分别为：①0)0(0)0(≠≠++L C i u ②0)0(0)0(=≠++L C i u ③0)0(0)0(≠=++L C i u我们讨论第二种情况，设0)0()0()0()0(====-+-+L L C C i i u u u2．特征根p 1、p 2有不等负实数根、相等负实数根、一对共轭复数根三种情况，这三种情况决定零输入响应不同。
二、CLR 2>（1P 、2P 有不等负实根）时电路的响应 —是一个非振荡放电过程 1．电容上的电压和电流及电感上的电压响应表达式为：)(2112120t t P P C e P e P P P U u --=LCp p 121=)()()(2121120112210t t t t P P P P C e e P P L U e P e P P P P CU dt du Ci ---=---=-=)(2121120t t P P L e P e P P P U dt di Lu ---==2．响应曲线2112)/ln(P P P P T m -=此时电感电压过0，电流取得最大值m t t 2= 此时电感电压有极值三、CLR 2<（1P 、2P 有共轭复根）时电路的响应—是一个振荡放电过程1．电容上的电压和电流及电感上的电压为： )(2112120t t P P C e P e P P P U u --=[])2)(0)(00t j i t j j e e e e j U ωδβωδβωωω---+-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-+-j e e eU t j t t j t2)()(00βωβωδωω)sin(00βωωωδ+=-t e U t)sin(0t e LU i tωωδ-=)sin(00βωωωδ--=-t e U u t其中：2RLδ=0ω=ω= arctg ωβδ= 2．波形图如下：ttπδ3．理想情况下，,2,1,0,00πβωωδ=====LCR 则：)2sin(00πω+=t U u Ct CLUt L U i 00000sin sin ωωω==C L u t U t U u =+=--=)2sin()2sin(0000πωπω 即等幅振荡放电过程。
《电路基础》第17讲 二阶电路分析 (1)
uL
L
di dt
0
U 0e
t
sin(
t
)
uC零点： t = -，2- ... n- ， uC 极值点为i零点。
i 零点： t =0, ，2 ... n ， i 极值点为uL零点。
U0
uc uL零点： t = , +，2+ ... n+
uC i
0
U0e
t
+
0 -
2- 2
t
uL
0
U0e
t
14
能量转换关系
0 < t<
uC减小，i 增大
L吸，C释
+
R
C -
L
< t < -
uC减小，i 减小
L释，C释
+
R
C -
L
- < t <
|uC |增大，i 减小
L释，C吸
+
R
C -
L
U0 uc uC i
0 -
0
U0
e
t
+ 2- 2
0
U
0
e
t
衰减振荡
t
欠阻尼
15
特例 R = 0 0
s1,2 ±j 0
us (t) (t)
LC
d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
uS
(t)
d 2uC dt 2
R L
duC dt
1 LC
uC
1 LC
(t)
C + uL L -
18
d 2uC dt 2
线性定常RLC串联电路的全响应
(6)
的唯一解。
线性定常RLC串联电路的全响应
把式(3)和(5)相加，有： d2 d LC 2 vCi vCo RC vCi vCo vCi vCo vs dt dt 再把式(4)和(6)相加，得：
(7)
vCi 0 vCo 0 V0 d I0 dt (vCi vCo ) t 0 C
rlc设右图中的rlc串联电路在t接通电容器和电感器分别具有非零初始状态v是要待求的电路响应则它满足线性定常二阶非齐次微分方程
线性定常RLC串联电路的全响应
线性定常RLC串联电路的全响应
设右图中的RLC串联电路在 t=0时与申压源vs(t)接通，电 容器和电感器分别具有非零初 始状态vC(0)=V0和i(0)=I0。
(8)
将式(7)同(1)和将式(8)同(2)相比较后，可知：波形vCi (· )+vCo(· )既满足微分方程(1)，又满足初始条件(2)。于是根 据微分方程解的唯一性定理，全响应vC为
vC (t)= vCi I0 C C
0
(2)
的唯一解。
线性定常RLC串联电路的全响应
设vCi为电路的零输入响应。根据定义，它是满足对应的齐 次微分方程：
d 2vci dvci LC 2 RC vci 0 dt dt
及初始条件：
t≥0
(3)
vCi V0 dvCi I 0 dt C t 0
iL
R L C
iL (0) I 0 vC (0) V0
vs
如果电容器电压vC是要待求的电路响应，则它满足线性定常 二阶非齐次微分方程： d 2vC dvC LC 2 RC vC vs t≥0 (1) dt dt 及初始条件 v 0 V
实验四冲激响应与阶跃响应零输入与零状态响应概述.
W 1 01 T P10 1 5K
L 1 01 1 0m H
3
C1 02 0 . 01 uF
VCC
• 电路原理图中，其阶跃响应有三种状态：
• 当电阻
L R2 C
时，称过阻尼状态；
• 当电阻
• 当电阻
L 时，称临界阻尼状态； R2 C L 时，称欠阻尼状态。 R2 C
8
2、零输入和零状态响应
R + 则系统的响应为： + Vc(0-) + Vc(t)
实验四
阶跃响应与冲激响应/
零输入与零状态响应
一、实验目的 1、观察和测量RLC串联电路的阶跃响应与冲激响 应的波形和有关参数，并研究其电路元件参数变化 对响应状态的影响。
2、掌握有关信号时域的测量方法。
3、熟悉系统的零输入响应与零状态响应的工作原
理及特性的观察方法。
二、实验原理 1、RLC串联电路的阶跃响应与冲激响应
应输出点TP202的波形 ；
（2）零输入响应
调节电位器W202，观察一阶RC系统的零输入
响应输出点TP203的波形 ；
TP202 TP201
零状态响应
TP203
零输入响应
• 分别调节电位器 W201和 W202，观察系统不同 的输入信号表征出不同的响应波形，分析全响应
与零输入响应、零状态响应的关系。
e(t)
VC (t ) e
t RC
1 VC (0) e Rห้องสมุดไป่ตู้ 0
t
1 ( t ) RC
e( )d
第一项与输入激 励无关,称之为 零输入响应
第二项与起始储能无关， 只与输入激励有关，被称 为零状态响应。
二阶电路分析
uC ( t ) = K 1 e + K 2 e
s1 t
s2t
备注：参数 满足初始条件求解。 备注：参数K1和K2满足初始条件求解。
uc (0 )
+
duc (0 )
+
dt
t=0
=
iL (0 )
+
C
成都信息工程学院—控制工程学院 成都信息工程学院 控制工程学院
能量转换： 能量转换：
U0
Uc(t) i
Dept. of Control Engineering, ChengDu University of Information Technology
第七章 二阶电路
本章重点： 本章重点： RLC电路零输入响应---欠阻尼、 RLC电路零输入响应---欠阻尼、过阻 电路零输入响应---欠阻尼 临界阻尼、 尼、临界阻尼、无阻尼情况
d
1 2R C
2 2 0
i = Ae−αt cos(ωd t +θ )
ω = ω −α ω =
0
1 L C
成都信息工程学院—控制工程学院 成都信息工程学院 控制工程学院
二、零状态响应 ,由KCL,有 t>0 ,由KCL,有
u du +C + i = Is dt 又 R di u= L dt L di d 2i 可得 + LC 2 + i = Is R dt dt
+
C
成都信息工程学院—控制工程学院 成都信息工程学院 控制工程学院
能量转换： 能量转换：
U0
Uc(t) i
0
tm
t
0 < t < tm uc(t)减小 ，i (t)增加 减小 增加
rlc电路零输入响应的求解方法
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电路分析二阶电路的考题预测
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
典型rlc二阶电路公式大全
典型rlc二阶电路公式大全
RLC二阶电路的公式包括阻抗公式、复数阻抗公式、零输入响应公式、零状态响应公式等。
阻抗公式为Z=R+j(ωL−1/ωC)，其中R表示电阻，j表示虚数单位，ω表示角频率，L表示电感，C表示电容。
复数阻抗公式为Z=R+j(Xr+Xl)，其中R表示电阻，Xr表示串联谐振阻抗，Xl表示并联谐振阻抗。
零输入响应公式包括过阻尼情况、临界阻尼情况和欠阻尼情况。
过阻尼情况为Z1=R+j(ωL−1/ωC)，欠阻尼情况为Z2=R+j√(ω0^2−ω^2)，临界阻尼情况为Z3=R。
零状态响应公式包括全响应情况、非全响应情况和强迫响应情况。
全响应情况为fai(t)=e−αt[fai(0)+fai'(0)t]，非全响应情况为fai(t)=e −αt[fai(0)+fai'(0)t+βt^2]，强迫响应情况为fai(t)=e−
s1t[fai(0)+fai'(0)t+βt^2]+e−s2t[fai'(0)t+βt^2]，其中fai表示全响应，α表示自然衰减系数，β表示强迫衰减系数，s1和s2分别表示实部和虚部等于零的频率点。
电路分析基础_第18讲(ch8LC振荡电路和RLC电路的零输入响应)解析
四、结论：
纯LC电路，储能在电场和磁场之间往返转移， 产生振荡的电压和电流。振荡是等幅的。
若回路中含有电阻，还是等幅振荡吗？
82 RLC串联电路的零输入响应——过阻尼情况
t = 0 ＋ uL －
＋
uR－
L C
iL + _uC
已知 uC(0) = U0 iL(0) = 0
或Leabharlann R21解答形式为：
2L LC
uC (t) K1e1t K2e2t
响应属于过阻尼(非振荡)情况
83 RLC串联电路的零输入响应——临界阻尼情况
当 = 0时, 即 R 2 1 或 R 2
2L LC
L时
C
s1 s2
齐次方程解： K1、K2由初 始条件确定
uC (t) (K1 K2t)et
（2）当 uC(0) = 0 iL(0) = I0
uC
(t)
C
iL (0)
2 1
e1t e2t
2
f(t)
iL
(t
)
iL
2
(0)
1
e2t 2 I0
1e1t
uC iL
e 2t
uC
1
e 1t
o
t
iL
O
t
物义：iL= I0 ,C充电, iL= 0 ,C放电,电阻消耗大,属非振荡。
（3）当 uC(0) = U0 iL(0) = I0
iL
+
uC _
C
+ L _uL
一、定量分析
已知 uC(0) = 1V iL(0) = 0
iL
RLC串联电路的零状态响应
燕山大学课程设计说明书题目： RLC串联电路的零状态响应学院（系）：理学院年级专业： 11级电子信息科学与技术学号：学生姓名：指导教师：教师职称：燕山大学课程设计（论文）任务书院（系）：基层教学单位：说明：此表一式四份，学生、指导教师、基层教学单位、系部各一份。
年月日燕山大学课程设计评审意见表RLC串联电路的零状态响应理学院11级电子信息二班摘要：一般的电路教材讲述了二阶电路冲击响应，但没有介绍二阶电路零状态响应，这对于理解二阶电路的特性，特别是在正弦交流电源作用下的二阶电路零状态响应特性是不利的。
本文推导正弦交流电源作用下的RLC串联电路的零状态响应，利用matlab进行模拟，将电容电压和电感电流的零状态响应曲线描绘出来；根据电路参数设置的不同，分过阻尼、欠阻尼、临界阻尼三种情况讨论。
关键字：RLC串联电路零状态响应正弦交流电源matlabThe zero state response of RLC series circuitClass two grade 11 Science College of electronic information Abstract:circuit materials generally tells the story of two order circuit impulse response, but not the zero state response of two order circuit, the understanding of characteristics of two order circuit, especially the zero state two order circuit in a sinusoidal AC power supply under the action of the response is negative. The zero state in this paper, a sinusoidal AC power supply under the action of the RLC series circuit response, was simulated with MATLAB, the zero state of capacitance voltage and inductance current response curve traced; according to the circuit parameter set is different, is divided over damping, less discussed, three kinds of critical damping damping.Keywords:RLC series circuit, the zero state response to sinusoidal AC power supply matlab1、引言电路原理是电子信息学科的主干课程，也是高等学校电子信息与电气信息类专业的基础课程，在电类专业学生知识结构中处于关键地位。
RLC串联电路的零输入响应——欠阻尼情况
4/11
衰减因子或衰减系数： = L/2R 称为衰减因子， 越大，衰减 震荡的振幅衰减得就越快，反之则越慢。
震荡角频率： d 称为震荡角频率， d 越大，衰减震荡的震荡 速度就越快，震荡周期越小，反之则速度越慢、周期越大。
包络线(envelope)： 按 ±Ke – t 变化的曲线， 将震荡信号包裹在 中间，其衰减速度取决于 。
阶段总结
（1）综上所述，电路的零输入响应取决于电路的固有频率 s 。 固有频率可以是实数、复数或虚数，决定了零输入响应是非震荡 过程（过阻尼、临界阻尼）、衰减震荡过程或等幅震荡过程。
（2）我们可以认为固有频率 s 是复频率（固有频率只有实部或 虚部是其特殊情况）。
（3）一阶网络的固有频率 s= – 1/，=RC或L/R，是负实数，表 示一阶网络的零输入响应是按指数规律衰减的非震荡过程。
（8-35）
其中常数K1 和 K2 由初始条件确定。其确定方法为
uC(0) = K1 u’C(0) = –K1
+
dK2
=
iL(0) C
（8-36） （8-37）
K2
=
1 d
iL(0) C
+
K1
=
1 d
iL(0) C
+
uC(0)
（8-38）
为了便于反映响应的特点，将式（8-35）进一步改写为
uC(t) = e – t K12 +K22
等幅震荡： 当电路中电阻为零时， = 0，包络线±Ke – t 变
成 ±K 两条与 t 轴平行的直线， 因此震荡信号就变成幅度恒定 的等幅震荡。能量在L、C之间无损失地交替转换储存。
将K1u和C(t)K=2代uC入(0式) （0d 8e-–39t ）cos可(得dt–) +
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u3 (t) =ε( t)*[( 5.00
电 容 电 压 的 零 输 入 响 应 波 形
)* exp ( -3.00 t)]cos( 4.00 t -53.13 )
u c ( t ) 5 e 3 tc4 o t 5 . s 1 ) 3 ( ( t ) V
i2 (t) =ε( t)*[( 1.00 )* exp ( -3.00 t)]cos( 4.00 t +73.74 )
( t 0 )
i L ( t) C d d u t c 0 .0 e 3 t 4 [ 7 c4 o t) 2 s s4 ( 4 it) n ] e 3 t( c4 o t 7 s .7 3 ) ( A 4 ( t 0 )
用计算机程序DNAP画出的波形曲线，如图9－4(a)和(b)所示
(a) 衰减系数为3的电容电压的波形 (b) 衰减系数为3的电感电流的波形 (c) 衰减系数为0.5的电容电压的波形 (d) 衰减系数为0.5的电感电流的波形
电 感 电 流 的 零 输 入 响 应 波 形
例9-4 电路如图9-1所示。已知R=0, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V, iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的零 输入响应。
图9－1 RLC串联二阶电路
解：将R，L，C的量值代入式（9－4）计算出固有频率的
数值 s1 ， 22 R L 2 R L 2L 1 C 52 j5
为了得到图9－1所示RLC
串联电路的微分方程，先列出
KVL方程
图9－1 RLC串联二阶电路
u R ( t ) u L ( t ) u C ( t ) u S ( t )
i(t)iL(t)iC (t)Cd d u tc uR (t)R(t)iRd C d u tc uL(t)Ld dtiLd C d 2 tu 2c
C
数根，它们可以表示为
s 1 ， 2 2 R L 2 R L 2 L 1 C j 0 2 2 jd
其中
R
2L
0
1 LC
d 02 2
称为衰减系数 称为谐振角频率 称为衰减谐振角频率齐次微分方程的解答 Nhomakorabea有下面的形式
u C (t) e t[K 1cod t)s K (2sid n t)] (
利用电容电压的初始值uC(0)=2V和电感电流的初始值
iL(0)=1A得到以下两个方程：
uC (0)K 1K22 du d C t(t)t02K 14K2iL C (0)4
K1=6 K2=-4
最后得到电容电压的零输入响应为
u C ( t ) ( 6 e 2 t 4 e 4 t) V( t 0 )
u C ( t) K 1 e s tK 2 t e st ( 9 8 )
式中的两个常数K1，K2由初始条件iL(0)和uC(0) 确定。 令式(9-5)中的t=0得到
u C (0 ) K 1 (9 9 )
对式(9－5)求导，再令得到
d u d C t(t)t 0 K 1 s K 2 iL C (0 ) (9 1)0
i L ( t) e 3 tc4 o t 7 . s 7 3 ) ( ( 4 t)A
电 感 电 流 的 零 输 入 响 应 波 形
u3 (t) =ε(t)*[( 3.45
电 容 电 压 的 零 输 入 响 应 波 形
)* exp ( -.500 t)]cos( 4.97 t -29.66 )
将两个不相等的固有频率s1=j5和s2=-j5代入式（9-11）
得到 u c ( t ) [ K 1 c 5 t ) o K 2 s s 5 t ) i( n ]( t 0 ( )
利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值 iL(0)=0.28A 得到以下两个方程
uC(0)K13
u C ( 0 ) K 1 K 2 ( 9 6 )
对式(9－5)求导，再令t=0得到 d u d C t ( t)t 0 K 1 s 1 K 2 s 2 iL C ( 0 ) ( 9 7 )
求解以上两个方程，可以得到
K1＝s2－1s1
s2uC(0)
iL(0) C
K2＝s1－1 s2
图9－1 RLC串联二阶电路
解：将R，L，C的量值代入式(9-4)计算出固有频率的数值
s 1 ， 2 2 R L 2 R L 2 L 1 C 2 2 2 4 2 0 2 2
将两个相等的固有频率s1=s2=-2 代入式（9－8）得到
u c ( t ) K 1 e 2 t K 2 t e 2 t
解：将R，L，C的量值代入式（9－4）计算出固有频率
s 1 ， 2 2 R L 2 R L 2 L 1 C 3 3 2 8 3 1 4 2
将固有频率s1=-2和s2=-4代入式（9－5）得到
u C ( t ) K 1 e 2 t K 2 e 4 t
( t 0 )
时， s1, s2 为共轭复数根。欠阻尼情况。
二、过阻尼情况
当
R2
L C
时，电路的固有频率s1，s2为两个不相同的
实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式
u C ( t) K 1 e s 1 t K 2 e s 2 t ( 9 5 )
式中的两个常数K1，K2由初始条件iL(0)和uc(0) 确定。
K e tcod t s)(
(9 1)1
式中
KK 1 2K 2 2
arcK t2an
K 1
由初始条件iL(0)和uC(0)确定常数K1，K2后，得到电容 电压的零输入响应，再利用KCL和VCR方程得到电感电流 的零输入响应。
例9-3 电路如图9-1所示。已知R=6, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的 零输入响应。
(b) 电感电流的波形
图9－3 临界阻尼情况
u C (t) ( e 2 t 2 te 2 t) (t)V
电 容 电 压 的 零 输 入 响 应 波 形
iL(t)4te2t(t)A
电 感 电 流 的 零 输 入 响 应 波 形
四、欠阻尼情况
当 R 2 L 时，电路的固有频率s1，s2为为两个共轭复
电 容 电 压 的 零 输 入 响 应 波 形
iL (t) ( 3 e 2 t 4 e 4 t) (t)A
电 感 电 流 的 零 输 入 响 应 波 形
DNAP程序可以画出响应的波形。
三、临界情况
当 R2
L C
时，电路的固有频率s1, s2为两个相同的实
数s1=s2=s 。齐次微分方程的解答具有下面的形式
duC(t) dt
t05K2iLC (0)7
求解以上两个方程得到常数K1=3和K2=1.4，得到电容 电压和电感电流的零输入响应:
u C ( t) [ 3 c5 t o ) 1 .4 s s5 ( i t) n 3 ] .3 c (1 5 t o 2 s ) V 5 ( ( t 0 ) i L ( t) C d d u t C 0 .0 [ 1 4 s5 5 i t) n 7 c5 ( t o ) 0 ] . s 6 c (6 5 t o 6 s ) A 5 (( t 0 )
利用KCL和电容的VCR方程得到电感电流的零输入响 应
i L ( t ) i C ( t ) C d d u t C ( 3 e 2 t 4 e 4 t) A ( t 0 )
从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电 路各元件的能量交换过程。
u C (t) (6 e 2 t 4 e 4 t) (t)V
图9－4 欠阻尼情况
从式(9-11)和图9-4波形曲线可以看出，欠阻尼情况的 特点是能量在电容与电感之间交换，形成衰减振荡。电阻 越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。
当例9－3中电阻由R=6Ω减小到R=1Ω，衰减系数由3变 为0.5时，用计算机程序DNAP得到的电容电压和电感电流 的波形曲线，如图9－4(c)和(d)所示，由此可以看出曲线衰 减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容 电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。
其特征根为
s1 ， 22 R L 2 R L 2L 1C(94)
电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当R，
L，C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况
1.
R2
L C
时，
s1, s2
为不相等的实根。过阻尼情况。
2.
R2
L C
时，s1, s2 为两个相等的实根。临界阻尼
情况。
3.
R2
L C
图9－1 RLC串联二阶电路
解：将R，L，C的量值代入式(9-4)计算出固有频率的数值
s 1 ， 2 2 R L 2 R L 2 L 1 C 3 3 2 5 2 3 j4
将两个不相等的固有频率 s1=-3+j4 和 s2=-3-j4 代入式 （9－11）得到
u C ( t ) e 3 t [ K 1 c 4 t o K 2 ss 4 t ) i ]n ( t 0 ( )
联立求解以上两个方程，可以得到
K1 uC(0)
K2
iL(0) C
s1uC(0)
将 K1, K2的计算结果，代入式（9－8）得到电容电压 的零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电 感电流的零输入响应。
例9-2 电路如图9-1所示。已知已知R=1 ，L=0.25 H， C=1 F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求电容电压和电感电 流的零输入响应。
根据前述方程得到以下微分方程
Ld d 2 t u C 2 C R d d u tC C u C u S (t) (9 1 )
这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。 零输入响应方程为
Ld d 2 C t u 2 C R d d u t C C u C 0 ( 9 2 )