模糊概率

模糊概率的水资源短缺风险评价模型
郝卜王猛吴迪
（物理系电信092班，物理系电信092班，经贸系物管091班，）
摘要：本文基于模糊概率理论建立了水资源短缺风险评价模型，可对水资源短缺风险发生的概率和缺水影响程度给予综合评价，首先构造隶属函数以评价水资源系统的模糊性，基于水资源短缺的模糊综合评判方法建立了一种风险等级划分模型，利用判别分析识别出水资源短缺风险敏感因子作为实例对北京市年的水资源短缺风险研究表明水资源总量，工业用水量，农业用水量是北京市水资源短缺的主要致险因子，再生水回用和南水北调工程可使北京地区和年各种情景下的水资源短缺均降至低风险水平。

最后建立灰色GM(1.1)模型对未来北京地区可能发生的风险进行预测。

关键词：模糊概率水资源风险评价模型致险因子
一问题的提出
水资源，是指可供人类直接利用，能够不断更新的天然水体。

主要包括陆地上的地表水和地下水。

风险，是指某一特定危险情况发生的可能性和后果的组合。

水资源短缺风险，泛指在特定的时空环境条件下，由于来水和用水两方面存在不确定性，使区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及由此产生的损失。

近年来，我国、特别是北方地区水资源短缺问题日趋严重，水资源成为焦点话题。

以北京市为例，北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一，其人均水资源占有量不足300m3，为全国人均的1/8，世界人均的1/30，属重度缺水地区，附表中所列的数据给出了1979年至2000年北京市水资源短缺的状况。

北京市水资源短缺已经成为影响和制约首都社会和经济发展的主要因素。

政府采取了一系列措施, 如南水北调工程建设, 建立污水处理厂,产业结构调整等。

但是，气候变化和经济社会不断发展，水资源短缺风险始终存在。

如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。

《北京2009统计年鉴》及市政统计资料提供了北京市水资源的有关信息。

利用这些资料和你自己可获得的其他资料，讨论以下问题：
1：评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子是什么？
: 影响水资源的因素很多,例如：气候条件、水利工程设施、工业污染、农业用水、管理制度，人口规模等。

2：建立一个数学模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价，作出风险等级划分并陈述理由。

对主要风险因子,如何进行调控，使得风险降低？
3 ：对北京市未来两年水资源的短缺风险进行预测，并提出应对措施。

4：以北京市水行政主管部门为报告对象，写一份建议报告。

二分析问题：
2.1 对问题的初步分析
现在我们通过影响北京地区水资源风险的因子，来讨论对北京市水资源短缺风险进行综合评估。

（1）评价判定北京市水资源短缺风险的风险因子：
气候条件、水利工程设施、工业污染、农业用水、管理制度，人口规模；
2.2利用模糊概率理论建立了水资源短缺风险评价模型求解水资源短缺风险发生的概率。

本文认为北京市水资源短缺风险是指在特定的环境条件下，由于来水和用水量的多少存在模糊不确定性，使区域水资源系统发生供水短缺的概率以及相应的缺水影响程度无法准确定位，基于上述理由设计了模糊概率的水资源短缺风险评价模型。

从随机模型或模糊模型的角度分别探讨水资源短缺风险问题而水资源系
统是一个复杂的大系统广泛存在着随机性和模糊性由于随机性是因果律的破缺模糊性是排中率，所以应在水资源短缺风险评价模型的设计中同时考虑这两种因素的影响来求解水资源短缺风险发生的概率。

2.3 建立灰色GM(1.1)模型对未来北京地区可能发生的风险进行预测。

研究表明，GM(1.1)模型是城市用水量风险预测的一种有效的方法，但利用GM(1，1)模型难以反映序列的随机波动性。

本文提出的平移变换和几何平均变换方法。

不仅能构造更适合建立GM(1，1)模型的单调递增序列，也能有效地弱化原始序列的随机性，并保持其单调性。

通过北京市1976-2000年用水量的预测结果表明，此方法能够反映出城市用水量所具有的波动特性。

提高GM(I ，1)模型的预测精度，可应用于对灰色振荡序列建立GM(1，1)模型，从而扩大了GM(1，1)模型的应用范围。

三模型的基本假设
1、假设认为水资源系统发生供水短缺只考虑主要因素的影响。

2、假设认为远离期望的低概率数据为异常数据，可以忽略。

3、假设认为互联网中所提供的的数据都是真实有效的。

4、假设认为风险等级的划分根据历年平均以及经验值划分是合理的，忽略其它因素的影响。

5、假设认为可以忽略水资源系统发生供水短缺中各个因素之间的相互影响。

四、符号说明
1、X--为水资源系统状态变量
2、λ--为需水量
3、P --为供水量
4、T--为水资源系统工作的总历时
5、It--是水资源系统的状态变量
6、σ--标准差
7、σ---半标准差
8、v C --风险度
9、Wc--模糊集 10、x--为缺水量
11、x w (μ)--为缺水量在模糊集上的隶属函数 12、U--是模糊子集
13、P(x)--是x 对应的概率 14、a,u--为辨别参数
15、)1()
1(+∧k x --时间响应函数
五、模型建立与求解
5.1北京市水资源短缺风险的风险因子的分析：
北京市水资源短缺主要存在的问题有: (1) 北京市长期超采地下水，导致地下水位下降;(2)工业水污染加重了水危机;(3)人口膨胀和城市化发展加大了生活用水需求等。

因此,导致北京水资源短缺的主要原因有资源型缺水和水质型缺水等。

影响北京水资源短缺风险的因素可归纳为以下两个方面:(1)自然因素:1：人口数;2：入境
水量;3：水资源总量;4：地下水位;(2)社会经济环境因素:1：工业用水量;2：污水排放量;3：第三产业及生活用水量;4：农业用水量。

5.1.1.水资源短缺风险评价指标
5.1.1.1风险率 根据风险理论,荷载是使系统“失事”的驱动力,而抗力则是对象抵御“失事”的能力。

如
果把水资源系统的失事状态记为F ∈(λ>ρ),正常状态记为S ∈(λ<ρ),那么水资源系统的风险率为[1]
r=P(λ>ρ) =P {X∈F} ( 1 ) 式中:X 为水资源系统状态变量 λ为需水量 P 为供水量
如果水资源系统的工作状态有长期的记录,风险率也可以定义为水资源系统不能正常工作的时间与整个工作历时之比,即
∑==T t t
I T a 11 ( 2 )
式中:T 为水资源系统工作的总历时;It 是水资源系统的状态变量。

⎩⎨⎧1
5.1.1.2 风险度 用概率分布的数学特征,如标准差σ或半标准差σ-,可以说明风险的大小。

σ和σ-越大,则风险越大,反之越小。

这是因为概率分布越分散,实际结果远离期望值的概率就越大。

2/11
22
/1])1/())(([))X ((∑=--==n
i i n X E X D σ （3）
或
2/11
22/1])())(([))
X ((∑=-==n
i i i X P X E X D σ （4）
用σ、σ-比较风险大小虽简单,概念明确,但σ-为某一物理量的绝对量,当两个比较方案的期望
值相差很大时,则可比性差,同时比较结果可能不准确。

为了克服用σ-可比性差的不足,可用其相对
量作为比较参数,该相对量定义为风险度FDi,即标准差与期望值的比值(也称变差系数)
i i v X E C μσσι/==)(/ （5） 风险度不同于风险率,前者的值可大于1,而后者只能小于或等于1。

根据附件表及公式（2）（3）（5）得出如下表 ：（表一）
水资源系统工作正常（
S
X ⊂）
水资源系统不正常工作(F X ⊂)
（表一）
经过以上大量的分析计算，可知影响北京地区水资源短缺风险的敏感因子有：工业用水量、农业用水量、第三产业用水量。

5.2基于模糊概率的水资源短缺风险模型及应用
5.2.1对于一个供水系统来说所谓失事主要是供水量Wa 小于需水量Wb 从而使供水系统处于失事状态基于水资源系统的模糊不确定性构造一个合适的隶属函数来描述供水失事带来的损失定义模糊集Wc 如下:
}
1)(0:{≤≤=x x Wc w μ （6）
式中:x 为缺水量,x=Wn-Ws, x w (μ)为缺水量在模糊集上的隶属函数构造如下 0, αW x ≤≤0
p
m W W W x ⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--αα ， m W x W α （7）
1， m W x ≥
式中:Ws 、Wn 分别为供水量和需水量;Wa 为缺水系列中最小缺水量;Wm 为缺水系列中最大缺水量;p 为大于1的正整数。

基于模糊隶属度的风险计算模型
“风险”这个词本身就是一个模糊概念．对“风险”的度量不是用0，1(即经典集合论)，而是用[0，I]上某一值来度量(即模糊集)。

(2)模糊风险率计算
设模期事件A 的模糊概率为P(A)，则模糊风险率的计算也有两种情况： 一种是，如果模糊事件A 为“失事事件”(缺水)，则A 的模糊风险率为： FP(A)=1一P(A) （8）
其中，P(A)的计算式如下：
P （A ）=
∑∈A
x x p x )()(μ （9）
其中：U 是模糊子集；隶属度函数；P(x)一是x 对应的概率。

(3)模糊风险度计算 模糊事件A 的期望： E(A)=)
()
()(A p xi p xi xi A
x ∑∈μ （10）
方差定义为：
2
2
2
))(()()(A E A E A -=σ （11） A 的模糊风险度定义为： FD （A ）=
)
()
(2A E A σ （12）
根据以上公式及相应内容得出下表：
ΣXiP(Ai)=217.478277 ;
ΣP(A)=9.2042 ;
ΣXi2P(Ai)=5378.1884 ;
E(A)= ΣXiP(Ai)/ΣP(A)=23.6282 ;
E(A2)= ΣXi2P(Ai)/ΣP(A)=584.3189 ;
σ2(A)= E(A2)-( E(A))2=26.0271 ;
FD(A)= √(σ2(A))/ E(A)=0.2159
（表二）
上述风险定义将水资源短缺风险存在的模糊性和随机性联系在一起,其中,随机不确定性体现了水资源短缺风险发生的概率,而模糊不确定性则体现了水资源短缺风险的影响程度依据概率和隶属函数的形式计算水资源短缺风险FD（Ａ）。

通过对每年的风险分析，运用mathematia软件及上表内容绘制图形如下：
（表三）
通过图形分析，1987，1991和1996年均没有发生水资源短缺风险且水资源短缺风险模拟值均为0，其中1987，1996年风险发生的概率均不到百分70，这和实际情形是吻合的以年为
m但实例该年风险发生的计算概率为百分58，这一年的实际情况是水资源总量仅,42.29亿3
m已处于风险的边缘状态,虽1982,1984,1985,1994,1998年等
际总用水量已达到42.03亿3
缺水计算概率较高,但由于其缺水影响程度较小,所以由模糊概率计算其相应的水资源短缺风险综合评价值较小,由图进一步分析可知只要真实风险存在（缺水发生），描述风险发生的概率均超过了百分70，,1999年为例说明，1999年是枯水年水资源短缺风险模拟计算值最大，描述风险发生的概率接近百分100，以上分析说明模型的计算结果与实际情形是吻合的可以付诸应用。

5.2建立灰色GM(1.1)模型对未来北京地区可能发生的风险进行预测。

由于影响北京地区水资源风险环境是一个多层次的复杂系统，从而可利用灰色系统理论，把影响北京地区水资源风险环境视为灰色系统，风险因子看作是在一定范围内变化的灰色变
量，建立GM(1，1)模型。

5.2.1GM(1。

1)模型建立原理 设原始数列为{)()
0(k x
}为单变量数列，建立一阶GM(1，
1) 模型⋯以数列{k x ()
0() }作平移变换
{)()
1(k x }=
,5,4,3,2,1),(1
)0(=∑=k i x k
i ……n (13) 以{)()1(k x }建立微分方程
u ax dt
dx =+)1()
1( （14） 公式当中a,u 为辨别参数，采用最小二乘法可求的参数
A B B B u a a T
T T 1)(],[-∧
== (15) 则建立矩阵为：
-0.5[
]
)2()1()
1()1(x x + 1
B= -0.5[
]
)3()2()
1()1(x x + 1 (16) …. …..
-0.5[
]
)()1()
1()1(n x n x +- 1
那么 A=[]
T
n x x )().......2()0()0( (17) 则时间响应函数为a
u
e a u x k x
ak +-
=+-∧)0()1()1()
1( （18） 2）资料分析：
对上表一、表二、附表1979-2000年的数据进行分析和采样得出北京市水资源总量和水资源风险率的统计如下表（表四）：
19 79 19 80 19 81 19 82 19 83 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 水资源总38.2
26.0
24.0
36.6
34.7
39.3
38.0
27.0
38.6
39.1
21.5
35.8
42.2
22.4
19.6
45.4
30.3
45.8
22.2
37.7
14.2
16.8
-水资源风险率
0.3960 0.8162
0.8569
0.1406
0.2022
0.0040
-0.003
0.1600
0.0033
0.0235
0.8841
0.0496
-0.001
0.9084
1.1590
0.0020
0.2834
-0.004
0.5587
0.0195
1.9332
1.1692
（表四）
表四当中的数据可能在计算或在测量当中会出现某些异常值而最终影响预测精度，采用格拉布斯方法对表四数据进行异常判别，即数列)()
0(k x
是一个随机变量，服从正态分布，
远离期望值的低概率数据怀疑为异常数据，将其剔除，从而可得新数列： 水资源总量：)()
0(k x
=【38.023、26、24、36.6、34.7、39.31、38、27.03、38.66、39.18、
21.55、35.86、42.29、22.44、19.67、45.42、30.34、45.87、22.25、37.7】 水资源风险率：)()
0(k x
=【0.0396、0.8162、0.8569、0.1406、0.2022、0.0040、0.1600、
0.0033、0.0235、0.8841、0.0496、0.9084、1.00、0.0020、0.2834、0、0.5587、0.0195、1.00、1.00】
3）预测模型的建立：
由所得新数列，分别建立GM(1，1)模型，建模原理如上所
述，再根据公式（13（14）（15）(16)(17)(18)可得a1.u1.a2.u2。

则污染物的预测模型为：
a1=-0.41187 a2= 1.0125 u1=-0.82476 u2 =0.0043 (19)
水资源总量：)1()
1(+∧k x =36.23k
e 41187.0+2 （20） 水资源风险率：)1()1(+∧k x =0.035440125.1-e +0.00424 （21）
4）对水资源总量、水资源风险率进行预测，预测值)0(∧
x 如下表：（表五）
水资
源总量
)
(
)0(
k
x
∧
38.23
2
6
.
3
4
2
3
.
3
3
3
5
.
2
3
3
3
.
3
9
3
6
.
4
1
3
7
.
2
2
7
.
1
3
8
.
7
2
3
9
.
1
6
2
1
.
5
7
3
5
.
8
8
4
2
.
2
5
2
2
.
4
5
1
9
.
6
8
4
5
.
4
4
3
.
3
5
4
5
.
8
4
2
2
.
2
3
3
7
.
3
6
1
4
.
2
8
1
6
.
9
4
风
险率
)
(
)0(
k
x
0.0396
.
8
1
6
.
8
5
6
9
.
1
4
6
.
2
2
2
.
4
-0
.
3
7
.
1
6
.
3
3
.
2
3
5
.
8
8
4
1
.
4
9
6
-0
.
1
1
.
9
8
4
1
.
1
5
9
.
2
.
2
8
3
4
-0
.
4
4
.
5
5
8
7
.
1
9
5
1
.
9
3
3
2
1
.
1
6
9
2 )
(
)0(
k
x
∧
0.0394
.
3
8
8
.
8
4
6
6
.
8
3
2
6
.
1
5
2
1
.
2
3
1
5
.
2
7
.
6
.
1
7
3
2
.
2
8
.
3
2
1
.
8
8
4
2
.
4
9
4
.
1
2
.
9
1
1
.
1
2
5
1
.
1
8
.
2
7
3
3
.
2
.
5
5
4
7
1
.
7
1
5
5
1
.
1
7
5
1
（表五）
由表五显示的数据进行计算，最大相对误差为11．88％，超过10％的误差仅出现3次，多数在2％--8％之间，说明整体拟合尚好。

可以推测北京2001年存在风险的概率达到90-96％.
六结果的分析
通过以上图表和数据分析北京市水资源短缺风险因子，主要为工业用水量、农业用水量、第三产业用水量的影响，而南水北调工程建设, 建立污水处理厂,产业结构调整等这只能减少该地区存在的风险。

并通过数据和图表对未来北京地区进行预测该地区在2001年可能存在水资源短缺风险程度很大，当地政府可适当的调节产业结构、建立污水处理厂等有效地措施，来进可能的减小风险。

七模型的评价与改进
本文是对北京水资源短缺的主要致险因子指标数据的统计，由表1可知,水资源总量、农业用水量、生活用水量是北京水资源短缺的主要致险因子,其中生活用水是不可压缩的,随着北京都市化进程的不断加快,人口增长与人民生活水平的不断提高,生活用水量会进一步加大。

扩大再生水利用和南水北调工程均扩大了北京地区的水资源总量。

北京农业用水量占北京总用水量的40%左右,采用文献中提出的节水措施可进一步降低北京农业用水量,但由于受到基本农田保护制度的政策的制约,进一步大幅度压缩农业用水的可能性不大。

近年来北京年均农产品虚拟水输入量为2·37亿m3,这相当于北京市年产水资源总量的5·93%。

虚拟
水战略不失为间接缓解北京地区水资源短缺风险的途径,但还需要进一步探讨与研究。

优点：
（1）通过利用模糊概率理论建立了水资源短缺风险评价模型，定量分析北京水资源短缺的主要致险因子的影响，将抽象的影响进行量化。

（2）灰色GM(1.1)模型的运用，使得抽象问题具体化。

并且对于灰色GM(1.1)模型的建立，为我们解决实际问题的量化提供了一个很好的思路。

（3）这个模型的建立并没有用到很难的数学算法和计算机编程。

只用到了excel以及mathematia软件的基础知识，所以具有易操作，以推广的特点。

缺点：
（1）利用模糊概率理论建立了水资源短缺风险评价模型存在一定的主观因素。

（2）由于北京市水资源短缺风险的风险因子会受到社会环境的影响，从而可能会对数据的合理性产生影响，导致预测不够准确。

（3）灰色GM(1.1)模型的建立，受到变量系数的影响，测量数据的准确度会影响到变量系数的精确度，所以会在一定程度上影响了模型的精确度。

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附件：
Xi2P(Ai)=5378.1884 ;
E(A)= ΣXiP(Ai)/ΣP(A)=23.6282 ; E(A2)=ΣXi2P(Ai)/ΣP(A)=584.3189 ; σ2(A)= E(A2)-( E(A))2=26.0271 ; FD(A)= √(σ2(A))/ E(A)=0.2159
水资源总量：B= A=
24 36.6 34.7 39.31 38 27.03 38.66 39.18 21.55 35.86 42.29 22.44 19.67 45.42 30.34 45.87 22.25 37.7
概率 ： A=
25 30.3 35.65 37.005 38.655 32.515 32.845 38.92 30.365 28.705 39.075 32.365 21.055 32.545 37.88 38.105 34.06 29.975
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0.83655 0.49875 0.1714 0.1031 0.082 0.08165 0.0134 0.4538 0.46685 0.479 0.9542 0.501 0.1427 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0.1417 0.27935 0.2891
0.50975
1.00001
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1.0000
运用mathematia软件及上表内容绘制图形如下：
data = {{1979, 0.0396}, {1980, 0.8126}, {1981, 0.8569}, {1982,
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ListPlot[data, Joined -> True, PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 1]}, GridLines -> Automatic]
enter。