应用随机过程第三章Poisson_过程剖析
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
设{N(t)，t 0}是一个计数过程，且满足： (1) N(0)=0； (2)该过程是平稳独立增量过程； (3) 0, 当h 0时， P（N(t+h )-N(t)=1） h o(h)； P（N(t+h )-N(t) 2） o(h).
将事件进行分解，再运用 （3）’.
计数过程、Poisson过程
定义 3.1
随机过程{N(t)，t 0}称为计数过程，若N(t)表示 时间段[0,t]内某一事件A发生的次数，且满足 (1) N(t)取值为非负的整数; (2) 当s<t 时，N(s) N(t)且N(t) N(s)表示 (s,t]时间内事件A发生的次数.
定义 3.2
( pt )m pt 即 P(M(t)=m) e . m ！
P(M(t)=m)= P(M(t)=m|N(t)=m+n) P（N(t)=m+n）
mn ( t ) m n t = Cn p (1 p ) e m+n (m n)! n =0 n ( (1 p ) t ) e t ( pt ) m m ！n ! n =0 m n ( pt ) ( (1 p ) t ) e t m ！ n =0 n! m ( pt ) e t e (1 p )t m ！ m ( pt ) pt e . m ！ n=0
(2)由Poisson过程的平稳独立增量性及N (1)的分布，得 P( N (4) N (3) 0 | N (3) N (2) 0) P( N (4) N (3) 0) P( N (1isson过程的平稳独立增量及N (t )的分布，得 P( N (4.5) N (0) 10, N (5.5) N (0) 20) P( N (4.5) N (0) 10, N (5.5) N (4.5) 10) P( N (4.5) N (0) 10) P( N (5.5) N (4.5) 10) P( N (4.5) 10) P( N (1) 10) (10 4.5)10 104.5 (10 1)10 101 e e 10! 10! 10 45 10 55 e . 2 (10!)
第3章
主要内容:
Poisson 过程
1. 背景及定义 2. 与Poisson过程相关的分布 3. Poisson过程的推广
学习要求:
1．了解Poisson过程的基本概念极其背景。 2．掌握与Poisson过程相联系的、分布。 3．了解几种推广的Poisson过程。
§3.1 Poisson 过程
{N(t)，t 0}： 在“排队模型”中刻画[0,t]内来到的顾客数； 在“风险模型”中表示[0,t]内发生的理赔次 数.
3.2 与Poisson过程相关的分布
(2).E[N(t)]= t, 即Poisson过程的均值函数为 t. 这 里的直观意义是单位时间内发生事件的平均次数, 被称为Poisson过程的强度或速率.
Poisson过程的应用
1. Poisson过程在排队论的应用
在随机服务系统中的排队模型中，可以用Poisson 过程模拟在一定时间段内顾客到达(或电话呼叫) 的数目.
Poisson过程分解定理
作业
• 例题：
设南京火车站某个售票窗口，前来购票的乘客数 构成了一个Piosson过程. 设从凌晨0:00开始，此 售票窗口连续售票，乘客按照10人/时的平均速率 到达. 试求： (1) 从1：00到2：00这1小时内最多由5名乘客来此 购票的概率是多少？ (2) 若已知从2：00到3：00没有人来买票，那么在 未来的1小时内，仍无乘客到来的概率是多少？ (3) 若到4：30时共有10名乘客到来，且到5：30时 总计已到达20位乘客的概率是多少？
解：设0:00为0时刻.
(1)由Poisson过程的平稳增量性及N (1)的分布，知 P ( N (2) N (1) 5) P( N (1) 5) P ( N (1) n)
n (10 1) e 101 n! n 0 n 5 10 e 10 . n0 n ! n0 5 5
2. Poisson过程在保险理论的应用
Poisson过程{N(t),t 0}可表示某公路交叉口、煤 矿、工厂等在(0,t]时间内发生事故的次数.同时 保险公司会接到索赔请求，假设一次事故只导致 一次索赔，那么保险公司所接受的索赔数目可用 Poisson过程表示.
Poisson过程的等价定义：
计数过程{N(t)，t 0}称为参数为 ( 0)的Poisson过程， 如果 (1) N(0)=0； (2)该过程是独立增量过程； (3)对任意的s, t 0,
n （ t ） P（N(t+s)-N(s)=n） e t , n 0,1, 2, .... n！
注释
(1).由定义3.2（3）知 Poisson过程具有平稳增量性.
化为解微分方程
两边同乘eλt
再由数学归纳法得
例 3.3
(t) - t Pn(t)= e . n!
n
事件A的发生形成了强度为的Poisson过程 {N(t), t 0}.如果每次事件发生时被记录下 来的概率为p，并用M(t)是一个强度为 p的 Piosson过程.
解答：
因为每次事件发生时，对它记录还是没记录与其 他事件的记录与否独立，而且事件发生形成了 Poisson过程，所以M(t)也具有平稳独立增量 性.下证M(t)服从 pt的Poisson分布.
将事件进行分解，再运用 （3）’.
计数过程、Poisson过程
定义 3.1
随机过程{N(t)，t 0}称为计数过程，若N(t)表示 时间段[0,t]内某一事件A发生的次数，且满足 (1) N(t)取值为非负的整数; (2) 当s<t 时，N(s) N(t)且N(t) N(s)表示 (s,t]时间内事件A发生的次数.
定义 3.2
( pt )m pt 即 P(M(t)=m) e . m ！
P(M(t)=m)= P(M(t)=m|N(t)=m+n) P（N(t)=m+n）
mn ( t ) m n t = Cn p (1 p ) e m+n (m n)! n =0 n ( (1 p ) t ) e t ( pt ) m m ！n ! n =0 m n ( pt ) ( (1 p ) t ) e t m ！ n =0 n! m ( pt ) e t e (1 p )t m ！ m ( pt ) pt e . m ！ n=0
(2)由Poisson过程的平稳独立增量性及N (1)的分布，得 P( N (4) N (3) 0 | N (3) N (2) 0) P( N (4) N (3) 0) P( N (1isson过程的平稳独立增量及N (t )的分布，得 P( N (4.5) N (0) 10, N (5.5) N (0) 20) P( N (4.5) N (0) 10, N (5.5) N (4.5) 10) P( N (4.5) N (0) 10) P( N (5.5) N (4.5) 10) P( N (4.5) 10) P( N (1) 10) (10 4.5)10 104.5 (10 1)10 101 e e 10! 10! 10 45 10 55 e . 2 (10!)
第3章
主要内容:
Poisson 过程
1. 背景及定义 2. 与Poisson过程相关的分布 3. Poisson过程的推广
学习要求:
1．了解Poisson过程的基本概念极其背景。 2．掌握与Poisson过程相联系的、分布。 3．了解几种推广的Poisson过程。
§3.1 Poisson 过程
{N(t)，t 0}： 在“排队模型”中刻画[0,t]内来到的顾客数； 在“风险模型”中表示[0,t]内发生的理赔次 数.
3.2 与Poisson过程相关的分布
(2).E[N(t)]= t, 即Poisson过程的均值函数为 t. 这 里的直观意义是单位时间内发生事件的平均次数, 被称为Poisson过程的强度或速率.
Poisson过程的应用
1. Poisson过程在排队论的应用
在随机服务系统中的排队模型中，可以用Poisson 过程模拟在一定时间段内顾客到达(或电话呼叫) 的数目.
Poisson过程分解定理
作业
• 例题：
设南京火车站某个售票窗口，前来购票的乘客数 构成了一个Piosson过程. 设从凌晨0:00开始，此 售票窗口连续售票，乘客按照10人/时的平均速率 到达. 试求： (1) 从1：00到2：00这1小时内最多由5名乘客来此 购票的概率是多少？ (2) 若已知从2：00到3：00没有人来买票，那么在 未来的1小时内，仍无乘客到来的概率是多少？ (3) 若到4：30时共有10名乘客到来，且到5：30时 总计已到达20位乘客的概率是多少？
解：设0:00为0时刻.
(1)由Poisson过程的平稳增量性及N (1)的分布，知 P ( N (2) N (1) 5) P( N (1) 5) P ( N (1) n)
n (10 1) e 101 n! n 0 n 5 10 e 10 . n0 n ! n0 5 5
2. Poisson过程在保险理论的应用
Poisson过程{N(t),t 0}可表示某公路交叉口、煤 矿、工厂等在(0,t]时间内发生事故的次数.同时 保险公司会接到索赔请求，假设一次事故只导致 一次索赔，那么保险公司所接受的索赔数目可用 Poisson过程表示.
Poisson过程的等价定义：
计数过程{N(t)，t 0}称为参数为 ( 0)的Poisson过程， 如果 (1) N(0)=0； (2)该过程是独立增量过程； (3)对任意的s, t 0,
n （ t ） P（N(t+s)-N(s)=n） e t , n 0,1, 2, .... n！
注释
(1).由定义3.2（3）知 Poisson过程具有平稳增量性.
化为解微分方程
两边同乘eλt
再由数学归纳法得
例 3.3
(t) - t Pn(t)= e . n!
n
事件A的发生形成了强度为的Poisson过程 {N(t), t 0}.如果每次事件发生时被记录下 来的概率为p，并用M(t)是一个强度为 p的 Piosson过程.
解答：
因为每次事件发生时，对它记录还是没记录与其 他事件的记录与否独立，而且事件发生形成了 Poisson过程，所以M(t)也具有平稳独立增量 性.下证M(t)服从 pt的Poisson分布.