第九讲：静电场分析

3.1静电场分析

1、掌握静电场的基本方程和边界条件；

2、掌握静电场的电位函数及其微分方程，熟悉电位的边值关系；

3、掌握电容的概念，会计算双导体的电容，理解多导体系统部分电容的物理涵义。 重点：静电位的微分方程、电容的概念及典型双导体电容的计算。 难点：多导体系统的部分电容 讲授、练习 2学时

第3章 静态电磁场及其边值问题的解 本章研究对象：

场源（电荷、电流）不随时间变化，具体有： 1、静止电荷激发的静电场； 2、恒定运动电荷形成的恒定磁场； 3、恒定电流激发的恒定磁场。 本章主要内容：

1、静态场方程和边值关系；

2、位函数（电位、矢量磁位、标量磁位）及其满足的微分方程和边值关系；

3、静态场边值问题求解（镜像法、分离变量法、有限差分法）；

4、电磁场的能量和力*；

5、电容、电感、电阻。 3.1静电场分析

静场的源量,J ρ和场量,E B 不随时间变化，电场和磁场相互独立，可以分开研究。 一、静电场的基本方程和边值关系

微分形式：ρ=⋅∇=⨯∇D E

,

0 积分形式：0C

E dl ⋅=⎰ S

D dS q ⋅=⎰

边界形式：()

12ˆ0n e

E E ⨯-= ()

12ˆn S e D D ρ⋅-= 本构方程：D E ε=

二、静电场的标势及其微分方程 1、电位函数

1）数学定义

由于0=⨯∇E

，所以有：

()()E r r ϕ=-∇

式中标量函数()r ϕ称为静电场的电位函数，简称电位。

2）物理意义

在上式中，两边从P 到Q 点沿任意路径积分，有：

()()()Q

Q Q

P

P

P

E dl dl dl Q P l

ϕ

ϕϕϕ∂⋅=-∇⋅=-=--⎡⎤⎣⎦∂⎰

⎰⎰

从而：

()()Q

P

Q P E dl ϕϕ-=-⋅⎰ 上式表明：电位差()()P Q ϕϕ-的物理意义是把一个单位正电荷从点P 沿任意路 径移动到点Q 的过程中，电场力所做的功。

如果选择()0Q ϕ=，则：

()Q

P

P E dl

ϕ=⋅⎰

物理意义：空间某点的静电位在数值上等于从该点移送单位正电荷到零电位点电场力 做功。

3）性质 (a)相对性

()P ϕ的值与参考点的选择有关。但不论怎样选取参考点，都不会影响到电场E

的

值。不过，电位参考点的选取应满足以下要求：

第一，简单性：电位函数表示式取最简单的形式；如点电荷，若选0R 处为零电 位点，则：

001114R R ϕπε⎛⎫

=

- ⎪⎝⎭

当0R →∞时，电位的形式最简单。 第二，有限性：场中各点的电位有确定值；

第三，统一性：同一问题，只能选一个电位参照点。

通常可以选接地、导体表面、无穷远点为电位参考点。

(b)迭加性

()()ϕϕϕϕϕϕϕ-∇=+++-∇=∇+∇+∇-=+++=n n n E E E E

212121

n ϕϕϕϕ+++=∴ 21

上式表明电位是可加量。

4)电位的计算 (a)点电荷的电位

选无穷远点为电位参考点，则任意点的电位为：

()3

2000444R

R

R qR q q r E dl dl dR R R R ϕπεπεπε∞∞

∞=⋅=⋅==⎰⎰

⎰ (b)连续分布带电体的电位

利用电位的迭加，可以得到连续分布带电体的电位为：

()()

''0044V

V

r dq r dV R

R

ρϕπεπε==⎰

⎰

2、静电位的微分方程及边值关系

1）静电位的微分方程

对于均匀介质：E D

ε=，则有：

()2D εϕεϕρ∇⋅=∇⋅-∇=-∇=

故得：

ρϕ-=∇2

此方程称为静电场的泊松方程（Poisson Equation ）。 在无源区域内（0=ρ），上式化为：

02=∇ϕ

此方程称为拉普拉斯方程（Laplace Equation ）。

在不同的条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程是静电学的基本问题之一。

2）静电位的边值关系 （a ）介质分界面

2p

如果空间包含两种及以上的介质系统，则分界面上电场满足边值关系：

()

()

1212ˆˆ0n n S e

E E e

D D ρ⨯-=⋅-= 下面用势来表示这种边值关系： 在介质分界面附近取两点1和2，有：

2

1211221ˆˆn n E dl E e

l E e l ϕϕ-=⋅=⋅∆+⋅∆⎰ 因12,n n E E 有限，而12,0l l ∆∆→，所以：

120ϕϕ-= 或 12S S ϕϕ=

即：在介质两边分界面上，电势连续。

可以证明：12S S ϕϕ=与()

12ˆ0n e

E E ⨯-=等价。 证明：

''

12120,0ϕϕϕϕ-=-=

''

1122ϕϕϕϕ∴-=-

而 '1111t E l E l ϕϕ-=⋅∆=∆， '2222t E l E l ϕϕ-=⋅∆=∆

所以有：

12t t E E =或 ()

12ˆ0n e

E E ⨯-= 再看()

12ˆn S e

D D ρ⋅-=的势表示：

E ϕ=-∇ 且 D E ε=，

()()1122ˆn S e εϕεϕρ∴⋅-∇--∇=⎡⎤⎣⎦

即：

121

2S n n

ϕϕ

εερ∂∂-=-∂∂ 静电平衡状态下导体的性质：

✓ 导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面；

(b)导体界面

面自由电荷S ρε

2

E 1E 1

D 2

D