9信道的纠错编码详解

线性分组码
线性分组码的编码过程分为两步： 把信息序列按一定长度分成若干信息码组，每组由 k 位 组成； 编码器按照预定的线性规则(可由线性方程组规定)，把信 息码组变换成 n 重 (n>k) 码字，其中 (n－k) 个附加码元是 由信息码元的线性运算产生的。 信息码组长 k 位，有 2k 个不同的信息码组，则应该有 2k 个 码字与它们一一对应。
⑴满足用户对误码率的要求；
⑵有尽可能高的信息传输速率；⑶有来自可能简单的编译码算法且易于实现；
(4)可接受的成本。
纠错码的分类
按信息位与校验位的关系，可将编码分成以下两大类： （1）线性码——校验位与信息位呈线性关系（即可用一次 方程描述）。 （2）非线性码——校验位与信息位不呈线性关系。
按信息位与校验位之间的约束关系，可分为： （1）分组码——将信息符号分成k位一组，每组增加r位校验位，这r 位校验位仅与本组的k位信息位有关，与其他的信息位无关。 ① 循环码——除全零码字外，其余码字都可由另一码字的码符循 环移位得到； ② 非循环码——某个码字的循环移位不一定还是该码的码字。 （2）卷积码——将信息符号分成k位一组，每组增加r位校验位，这r 位校验位不仅与本组的k位信息位有关，还与前面m组的信息位有关。
差错类型
讨论码字序列c通过离散信道时发生的情况，信道分为无记忆信 道和有记忆信道。 l在无记忆信道中，噪声对传输码元的影响是相互独立的，即每一 个差错的出现与其前后是否有错无关,如图。在无记忆信道中，错 误是随机产生的，因此被称作随机错误，无记忆信道也被称为随机 信道（random channel）。
（３）混合纠错(HEC)方式： HEC (Hybrid Error Control) 方式是上述两种方式的结 合。发端发送的码既能检错、又有一定的纠错能力。收端 译码时若发现错误个数在码的纠错能力以内，则自动进行 纠错；若错误个数超过了码的纠错能力，但能检测出来， 则通过反馈信道告知发方重发。这种方式在一定程度上避 免了 FEC方式译码设备复杂和 ARQ方式信息连贯性差的 缺点。 在设计差错控制系统时，选择何种实现方式，应综合考 虑各方面的因素。主要有：
（１）前向纠错(FEC)方式 ： FEC (Forward Error Control) 方式是发端发送有纠错能 力的码（纠错码），接收端收到这些码后，通过纠错译码 器自动地纠正传输中的错误。
l优点是不需要反馈信道； 能进行一个用户对多个 用户的同时通信，特别 适合于移动通信；译码 实时性较好，控制电路 也比较简单。
码率/信道的传信率：R=logM/n=k /n。它表示信道编码后每 个码符号携带的信息量，说明了信道的利用效率，R是衡量 编码性能的一个重要参数。
一致监督方程和一致监督矩阵
一致监督方程： 编码就是给已知信息码组按预定规则添加监督码元，以 构成码字。
在 k 个信息码元之后附加 r(r=n－k) 个监督码元，使每 个监督元是其中某些信息元的模2和。
第九章 信道的纠错编码
第九章 信道的纠错码
内容提要 目前，几乎所有得到实际应用的纠错码都是线 性的。本章首先介绍有关纠错码的基本概念， 然后重点论述线性分组码的定义及其编译码理 论。在此基础上，介绍了一种典型的线性分组 码：汉明码。
纠错码的基本概念
信道纠错编码
香农第二定理指出，当信息传输速率低于信道容量时， 通过某种编译码方法，就能使错误概率为任意小。目 前已有了许多有效的编译码方法，并形成了一门新的 技术——纠错编码技术。 这里所讲的纠错编码即信道编码，与信源编码一样都 是一种编码，但两者的作用是完全不同的。 l信源编码的目的是压缩冗余度，提高信息的传输速率。 l信道编码的目的是提高信息传输时的抗干扰能力以增 加信息传输的可靠性。
一致监督方程/一致校验方程：确定信息元得到监督元规 则的一组方程称为监督方程/校验方程。由于所有码字都 按同一规则确定，又称为一致监督方程/一致校验方程。 由于一致监督方程是线性的，即监督元和信息元之间是 线性运算关系，所以由线性监督方程所确定的分组码是 线性分组码。
线性分组码：通过预定的线性运算将长为 k 位的信息码组 变换成 n位的码字 (n>k)。由 M=2k 个信息码组所编成的 2k 个码字集合，称为线性分组码。 码矢：一个 n 重的码字可以用矢量来表示
C=(Cn－1,Cn－1,…,C1,C0 )
所以码字又称为码矢。 (n,k) 线性码：信息位长为 k，码长为 n 的线性码。
简化的信息传输系统模型
模型突出了以控制差错为目的的纠错码编码器和译码器， 因此也称为差错控制系统。
在差错控制系统中使用的码按其纠错能力的不同可分为两 种：检错码和纠错码。
能发现错误但不能纠 正错误的码称为检错码 ；
不仅能发 现错误而且还 能纠正错误的 码称为纠错码。
差错控制系统大致可分为前向纠错、反馈重发和混合纠错 等三种方式。
l缺点是译码设 备较复杂；编码 效率较低。
（２）反馈重发(ARQ)方式: ARQ (Automatic Repeat Request) 方式是：发端发出能 够发现错误的码（检错码），收端译码器收到后，判断在 传输中有无错误产生，并通过反馈信道把捡测结果告诉发 端。发端把收端认为有错的消息再次传送，直到收端认为 正确接收为止。 l优点是译码设备简单，在多余度一定的情 况下，码的检错能力比纠错能力要高得多，因 而整个系统能获得极低的误码率。 l应用ARQ方式必须有一条从收端至发端的反馈 信道。并要求信源产生信息的速率可以进行控制， 收、发两端必须互相配合，其控制电路比较复杂， 传输信息的连贯性和实时性也较差。
二进制对称信道
l有记忆信道中，各种干扰所造成的错误往往不是单个地，而是成 群、成串地出现，表现出错误之间有相关性。下图就是这种信道的 一个模型。
有记忆信道模型 就实际信道而言，由于其干扰的复杂性，往往是两种错误并存。 随机错误与突发错误并存的信道，称为组合信道或复合信道。
差错控制系统模型及分类
为了方便研究，将信息传输系统模型简化成下图所示的简化模型