极限的概念与性质ppt课件

散
xn (1)n1 趋势不定
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数学定义：若数列 及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列 的极限为 a , 记作
lim
n
xn
a
或 xn a (n )
几何解释 :
(
a xN 1
)
xN2 a
a xn a
(n N)
即xn U ( a , )
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例1. 证明
(注意x =1无定义)
证: f (x) A
故 0, 取 , 当 x2 1 2
x 1
因此
lim x2 1 2 x1 x 1
时, 必有
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例2. 证明: 当
时
证:
1 x0
x x0
0, 欲使
只要
且
而
可用
保证 . 故取
n
故
lim
n
xn
lim n (1)n n n
1
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例2. 已知
证明
证: xn 0
(n
1 1) 2
1 n 1
(0, 1 ) , 欲使
只要 1 , 即 n 1 1.
2
n 1
取 N [ 1 1]
故
lim
n
xn
说明: 1. N 与
, 则当 n N 时,
lim
记作
lim
n
xn
a.
或
xn a, (n )
极限存在的数列称为收敛数列。
极限不存在的数列称为发散数列。
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例如,
1,2 23
,3 4
,
, n , n 1
xn
n n 1
1
(n )
收
敛
xn
n (1)n1 n
1
(n )
2 , 4 , 8 , , 2n , xn 2n (n ) 发
min x0 , x0, 则当 0 x x0 时, 必有
因此
lim
x x0
x
x0
O x x0
x
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2. 左极限与右极限 (单侧极限)
左极限 :
f
(x0 )
lim
x x0
f
(x)
f (x0
0)
n
(1)n (n 1)2
0
有关, 但不唯一.
就有 xn
也可由
0 xn
,
0
1 (n1)2
不一定取最小的 N .
取
N
1
1
2.
利用不等式的放缩故.也可取
N
[
1
]
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例3. 设 q 1 , 证明等比数列
的极限为0 .
证: xn 0
欲使
只要
即
亦即 n 1 ln .
ln q
因此
(n N)
只有有限项(至多N项)在邻域 U ( a , ) 之外。
ε 英文注音 epsilon 中文注音 伊普西龙
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例1. 已知
证明数列 的极限为1.
证明:
xn 1
n (1)n 1 n
0 , 欲使
即
只要
n
1
因此 ,
取
N
[1 ],
则当
n
N
时, 就有
n (1)n 1
应用极限方法研究各类变化率问题 和几何学中 曲线的切线问题，就产生了微分学；
应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到 微小量无穷积累的问题， 就产生了积分学。
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一、数列极限的定义
按照一定规律排列的一列数 x1, x2 , , xn , 称为一个数列。xn 称为数列通项，数列简记为 {xn}。
,
取
N
1
ln
ln q
,
则当
n
>
N
时,
就有
qn1 0
故
lim qn1 0
n
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例4.
若
lim
n
an
A,
则 lim n
a1
a2
n
an
A.
证明：由于
lim
n
an
A,
故
0,
正整数
N1,
当n
N1
时，an
A
2
,
记
M
a1 A
a2 A
aN1
A,
易知
lim
n
M n
n
n
M n N1 .
n n 2 22
所以 lim a1 a2 an A.
n
n
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第一章
二、函数的极限
自变量变化过程的六种形式:
主要内容 : 1、自变量趋于有限值时函数的极限 2、左极限、右极限 3、自变量趋于无穷大时函数的极限
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0.
于是
正整数 N2, 当 n N2时，Mn
.
2
取 N max{ N1, N2}, 则当 n N 时，有
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a1 a2 an A n
(a1 A a2 A aN1 A) (aN11 A an A) n
| a1 A | | a2 A | | aN1 A | | aN11 A | | an A |
第二节
第一章
极限的概念与性质
一、数列的极限 二 、函数的极限 三 、函数的极限的性质
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引言
自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是 计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋势 才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生的 客观基础。
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割圆术
1、自变量趋于有限值时函数的极限 定义1 . 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 ,
若 0, 0,当 0 x x0 时, 有 f (x) A
则称常数 A 为函数 当
时的极限, 记作
lim f (x) A 或
x x0
即
当wk.baidu.com
时, 有
几何解释:
y
A
A
A
O
y f (x)
(
x0
)
x
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正 6 2形n1的面积 An
A1 , A2 , A3 , , An ,
S
说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正
3072边形得到圆周率 的近似值为3.1416
割圆术就是极限思想在几何上的应用
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微积分是一门以变量为研究对象、以极限方法 作为研究工具的数学学科：
1
2
n
:
1 2
,
1 4
,
1 , 8
,
1 2n
,
xn 趋向于某个确定的数
(1)n : 1, 1, 1, 1, , (1)n ,
xn 不趋向于某个确定的数
y ... . . ...
O x
.. .
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定义：设数列{xn},如果通项 xn 当项数 n无限增大时， 无限趋近于某个常数 a, 则称 a 为数列 {xn}的极限。
1
2n
:
1 2
,
1 4
,
1 8
,
,
1 2n
,
n
n
1
:
1 2
,
2 3
,
3 , 4
,
n , n 1
(1)n : 1, 1, 1, 1, , (1)n ,
3n: 3, 6, 9, , 3n,
数列 {x可n}视为定义在自然数集上的函数： xn f (n), n 1,2, .
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