导数与微分 课件

解: 因为 y sin(x x) sin(x) 2sin x cos(x x)
2
2
于是
y
2 s in
x 2
cos(x
x ) 2
2
sin
x 2
cos(x
x )
x
x
x
2
所以
x
lim y lim sin 2 x0 x x0 x
cos(x x ) cosx 2
即
(sin x) cosx,
x0 x x0
x
注意
1.导数的实质就是函数的改变量比自变量的改变量当自变 量的改变量趋于零时的极限值.(两个改变量必须相互对应)
2.按导数的定义求函数 y f (x)在 x x0 处的导数一般分 为三步: (1)求函数的改变量 y f (x0 x) f (x0 )
(2)求函数的平均变化率 y f (x0 x) f (x0 )
lim x0
x0 x
1
f
(0)
lim
x0
f (x) f (0) x0
sin x 0
lim
1
x0
x
于是
f(0) f(0) 1
即知 f (0) 1
例2.1.4
设函数y
x
2
,
x 0 ,求 f (x) .
sin x, x 0
解:当 x 0 时，f (x) (x2 ) 2x
当 x 0 时，f (x) (sin x) cosx
tan
，即：
tg
lim
t 0
s t
vt0
物体在 t0 时刻的瞬时速度在几何上就是运动曲线s s(t)
在点(t0, s(t0 )) 处切线的斜率.
一般来讲，一个函数 y f (x) 对应于一条曲线，曲线上的
某一点 P0 (x0 , f (x0 )) 处的切线斜率tan 如果存在，则：
tan lim y lim f (x0 x) f (x0 )
[u(x) v(x)] u(x) v(x)
同理可证 [u(x) v(x)] u(x) v(x)
(2) [u(x) v(x)] u(x) v(x) u(x) v(x)
推广: 若 u1 (x), u2 (x), ,un (x)在x 处都可导，则
[u1
(
x)
u
2
(
x)
u
n
(
x)]
u1
[u1
(
x)
u2
(
x)
un
(
x)]
u1
(
x)
u2
(
x)
u
n
(
x)
证明: 由导数定义可知
[u(x) v(x)] lim [u(x x) v(x x)] [u(x) v(x)]
x0
x
lim
x0
u
(
x
x) x
u(x)
v(x
x) x
v(x)
由于u(x)和 v(x)在点 x 处可导，所以：
1
x0
x
v(x) v(x x)
lim
x0
u(
x
x) x
u(x)
x
x
(3)取极限,求得导数
f
(x0 )
lim y x0 x
lim
x0
f
(x0
x) x
f
(x0 )
例2.1.1 求函数 y c ( c 为常数)的导数 y
解: 利用导数定义求:
因为 y c c 0
所以 y
cc
lim lim
0
x0 x x0 x
即 (c) 0
例2.1.2 求函数 y sin x的导数 y及 y(0)
(3)
v(x)
v2 (x)
(v(x) 0)
特别地，当u(x) c ( c 为常数)时，有
[cv(x)] cv(x)
c v(x)
cv ( x) v2 (x)
证明:
u(x)
v(x)
lixm0
u(x v(x
x) x)
u( x) v(x)
1 x
lim u(x x) v(x) u(x) v(x x)
函数四则运算的求导法则
定理2.2.1 设函数 u(x) 和 v(x) 在点x 处可导,则函数u(x) v(x),
u(
x)
v(
x)以及
u(x) v(x)
(v(x) 0)在
x
处也可导，且
（1） [u(x) v(x)] u(x) v(x)
推广: 若 u1 (x), u2 (x), ,un (x) 在 x 处都可导，则
(
x)
u
2
(
x)
un
(
x)
u1
(
x)
u
2
(
x)
u
n
(
x)
u1
(
x)
u2
(
x)
u
n
(
x)
证明: 由导数定义可知
[u(x) v(x)] lim u(x x) v(x x) u(x) v(x)
x0
x
lixm0 u (
x
x)
v(x
x) x
u(x)
v(x
x)
u(x) v(x x) u(x) v(x)
第2章 导数与微分
导数和微分是微积分学的主要组成部分,是解决 有关速度和优化问题的有力工具。 坚定的信心，能使平凡的人们做出惊人的事业。
马尔顿
第2章 导数与微分
第2.1节 导数的基本概念 第2.2节 导数的运算 第2.3节 微分 第2.4节 Mathematica环境下导数
与微分的计算
如图2所示,割线PT的斜率 tan 的极限就是切线PM的斜率
x
lim
x0
u(
x
x) x
u(
x)
v(
x
x)
u(
x)
v(
x
x) x
v(
x)
由于u(x) 和 v(x)在点 x 处可导，v(x)在点 x 处连续，故有
lim v(x x) v(x)
x0
所以 [u(x) v(x)] u(x) v(x) u(x) v(x)
u(x) u(x) v(x) u(x) v(x)
在x 0 处，由于
f(0)
lim
x0
f (x) f (0) x0
lim x0
x2 0 x
0
f
(0)
lim x0
f (x) f (0) x0
sin x 0
lim
1
x0
x
因此 f(0) f(0) ，故 f (0)不存在。综上知
f
(x)
2x , c os x
,
x0 x0
可导区间: 如果函数 y f (x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导,则
2 y(0) cos0 1
同理可求得 (cosx) sin x
例2.1.3
x, x 0
设函数 y sin x, x 0 ,求f (0) .
解: 由于在点 x 0 两侧，函数的表达式不同，则需分别
计算 f(0) 和 f(0) . 因为：
f(0)
lim
x0
f (x) f (0来自百度文库 x0
称 f (x) 在 (a,b)内可导。如果y f (x)在(a,b) 内可导,且在x a 处右导数存在(称 f (x) 在a 点右可导),在x b 处左导数存在 (称 f (x) 在 b 点左可导),则称 f (x)在闭区间[a,b]上可导,并称相 应区间为函数 f (x)的可导区间.
第2.2节 导数的运算