立体几何中的截面问题_1
2024年高考数学复习拓展考点精讲精练讲义 25 立体几何中的截面问题含详解
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展25立体几何中的截面问题（精讲+精练）一、截面问题的理论依据(1)确定平面的条件①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行二、截面问题的基本思路1.定义相关要素①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点.④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点.⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面.2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面3.作截面的具体步骤（1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点（2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面三、作截面的几种方法（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。
模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。
可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点一、知识点梳理方法：两点成线相交法或者平行法特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF （这类型的关键）；2.“第三点”是在外棱上，如C 1，注意：此时合格C 1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以.方法一：相交法，做法如下图.方法二：平行线法，做法如下图.四、正方体中的基本截面类型【典例1】用一个平面去截正方体，所得截面不．可能是（）A ．直角三角形B ．直角梯形C ．正五边形D ．正六边形【答案】ABC 【分析】二、题型精讲精练根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项．【详解】当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；当截面为五边形时，不可能出现正五边形；截面为六边形时，可能出现正六边形，故选：ABC ．【典例2】已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1124BE BB ==，143AB AA =，则该四棱柱被过点1A ，C ，E 的平面截得的截面面积为______.【典例3】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，E 为棱BC 的中点，F 为棱11A D 的四等分点（靠近点1D ），过点,,A E F 作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.连接,,,,AE EG GHHF FA ，易证因为4AB =，所以BE CE =中点，若平面α截三棱锥A BCD -和球O 所得的截面面积分别为1S ，2S ，则12S S =（）A ．8πB ．16πC ．38πD ．364π【题型训练-刷模拟】1.截面形状问题一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形2．（2023·全国·高三专题练习）已知在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是AB ，1BB ，11B C 的中点，则过这三点的截面图的形状是（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形3．（2023·全国·高三专题练习）已知在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB BB BC ==，点P ，Q ，T 分别在棱1BB ，1CC 和AB 上，且13B P BP =，13CQ C Q =，3BT AT =，则平面PQT 截长方体所得的截面形状为（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形4．（2023秋·江苏南京·高三统考开学考试）在正方体1111ABCD A B C D -中，过点B 的平面α与直线1AC 垂直，则α截该正方体所得截面的形状为（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形5．（2023·河南·模拟预测）在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AD ，11C D 的中点，过M ，N ，1B 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面形状为（）A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形6．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的棱长为20的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为CD 的中点，点P 在侧面11ADD A 上，且到11A D 的距离为6，到1AA 的距离为5，则过点P 且与1A M 垂直的正方体截面的形状是（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形7．（2023·上海·高三统考学业考试）如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH 为截面，长方形ABCD 为底面，则四边形EFGH 的形状为（）A ．梯形B ．平行四边形C ．可能是梯形也可能是平行四边形D ．不确定2.求截面的面积一、单选题A ．23B ．4．（2023春·全国·高一专题练习）已知三棱锥ABC 被球O 截得的截面面积为A ．1B ．5．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若球E 在线段BA 上，3BA BE =A ．8π3B ．2π6．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球在底面的射影为底面中心）的外接球，得截面面积的最小值是（A．π68．（2023·四川成都·校联考模拟预测）点F为棱AV上一点，二、填空题16．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）在正四棱台为棱11B C的中点，当正四棱台的体积最大时，平面17．（2023·江西吉安·吉安三中校考一模）如图，正方体的动点，过点,,A P Q的平面截该正方体所得的截面记为题的编号）①当12CQ=时，S为等腰梯形；②当34CQ=时，S与11C D的交点③当314CQ<<时，S为六边形；3.求截面的周长一、单选题A．3225+B．22．（2023春·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）AA的中点，则平面E是侧棱1A．32252++C．3252++3．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知正方体点，若点P∈平面α，且AC+B．A．35225．（2023·全国·高三专题练习）在正方体棱A D''的四等分点（靠近点A．9225+B．42A．2+25B7．（2023春·广西南宁·高三南宁三中校考专题练习）已知正方体BC的中点，则平面1D EFA．6B二、填空题10．（2023春·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）正三棱柱棱1BB 、11AC 的中点，若过点11．（2023·山东泰安·统考模拟预测）在棱长为中点，则过线段AG 且平行于平面4.圆柱、圆锥、球的截面问题一、单选题1．（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）圆锥的母线长为母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是（A ．8B ．2．（2023·广西·统考模拟预测）表面积为16π，O 到圆锥底面圆的距离为A ．6πB ．3．（2023·天津红桥·统考二模）用与球心距离为A ．43π3C ．83π3．．．．2023秋·陕西西安高三西安市铁一中学校考期末）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（A．①②B．①③C．①④D．①⑤7．（2023·全国·高三专题练习）从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，今用一个平行于底面且距底面为π-A．448．（2023·全国·高三专题练习）B，C，D在圆锥底面上，A．22A ．2πB 10．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）已知正方体足平面BDE ⊥平面1A BDA ．136πB 的最大值为（二、填空题18．（2023·陕西西安·校联考一模）某圆锥的底面半径为柱体积的最大值为19．（2023·上海·高三专题练习）在圆柱中，底面圆半径为个动点，绕着底面圆周转，则20．（2023·重庆·统考模拟预测）底面ABC，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为21．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知四棱锥面ABCD是等腰梯形，AD点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为22．（2023春·重庆万州·==，面上，PA PB PC平面截球O所得截面面积的最小值是【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展25立体几何中的截面问题（精讲+精练）一、截面问题的理论依据(1)确定平面的条件①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行二、截面问题的基本思路1.定义相关要素①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点.④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点.⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面.2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面3.作截面的具体步骤（1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点（2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面三、作截面的几种方法（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。
高考数学：立体几何截面问题
高考数学：立体几何截面问题一、引言立体几何是高考数学的重要组成部分，其中截面问题是一个重要的考点。
截面问题涉及到三维空间中的几何形状、位置关系以及函数关系等多个方面，需要学生具备较高的空间想象能力和逻辑推理能力。
本文将从多个方面介绍截面问题的相关知识，以帮助考生更好地理解和掌握该知识点。
二、截面的定义与性质1.截面的定义：截面是指通过一个平面与三维空间中的几何体相交，所得到的交线或交面的几何形状。
2.截面的性质：截面具有与原几何体相同的形状和大小，但位置关系可能不同。
截面的形状和大小取决于平面与几何体的相对位置和方向。
三、截面与平面几何的关系1.平面几何的基本图形在三维空间中仍然适用，如线段、三角形、四边形等。
2.截面是平面几何图形在三维空间中的表现形式，可以通过平面的移动和旋转来改变截面的形状和大小。
四、截面与立体几何的关联1.立体几何的基本概念和定理在解决截面问题时同样适用，如平行、垂直、平行四边形等。
2.截面问题是立体几何中的一个特殊情况，可以通过特殊情况来推导一般情况，也可以通过一般情况来推导特殊情况。
五、截面的形状与大小1.截面的形状取决于平面与几何体的相对位置和方向。
不同的位置关系可以得到不同的截面形状，如圆形、椭圆形、长方形等。
2.截面的大小取决于平面与几何体的交线长度或交面积大小。
不同的平面位置可以得到不同的截面大小。
六、截面与空间几何的关系1.空间几何的基本概念和定理在解决截面问题时同样适用，如距离、角度、面积等。
2.截面问题是空间几何中的一个特殊情况，可以通过特殊情况来推导一般情况，也可以通过一般情况来推导特殊情况。
3.截面问题可以转化为空间几何问题来解决，也可以通过空间几何问题来推导截面问题的解决方法。
七、截面的对称性1.截面问题中常常涉及到对称性，如轴对称、中心对称等。
2.对称性可以帮助我们简化问题，找到解决问题的关键点。
3.对称性也可以帮助我们判断截面的形状和大小，以及确定平面与几何体的相对位置和方向。
高考数学立体几何截面问题
高考数学立体几何截面问题在高考数学立体几何中，截面问题是一个重要的考点。
本文将从以下几个方面对截面问题进行讲解：截面的形状和性质、截面与几何体的关系、截面与投影的关系以及截面与面积的关系。
一、截面的形状和性质1.截面的形状截面是指通过一个平面与一个几何体相交，所得的交线。
截面的形状可能是一个点、一条直线、一个平面多边形或一个圆。
在解决立体几何问题时，我们需要根据题目所给的条件，判断出截面的形状，并进一步解决问题。
2.截面的性质截面的性质包括以下几点：（1）截面是平面图形，其形状取决于几何体和截面的位置关系。
（2）截面与几何体的边界相交，但不穿过几何体的内部。
（3）截面与几何体的表面平行，因此可以运用平行投影的知识来研究截面的性质。
二、截面与几何体的关系1.截面与正方体的关系正方体的截面有三种情况：三角形、矩形和五边形。
当截面与正方体的中心轴平行时，可以得到一个正方形；当截面与正方体的中心轴垂直时，可以得到一个三角形；当截面与正方体的中心轴斜交时，可以得到一个矩形或五边形。
长方体的截面也有三种情况：三角形、矩形和五边形。
当截面与长方体的中心轴平行时，可以得到一个矩形；当截面与长方体的中心轴垂直时，可以得到一个三角形；当截面与长方体的中心轴斜交时，可以得到一个梯形或不规则四边形。
三、截面与投影的关系1.投影的定义及性质投影是指将一个几何体投射到一个平面上的结果。
投影的性质包括以下几点：（1）投影是直线与平面相交的结果。
（2）投影的长度等于被投影线段的长度。
（3）投影的方向与被投影线段的方向相同或相反。
2.截面与投影的关系截面与投影之间存在一定的关系。
如果一个几何体在一个平面上的投影是一个多边形，那么这个多边形的形状就取决于该几何体的形状以及它与平面的相对位置。
因此，在解决立体几何问题时，我们需要通过判断几何体在某一平面上的投影来推断出它的形状和性质。
四、截面与面积的关系1.面积的定义及计算方法面积是指一个平面图形所占的面积大小。
立体几何中的 截面问题
立体几何中的截面问题立体几何中的截面问题⒈引言立体几何是研究空间之中各种几何体的形态、位置、运动和性质的数学学科。
在立体几何中，截面问题是一个重要的研究方向。
本文将介绍截面问题的基本概念、解题方法以及应用领域。
⒉基本概念⑴截面的定义截面是指将一个立体体积由一个或多个平面切割所得到的平面图形。
⑵截面的种类常见的截面包括平行截面、垂直截面、倾斜截面等。
平行截面是指与立体体积的底面平行的截面，垂直截面是指与立体体积的底面垂直的截面，倾斜截面是指与立体体积的底面既不平行也不垂直的截面。
⒊解题方法⑴平行截面的求解方法平行截面与底面平行，因此可以通过计算底面的面积和位于底面高度上的平行截面与底面的比例关系来求解平行截面的面积。
⑵垂直截面的求解方法垂直截面与底面垂直，因此可以通过计算底面的面积和垂直截面的高度来求解垂直截面的面积。
⑶倾斜截面的求解方法倾斜截面与底面既不平行也不垂直，因此求解倾斜截面的面积需要考虑其与底面的夹角以及截面的形状。
可以通过投影的方法或截面形状的几何关系来求解倾斜截面的面积。
⒋应用领域⑴建筑设计在建筑设计中，截面问题常常用于计算建筑物的横截面积，从而确定建筑物的结构稳定性和负荷承受能力。
⑵工程力学在工程力学中，截面问题常常用于计算结构件的截面形状和尺寸，从而确定结构件的刚度和强度。
⑶生物学在生物学中，截面问题常常用于计算生物体的截面积，从而确定生物体的体积和表面积，进而研究生物体的生理功能和生物学特性。
附件：本文档涉及的附件包括：⒈示例图片：包括平行截面、垂直截面和倾斜截面的示意图。
⒉计算表格：包括计算平行截面、垂直截面和倾斜截面面积的示例表格。
法律名词及注释：⒈立体几何：是数学学科中研究空间中各种几何体的形态、位置、运动和性质的学科。
⒉截面：把立体体积由一个或多个平面切割所得到的平面图形。
立体几何中的 截面问题
立体几何中的截面问题本文档旨在介绍立体几何中的截面问题，包括截面的定义、性质、计算方法等方面的内容。
通过对截面问题的介绍和详细解析，读者可以更好地理解和应用相关知识。
1、截面的定义在立体几何中，截面是指一个平面和立体图形相交而形成的曲线或平面部分。
截面可以是二维的曲线，也可以是三维的平面。
截面问题主要研究在不同情况下的截面形状、面积、体积等性质。
2、截面的性质截面的性质取决于所截图形的性质以及截面的位置和方向。
主要包括以下几个方面：2.1 几何形状：截面可以是点、线段、圆、椭圆、抛物线等各种几何形状。
2.2 面积：截面的面积可能是有限的，也可能是无限的。
2.3 体积：截面可以用来计算图形的体积，从而解决与立体几何有关的问题。
2.4 位置和方向：不同位置和方向的截面可以得到不同的结果，需要根据具体问题进行分析和计算。
3、截面的计算方法根据截面的性质和具体问题的要求，有多种不同的计算方法可以用来求解截面问题。
常用的计算方法包括以下几种：3.1 几何分析法：通过几何分析截面的形状和性质，利用几何定理和方法计算截面的面积、体积等。
3.2 数学建模法：将截面问题转化为数学模型，利用数学方法和计算机技术进行计算和求解。
3.3 数值模拟法：通过数值模拟和计算机仿真，模拟和计算截面问题的解答。
3.4 实验测量法：通过实际测量和实验，获取截面的相关数据和性质进行计算和分析。
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法律名词及注释：1、立体几何：研究三维空间中点、线、面等几何图形的性质和变换的数学学科。
2、截面：一个平面和立体图形相交而形成的曲线或平面部分。
立体几何截面问题
立体几何截面问题立体几何截面问题是指在三维空间中，分析和解决物体的表面形状及其横截面以及相应交点的问题。
这一问题与传统的几何学有很大的不同，它是一种更加复杂的几何问题，具有较强的实际应用性。
在三维空间中，立体几何截面问题可以概括为如下几个方面：1、立体几何截面中各种物体形状的表面积、体积及曲率的计算。
可以看到，物体的表面积、体积及曲率都是立体几何截面中重要的概念。
物体的表面积可以表示物体的大小，而体积则可以表示物体的体积，曲率则可以表示物体的表面形状。
2、立体几何截面中物体的位置关系及相应交点的求解。
在立体几何截面中，物体的位置关系及相应的交点是关键的概念，因此，对于物体的位置关系及相应的交点的求解也是重要的工作。
3、立体几何截面中物体的对称性及其属性的分析。
物体的对称性及其属性的分析也是立体几何截面中重要的内容，可以帮助我们更好地理解物体的外观特征。
4、立体几何截面中物体的多边形化及其格式化。
物体的多边形化是指将物体表面上的所有点通过直线连接起来，形成一个简单的多边形，以便更加直观地表示物体的形状。
格式化则是指将物体的多边形表示法转换为更加精确的数学表达式，以便更加方便地分析物体的特征。
通过以上几点，我们可以清楚地看到，立体几何截面问题的研究非常复杂，其中涉及到的概念也是十分广泛的，因此，解决这一问题需要综合运用几何学、代数学及其他学科的知识。
立体几何截面的研究有着重要的实际意义。
它可以被应用于工程设计、建筑设计、机械设计等多个领域。
例如，在工程设计中，立体几何截面可以帮助我们更加清晰地了解物体的表面形状，从而使我们能够更好地设计出合理的工程结构；在建筑设计中，立体几何截面可以帮助我们更清楚地认识建筑物的外形，从而使我们得以更好地设计出更加美观的建筑；在机械设计中，立体几何截面可以帮助我们更清楚地认识机械部件的形状，从而能够更加精确地设计出符合要求的机械部件。
总之，立体几何截面问题是一个非常复杂的问题，它既能够提高我们对物体形状的理解，又能够为工程设计、建筑设计、机械设计等提供有效的指导。
立体几何中的 截面问题
立体几何中的截面问题立体几何中的截面问题⒈简介立体几何是研究物体的形状、尺寸和空间关系的一门学科。
在立体几何中，截面问题是一个重要的研究方向。
截面问题指的是在一个立体物体中，通过给定的切割平面，研究切割所得的平面图形与原立体物体的关系。
⒉切割平面的表示方法在研究截面问题时，我们通常将切割所用的平面表示为一个方程。
常见的表示方法有点法式、一般式和截距式等。
⑴点法式点法式是通过给定平面上的一点和法向量来表示平面的方程。
设平面上一点为P(x0, y0, z0)，法向量为n(n1, n2, n3)，则平面的点法式为：n1(x ●x0) + n2(y ●y0) + n3(z ●z0) = 0⑵一般式一般式将平面的方程表示为一个二次齐次方程，形式为Ax +By + Cz + D = 0。
其中A、B、C是平面的法向量的坐标，D是一个与平面有关的常数。
⑶截距式截距式是通过平面与坐标轴交点的位置来表示平面的方程。
设平面与x轴、y轴、z轴的交点分别为(x0, 0, 0)，(0, y0, 0)，(0, 0, z0)，则平面的截距式为：x/x0 + y/y0 + z/z0 = 1⒊平面与立体物体的相交及分类当给定切割平面后，它可能与立体物体相交于不同的方式。
根据相交情况的不同，我们将平面与立体物体的相交分为以下几类：⑴完全相交当切割平面与立体物体完全相交时，即切割平面穿过了立体物体的内部，并将其分成两个或多个部分。
⑵部分相交当切割平面与立体物体部分相交时，即切割平面与立体物体的边界相交。
⑶不相交当切割平面与立体物体不相交时，即切割平面与立体物体没有交点。
⒋截面图形的性质通过研究切割平面与立体物体的相交情况，可以得到截面图形的一些性质。
⑴形状截面图形的形状与切割平面的位置和方向有关。
在同一个立体物体中，不同位置和方向的切割平面可能得到不同形状的截面图形。
⑵面积截面图形的面积可以通过计算得到。
对于平面图形，常用的计算方法有面积公式和积分法。
补上一课 立体几何中的截面问题及球的切接问题
补上一课立体几何中的截面问题及球的切接问题)1．立体几何中的截面问题 (1)平面截球：圆(圆面)．(2)平面截正方体：三角形、四边形、五边形、六边形． (3)平面截圆柱曲面：圆、椭圆、矩形． 2．球的切接问题 (1)长方体的外接球 ①球心：体对角线的交点； ②半径：r ＝a 2＋b 2＋c 22(a ，b ，c 为长方体的长、宽、高)．(2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球 ①外接球：球心是正方体中心；半径r ＝32a (a 为正方体的棱长)；②内切球：球心是正方体中心；半径r ＝a2(a 为正方体的棱长)；③与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r ＝22a (a 为正方体的棱长)．(3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分) ①外接球：球心是正四面体的中心；半径r ＝64a (a 为正四面体的棱长)； ②内切球：球心是正四面体的中心；半径r ＝612a (a 为正四面体的棱长)．题型一 立体几何中的截面问题【例1】 (1)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A.334 B.233 C.324 D.32(2)(2021·浙江新高考仿真卷三)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( )A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π 答案 (1)A (2)D解析 (1)记该正方体为ABCD －A ′B ′C ′D ′，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A ′A ，A ′B ′，A ′D ′与平面α所成的角都相等．如图，连接AB ′，AD ′，B ′D ′，因为三棱锥A ′－AB ′D ′是正三棱锥，所以A ′A ，A ′B ′，A ′D ′与平面AB ′D ′所成的角都相等．分别取C ′D ′，B ′C ′，BB ′，AB ，AD ，DD ′的中点E ，F ，G ，H ，I ，J ，连接EF ，FG ，GH ，IH ，IJ ，JE ，易得E ，F ，G ，H ，I ，J 六点共面，平面EFGHIJ 与平面AB ′D ′平行，即截面EFGHIJ 为平面α截正方体所得最大截面．又EF ＝FG ＝GH ＝IH ＝IJ ＝JE ＝22，所以该正六边形的面积为6×34×(22)2 ＝334，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为334，故选A.(2)设球的球心为O ，由圆M 的面积为4π得圆M 的半径为2，则|OM |＝42－22＝23，又因为圆N 所在的平面β与圆M 所在的平面α所成的角为60°，则∠OMN ＝30°，且ON ⊥MN ，则sin ∠OMN ＝|ON ||OM |，即sin 30°＝|ON |23，解得|ON |＝3，则圆N的半径r ＝42－（3）2＝13，圆N 的面积为πr 2＝13π，故选D.感悟升华 此类题主要考查空间想象能力及空间几何体的结构特征，解题时可寻找特殊情况使问题得到简化．【训练1】 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π(2)(2020·名校仿真训练五)棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱C 1D 1与C 1B 1的中点，则经过点B ，E ，F 的平面截正方体所得的封闭图形的面积为( )A.92B．310 C.32D.10答案 (1)B (2)A解析 (1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B.(2)如图，经过点B，E，F的平面BEF截正方体所得截面为四边形BDEF，因为E，F分别是C1D1，C1B1的中点，正方体的棱长为2，所以EF∥BD，且EF＝1 2BD，所以四边形BDEF是下底为BD＝22，上底为EF＝2的等腰梯形．在Rt△BB1F中，由勾股定理可得DE＝BF＝5，过点F在平面BDEF内作FG⊥BD于点G，由等腰梯形的性质用勾股定理可得FG＝322，即梯形BDEF的高为322，所以梯形BDEF的面积为12(22＋2)×322＝92，故选A.题型二 外接球问题【例2】(1)已知底面边长为1，侧棱长2的正四棱柱的各个顶点均在同一个球的球面上，则该球的体积为( )A.32π3B．4πC．2π D.4π3(2)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )A.3172B．210 C.132D．310(3)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该四棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4(4)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，SA ⊥AC ，SB ⊥BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，则球的表面积为________．答案 (1)D (2)C (3)A (4)36π 解析 (1)如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，底面为边长为1，侧棱长为2，设H 、I 分别为下、上底面中心，HI 的中点为O ，所以O 为外接球的球心，所以外接球半径R ＝AO ＝AH 2＋OH 2＝1，所以外接球体积V ＝4π3R 3＝4π3. (2)如图，由题意可得棱柱上、下底面为直角三角形，所以上、下底面外接圆的圆心分别为B 1C 1、BC 的中点，设其分别为I 、H ，设HI 的中点为O ，则点O 为三棱柱外接球的球心，在Rt △BHO 中，BO ＝BH 2＋OH 2＝132，所以外接球的半径R ＝132.(3)如图，设O 1为底面正方形ABCD 的中心，外接球球心为O ，所以PO1⊥平面ABCD，O在PO1上，设外接球O的半径为R，则R＝AO＝PO，在Rt△AOO1中，R＝AO＝AO21＋OO21＝（2）2＋（4－R）2解得R＝9 4，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝81 4π.(4)如图，∵SA⊥AC，SB⊥BC，设O为SC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得点O到A，B，C，S的距离相等，故点O为三棱锥外接球的球心，∵平面SCA⊥平面SCB，SB＝BC，∴OB⊥平面SAC.设球O的半径为R，则V S－ABC＝V B－ASC＝13·12·2R·R·R＝13R3＝9，∴R3＝27，R＝3.所以外接球表面积为S＝4πR2＝36π.感悟升华 1.常用结论(1)正方体和长方体的外接球的球心为其体对角线的中点．(2)正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点．(3)直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点．(4)正棱锥外接球的球心在其高上，具体位置通过构造直角三角形计算得到．(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．2．构造正方体、长方体、直棱柱等用上述结论确定外接球的球心(1)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体，求其外接球问题可构造正方体或长方体．(2)相对的棱长相等的三棱锥，求其外接球问题可构造正方体或长方体．【训练2】 (1)一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．33πD ．6π(2)已知正三棱锥P －ABC ，点P 、A 、B 、C 都在半径为3的球面上，若PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离是________．(3)三棱锥P －ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，∠BAC ＝120°，PA ＝AB ＝AC ＝2，则此三棱锥外接球的体积为________． 答案 (1)A (2)33 (3)205π3 解析 (1)构造正方体，则正方体棱长为1，因此，该四面体的外接球也就是棱长为1的正方体外接球，所以外接球半径R ＝32，所以外接球表面积为S ＝4πR 2＝3π. (2)如图，构造正方体，则球心为正方体的中心O ，易求得正方体棱长为2，设点O 到平面ABC 的距离为d ，作CH 垂直MN 交MN 于H ， 由V O －ABC ＝V C －ABO ，得13S △ABC ·d ＝13S △ABO ·CH ，所以d ＝33.(3)∵PA ⊥AB ，PA ⊥AC ， ∴PA ⊥平面ABC ，构造直三棱柱PQT －ABC ，设O 1为△ABC 外心，O 为三棱锥外接球球心，所以OO 1⊥平面ABC ， 易得OO 1＝12PA ，在△ABC 由余弦定理可求得BC ＝23，再由正弦定理BCsin 120°＝2r ，可求得△ABC外接圆半径r ＝2，在Rt △AOO 1中，AO ＝AO 21＋OO 21＝5， 所以三棱锥P －ABC 外接球半径R ＝5，外接球体积V ＝205π3. 题型三 内切球问题【例3】 (一题多解)已知棱长为a 的正四面体ABCD ，证明：其内切球的半径为612a .证明 法一 如图，设AH ⊥平面BCD ，则H 为△BCD 外心， 可得外接球球心在AH 上，设外接球球心为O ， 外接球半径为R ，则AO ＝BO ＝R ， 在△BCD 中，可得BH ＝33a ，在Rt △ABH 中， AH ＝AB 2－BH 2＝63a ，在Rt △BHO 中，BO 2＝BH 2＋OH 2， ∴BO 2＝BH 2＋(AH －OA )2， ∴R 2＝(33a )2 ＋(63a －R )2 ，∴R ＝64a ， 因内切球球心与外接球球心重合，所以内切球半径r ＝OH ＝AH －AO ＝63a －64a＝612a .法二 如图，设AH ⊥平面BCD ，设外接球球心为O ，则点O 也是内切球球心， 由于内切球球心到各个面的距离相等，都为内切球半径，设为r ， ∵V A －BCD ＝V O －ABC ＋V O －ACD ＋V O －ABD ＋V O －BCD . ∴13S △BCD ·AH ＝13S △BCD ·r ·4，∴r ＝14AH ＝612a . 感悟升华 求内切球的半径常用等积法(1)正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合，内切球的半径为球心到多面体任一面的距离．(2)正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上，但不一定重合．【训练3】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．(2)(2021·金华一中月考)已知某锥体的三视图如图所示(各正方形的边长为2)，则该锥体的体积是________；该锥体的内切球的表面积是________．答案 (1)2π3 (2)83 4π3解析 (1)圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r .作出圆锥的轴截面PAB ，如图所示，则△PAB 的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△PAB 中，PA ＝PB ＝3，D 为AB 的中点，AB ＝2，E 为切点，则PD ＝22，△PEO ∽△PDB ，故POPB＝OEDB，即22－r3＝r1，解得r＝22，故内切球的体积为43π(22)3＝23π.(2)如图，由几何体的三视图可知该几何体是一个棱长为22的正四面体A－BCD，其可以为边长为2的正方体截去四个角而得，所以其体积为V＝23－4×1 3×1 2×23＝83.因为正四面体的棱长为22，所以其底面的三角形的高为6，该正四面体的高为433，设内切球的半径为r，则有(433－r)2＝r2＋(263)2，解得r＝33，所以该内切球的表面积为S＝4πr2＝4π3 .一、选择题1.如图，长方体ABCD－A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是( )A．棱台 B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱答案 C解析 由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．2．(2021·北京东城区一模)正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．平行四边形D ．梯形 答案 A解析 如图所示，由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥所得的几何体，很明显三棱锥的两条侧棱相等，故截面是等腰三角形．3．(2021·浙江名师预测三)古希腊著名数学家阿基米德曾经研究过球的体积问题，并得出圆柱的内切球的体积是这个圆柱体积的23，并把圆柱和其内切球的图形刻到他的墓碑上．如图是将一个圆柱挖去内切球后的几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A.23π B.23C．π D.13π答案 A解析 圆柱的底面直径为2，高为2，内切球的直径为2，则该几何体的体积V＝2π－43π＝23π，故选A.4．(2021·昆明模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若此几何体的各个顶点在同一球面上，则该球的表面积为( )A．8πB．9πC．32πD．36π答案 B解析 通过三视图可知，该几何体是直三棱柱D1A1C1－DAC，其中底面是直角三角形，把它补成长方体如图所示：连接D1B，设外接球的半径为R，所以有2R＝D1D2＋DB2＝D1D2＋AD2＋AB2＝1＋4＋4＝3，球的表面积为S＝4πR2＝9π.5．(2021·安阳一模)已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球体积为32π3，则h＝( )A.13 B．26 C．23 D.3答案 C解析 由三视图知几何体为三棱锥，且一条侧棱垂直底面，如图，O为AC的中点，∵正视图和俯视图都是等腰直角三角形，EO⊥底面ABC，OB＝OC＝OA＝1，E为球心．设球半径为r，则V球＝43πr3＝32π3，∴r＝2，EO＝3，∴h＝2 3.6．(2021·名校仿真训练二)在四面体ABCD中，BD＝CD＝AB＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.当四面体ABCD体积最大时，四面体ABCD外接球的表面积是( )A．2πB．3πC．4πD．5π答案 B解析 如图，将四面体ABCD置于棱长为1的正方体中，显然当AB⊥平面BCD 时，四面体ABCD的体积最大．此时四面体ABCD的外接球就是正方体的外接球，球心O即为AC的中点，而AC＝3，则外接球的半径为32，故外接球的表面积为4π(32)2＝3π，故选B.7．(2018·全国Ⅲ卷)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D－ABC体积的最大值为( ) A．123 B．183 C．243 D．543答案 B解析 设等边△ABC的边长为x，则12x2sin 60°＝93，得x＝6.设△ABC的外接圆半径为r ，则2r ＝6sin 60°，解得r ＝23，所以球心到△ABC 所在平面的距离d ＝42－（23）2＝2，则点D 到平面ABC 的最大距离d 1＝d ＋4＝6，所以三棱锥D －ABC 体积的最大值V max ＝13S △ABC ×6＝13×93×6＝18 3.8．(2019·全国Ⅰ卷)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为( )A ．86πB ．46πC ．26π D.6π 答案 D解析 因为点E ，F 分别为PA ，AB 的中点，所以EF ∥PB ， 因为∠CEF ＝90°，所以EF ⊥CE ，所以PB ⊥CE . 取AC 的中点D ，连接BD ，PD ，易证AC ⊥平面BDP ，所以PB ⊥AC ，又AC ∩CE ＝C ，AC ，CE ⊂平面PAC ，所以PB ⊥平面PAC ， 所以PB ⊥PA ，PB ⊥PC ，因为PA ＝PB ＝PC ，△ABC 为正三角形，所以PA ⊥PC ，即PA ，PB ，PC 两两垂直，将三棱锥P －ABC 放在正方体中如图所示．因为AB ＝2，所以该正方体的棱长为2，所以该正方体的体对角线长为6，所以三棱锥P －ABC 的外接球的半径R ＝62，所以球O 的体积V ＝43πR 3＝43π(62)3＝6π，故选D.9．(2021·重庆调研二)已知三棱锥S －ABC 各顶点均在球O 上，SB 为球O 的直径，若AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝2π3，三棱锥S －ABC 的体积为4，则球O 的表面积为( )A ．120πB ．64πC ．32πD ．16π 答案 B 解析 如图所示，由AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝2π3得AC ＝23，则S △ABC ＝12AB ·BC sin 2π3＝3，设△ABC 外接圆圆心为O ′，则OO ′⊥⊙O ′， 由正弦定理可知，△ABC 外接圆半径O ′A ＝232sin2π3＝2，设S 到面ABC 距离为d ， 由SB 为球O 直径可知OO ′＝12d ，∴V S －ABC ＝13×3×d ＝4，∴d ＝43，则OO ′＝23，∴球的半径OA ＝O ′A 2＋O ′O 2＝4＋12＝4， ∴球O 的表面积S ＝4π×42＝64π.10．(2021·厦门质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是( )A ．π B.4π3C ．4πD ．16π答案 C解析 由三视图可得，三棱锥为如图所示的三棱锥P －ABC ，其中侧面PAB ⊥底面ABC ，在△ABC 和△PAB 中，∠ACB ＝∠APB ＝90°，AC ＝BC ＝AP ＝BP ＝ 2. 取AB 的中点D ，连PD ，则D 为△ABC 外接圆的圆心，且PD ⊥底面ABC，所以球心O 在PD 上，设球半径为R ，则在Rt △ODB 中，OD ＝1－R ，OB ＝R ，DB ＝1，由勾股定理得R 2＝(1－R )2＋12，解得R ＝1，所以三棱锥的外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π.二、填空题11．(2021·杭州三校三联)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”P －ABCD ，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝2，AD ＝1，则该“阳马”的最长棱长为________；外接球表面积为________． 答案 3 9π解析 由题意得“阳马”P －ABCD 可以看作是棱长为2，2，1的长方体的一部分，则该“阳马”的最长棱为长方体的体对角线，长度为22＋22＋12＝3，该“阳马”的外接球为长方体的外接球，其表面积为4π×(32)2＝9π. 12．(2021·金华十校期末调研)一个棱柱的底面是边长为6的正三角形，侧棱与底面垂直．其三视图如图所示，则这个棱柱的体积为________，此棱柱的外接球的表面积为________．答案 363 64π解析 由题意可知该三棱柱是一个直三棱柱，且底面是边长为6的正三角形，底面积为S ＝12×62×sin 60°＝93，又因为该三棱柱的高h ＝4，所以该三棱柱的体积为V＝Sh＝93×4＝36 3.由正弦定理可知该正三棱柱底面的外接圆直径为2r＝6sin 60°＝43，则其外接球的半径为R＝（23）2＋22＝4，因此，此棱柱的外接球的表面积为4πR2＝4π×42＝64π.13．(2021·宁波适考)一个四面体的三视图如图所示(单位：cm)，则该四面体的体积(单位：cm3)为________，外接球的表面积(单位：cm2)为________．答案 6 34π解析 由图可知，该几何体是一个三棱锥，其体积V＝13×12×3×4×3＝6.该三棱锥的外接球的直径2R＝42＋32＋32＝34，所以该外接球的表面积S＝4πR2＝34π.14．(2021·西安质检三)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，且内接于球O，若正三棱柱ABC－A1B1C1的体积是23，则球O的表面积为________．答案 28π3解析 设AA1＝A1B1＝a，则正三棱柱ABC－A1B1C1的体积是34a3＝23，解得a＝2，则底面正三角形的外接圆半径r＝a2sin 60°＝23，所以球的半径R＝(22)2＋(23)2＝213，所以球O的表面积为4πR2＝28π3.15．(2021·石家庄二模)在三棱椎P－ABC中，底面ABC是等边三角形，侧面PAB 是直角三角形，且PA＝PB＝2，PA⊥AC，则该三棱锥外接球的表面积为________．答案 12π解析 由于PA＝PB，CA＝CB，PA⊥AC，则PB⊥CB，因此取PC中点O，则有OP ＝OC ＝OA ＝OB ，即O 为三棱锥P －ABC 外接球球心，又由PA ＝PB ＝2，得AC ＝AB ＝22，所以PC ＝22＋（22）2＝23，所以S ＝4π×(3)2＝12π. 16．(2021·大庆二模)已知点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，AD ⊥平面ABC ，其中△ABC 是等边三角形，AD ＝2AB ＝6，则该球的表面积为________． 答案 48π解析 由题意画出几何体的图形如图所示：把A ，B ，C ，D 扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点O 与A 的距离为球的半径R ，因为AD ＝2AB ＝6，所以OE ＝3，AB ＝3，又因为△ABC 是正三角形， 所以AE ＝23AB 2－(12AB)2 ＝2332－(32)2＝3，所以R ＝OA ＝AE 2＋OE 2＝（3）2＋32＝23， 所以所求的球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×(23)2＝48π.17．在三棱锥P －ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△PAC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC .则截面的周长为________． 答案 8解析 过点G 作EF ∥AC 交PA ，PC 于点E ，F ，过E ，F 分别作EN ∥PB ，FM ∥PB 分别交AB ，BC 于点N ，M ，连接MN ，∴四边形EFMN 是平行四边形，∴EF 3＝23，即EF ＝MN ＝2，FM PB ＝FM 6＝13，即FM ＝EN ＝2，∴截面的周长为2×4＝8.18．已知正四棱锥S －ABCD 的底面边长为2，侧棱长为3，则内切球半径为________．答案 214－77解析 如图，设E为BC的中点，I为底面正方形ABCD的中心，∴SI⊥平面ABCD，则内切球球心在SI上，设为O，过O作OH⊥SE交SE于H，在Rt△SIC中，易求出SI＝7，即正四棱锥S－ABCD高为7，在△SBC中，易求出SE＝22，即正四棱锥S－ABCD斜高为22，设内切球半径为r，则OI＝OH＝r，由Rt△SIE与Rt△SHO相似，得OHSO＝IESE，∴OHSI－OI＝IESE，∴r7－r＝122，∴r＝722＋1＝214－77.。
强基专题--立体几何中的截面问题
强基专题3 立体几何中的截面问题
[跟进训练]
1．(2021·重庆模拟)在三棱锥 P-ABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，
PA＝3，PB＝4，PC＝5，点 E 为线段 PC 的中点，过点 E 作该三棱
锥外接球的截面，则所得截面圆的面积不可能为( )
A．6π
B．8π
C．10π
D．12π
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(2)当π2＜θ＜π时，0＜α＜θ＜π，此时sin θ＜1，sin α可以取到最 大值1，
此时过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝12l2.
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强基专题3 立体几何中的截面问题
综上所述，过圆锥母线的截面面积的最大值与轴截面顶角θ的范 围有关，
当0＜θ≤π2时，轴截面面积最大，最大值为S＝12l2sin θ. 当π2＜θ＜π时，过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝12l2.
同理 FG∥EH，所以四边形 EFGH 为平行四边形，又 AD⊥BC， 所以四边形 EFGH 为矩形．
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强基专题3 立体几何中的截面问题
由相似三角形的性质得BECF＝AACF，FACC＝AFDG， 所以BECF＋FAGD＝AACF＋FACC，BC＝AD＝2， 所以 EF＋FG＝2，所以四边形 EFGH 的周长为定值 4，S 四边形 EFGH ＝EF×FG≤EF＋2 FG2＝1， 所以四边形 EFGH 的面积有最大值 1.故选 B．]
1 2
l2sin θ.截面VCD的面积S′＝12l2sin α.在△V强基专题3 立体几何中的截面问题
(1)当0＜θ≤π2时，0＜α＜θ≤π2，sin α＜sin θ⇒S′＜S，此时过圆 锥母线的截面面积最大为轴截面面积S＝12l2sin θ.
截面形状及相应面积的求法 (1)结合线、面平行的判定定理与性质定理求截面问题； (2)结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题； (3)猜想法求最值问题：“要灵活运用一些特殊图形与几何体的 特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等； (4)建立函数模型求最值问题：①设元；②建立二次函数模型； ③求最值．
第七章 §7.9 立体几何中的截面、交线问题-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版
§7.9立体几何中的截面、交线问题重点解读“截面、交线”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力．求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、周长、扇形弧长、面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解．题型一截面作图例1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，N在棱CC1上，且CN＝2NC1.作出过点D，M，N的平面截正方体ABCD－A1B1C1D1所得的截面，写出作法．解如图所示，五边形DQMFN即为所求截面．作法如下：连接DN并延长交D1C1的延长线于点E，连接ME交B1C1于点F，交D1A1的延长线于点H，连接DH交AA1于点Q，连接QM，FN，则五边形DQMFN即为所求截面．思维升华作截面的几种方法(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程．(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点．(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线．跟踪训练1如图，已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C ，D 1，M 三点作正方体的截面，作出这个截面图，写出作法．解如图，连接CD 1，连接D 1M 并延长，交DA 的延长线于点N ，连接CN 交AB 于点P ，连接MP ，则四边形CD 1MP 为过C ，D 1，M 三点的正方体的截面．题型二截面图形的形状判断例2(多选)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是线段DD 1上的动点，若过A ，B 1，E 三点的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状可能为()A ．等边三角形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形答案ABD解析当点E 与D 1重合时，过A ，B 1，E 三点的截面是等边三角形AB 1D 1，故A 正确；当点E 与D 重合时，过A ，B 1，E 三点的截面为矩形AB 1C 1D ，故B 正确；若截面为菱形，则必有AB 1＝AE ，此时点E 与D 1重合，故C 错误；当点E 与DD 1中点重合时，记C 1D 1的中点为F ，连接EF ，FB 1，C 1D (图略)，易知EF ∥DC 1，由正方体性质可知，AD ∥B 1C 1且AD ＝B 1C 1，所以四边形AB 1C 1D 为平行四边形，所以DC 1∥AB 1，所以EF ∥AB 1且EF ＝12AB 1，设正方体棱长为2，则AE ＝B 1F ＝22＋12＝5，所以过A ，B 1，E 三点的截面为等腰梯形AB 1FE ，故D 正确．思维升华判断几何体被一个平面所截的截面形状，关键在于弄清这个平面与几何体的面相交成线的形状和位置．跟踪训练2已知一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点(不在同一侧面或同一底面内)的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可能是()A ．等腰三角形B ．等腰梯形C ．五边形D ．正六边形答案D解析如图①，由图可知，截面ABC 为等腰三角形，选项A 可能；截面ABEF 为等腰梯形，选项B 可能；如图②，截面AMDEN 为五边形，选项C 可能；因为侧面是正方形，只有平行于底面的截面才可能是正六边形，故过两底的顶点不可能得到正六边形，选项D 不可能．题型三截面图形的周长或面积例3(2024·朔州模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为3，E 为棱BB 1上靠近B 1的三等分点，则平面AED 1截正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的截面面积为()A ．211B ．411C ．222D ．422答案C解析延长AE ，A 1B 1交于点F ，连接D 1F 交B 1C 1于点G ，如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1，∵平面AFD 1∩平面ADD 1A 1＝AD 1，平面AFD 1∩平面BCC 1B 1＝EG ，∴AD 1∥GE ，又∵AD 1＝32，GE ＝2，∴四边形AEGD 1是梯形，且为平面AED 1截正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的截面．又∵D 1G ＝AE ＝13，在等腰梯形AEGD 1中，过G 作GH ⊥AD 1，∴GH ＝D 1G 2－D 1H 2＝11，∴S ＝12·(AD 1＋EG )·GH ＝12×(2＋32)×11＝222.思维升华几何体的截面的相关计算，关键在于根据公理作出所求的截面，再运用解三角形的相关知识得以解决．跟踪训练3(2023·新乡模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，过A ，D 1，E 三点的截面把正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1分成两部分，则该截面的周长为()A．32＋25B．22＋5＋3C．9D．22＋25＋22答案A解析如图，取BC的中点F，连接EF，AF，BC1，E，F分别为棱CC1，BC的中点，则EF∥BC1，又在正方体中BC1∥AD1，则有EF∥AD1，所以平面AFED1为所求截面，因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，所以EF＝2，D1E＝AF＝22＋12＝5，AD1＝22，所以四边形AFED1的周长为32＋25.课时精练一、单项选择题1．过正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC的中点E，F作一个截面，使截面与底面ABCD 所成二面角为45°，则此截面的形状为()A．三角形或五边形B．三角形或四边形C．正六边形D．三角形或六边形答案D解析过棱AB，BC的中点E，F作正方体ABCD－A1B1C1D1的截面，∵二面角D1－EF－D，二面角B1－EF－B都大于45°，∴当截面为EFHJIG时，如图所示，为六边形；当截面为EFM 时，如图所示，为三角形．2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若AB ＝2，AD ＝AA 1＝4，E ，F 分别为BB 1，A 1D 1的中点，过点A ，E ，F 作长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的一个截面，则该截面的周长为()A ．62B ．65C ．25＋42D ．45＋22答案D解析如图，连接AF ，过点E 作EP ∥AF 交B 1C 1于点P ，连接FP ，AE ，即可得到截面AFPE ，因为E 为BB 1的中点，EP ∥AF ，所以B 1P ＝12A 1F ＝1，因为AB ＝2，AD ＝AA 1＝4，则AF ＝42＋22＝25，所以EP ＝12AF ＝5，AE ＝22＋22＝22，FP ＝22＋12＝5，所以截面AFPE 的周长为25＋5＋22＋5＝45＋2 2.3．(2023·承德模拟)在三棱锥P －ABC 中，AB ＋2PC ＝9，E 为线段AP 上更靠近P 的三等分点，过E 作平行于AB ，PC 的平面，则该平面截三棱锥P －ABC 所得截面的周长为()A ．5B ．6C ．8D ．9答案B解析如图所示，在三棱锥P －ABC 中，过E 分别作EF ∥AB ，EH ∥PC ，再分别过点H ，F 作HG ∥AB ，FG ∥PC ，可得E ，F ，G ，H 四点共面，因为AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，所以AB ∥平面EFGH ，同理可证，PC ∥平面EFGH ，所以截面即为平行四边形EFGH ，又由E 为线段AP 上更靠近P 的三等分点，且AB ＋2PC ＝9，所以EF ＝13AB ，EH ＝23PC ，所以平行四边形EFGH 的周长为2(EF ＋EH )＝23(AB ＋2PC )＝6.4．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N 分别为A 1B 1，B 1C 1的中点，过M ，N 的平面所得截面为四边形，则该截面的最大面积为()A ．22B ．25C.3102D.92答案D解析如图所示，面积最大的截面四边形为等腰梯形MNCA ，其中MN ＝2，AC ＝22，AM ＝CN ＝5，高为h ＝5－12＝322，故面积为12×(2＋22)×322＝92.5.从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥(以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点)而得到的几何体如图所示，用一个平行于底面且距底面为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为()A ．4π－4B ．4πC ．4π－2D ．2π－2答案C解析截面图形应为圆面中挖去一个正方形，且圆的半径是2，则截面圆的面积为4π，设正四棱锥的底面正方形边长为a ，则2a 2＝16，所以a ＝22，正四棱锥的底面正方形的面积为(22)2＝8，由圆锥中截面的性质，可得圆面中挖去一个正方形与正四棱锥的底面正方形相似，设圆面中挖去一个正方形的面积为S ′，正四棱锥的底面正方形的面积为S ，则S ′S ＝S ′8＝14，从而S ′＝2，所以截面图形的面积为4π－2.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AD ，C 1D 1的中点，过M ，N ，B 1三点的平面截正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1所得的截面形状为()A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形答案B解析如图，在AB 上取点Q ，且BQ ＝3AQ ，取CD 的中点P ，连接QM ，BP ，NP ，B 1Q .在DD 1上取点R ，且D 1R ＝3DR ，连接NR ，MR .因为AQ CP ＝AM BC ＝12∠QAM ＝∠PCB ，所以△QAM ∽△PCB ，所以∠AQM ＝∠BPC .又AB ∥CD ，所以∠ABP ＝∠BPC ，所以∠ABP ＝∠AQM ，所以QM ∥BP .因为N ，P 分别为C 1D 1，CD 的中点，所以PN ∥CC 1，且PN ＝CC 1.根据正方体的性质，可知BB 1∥CC 1，且BB 1＝CC 1，所以PN ∥BB 1，且PN ＝BB 1，所以四边形BPNB 1是平行四边形，所以B 1N ∥BP ，所以B 1N ∥QM .同理可得NR ∥B 1Q .所以五边形QMRNB 1即为所求正方体的截面．二、多项选择题7．用一个平面截正方体，则截面的形状不可能是()A ．锐角三角形B ．直角梯形C ．正五边形D ．正六边形答案BC解析对于A ，截面图形如果是三角形，只能是锐角三角形，不可能是直角三角形和钝角三角形．如图所示的截面为△ABC .设DA ＝a ，DB ＝b ，DC ＝c ，所以AC 2＝a 2＋c 2，AB 2＝a 2＋b 2，BC 2＝b 2＋c 2.所以由余弦定理得，cos ∠CAB ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝2a 22a 2＋b 2a 2＋c2>0，所以∠CAB 为锐角．同理可求，∠ACB 为锐角，∠CBA 为锐角．所以△ABC 为锐角三角形，故A 不符合题意；对于B ，如图，截面图形如果是四边形，可能是正方形、矩形、菱形、一般梯形、等腰梯形，不可能是直角梯形，故B 符合题意；对于C ，如图，当截面为五边形时，不可能出现正五边形，故C 符合题意；对于D ，当截面过棱的中点时，如图，即截面为正六边形，故D 不符合题意．8．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，H 是棱BC ，D 1C 1，AA 1上的动点(包含端点)，且满足CE ＝D 1F ＝AH ，则下列结论正确的是()A ．DB 1⊥平面EFHB ．存在E ，F ，H ，使得点D 到平面EFH 的距离为1C ．平面EFH 截此正方体所得截面面积的最大值为33D ．平面EFH 截此正方体所得截面的周长为定值答案ACD解析如图所示，建立空间直角坐标系，设CE ＝D 1F ＝AH ＝m ，m ∈[0,2]，则D (0,0,0)，E (m ,2,0)，F (0，m ,2)，H (2,0，m )，B 1(2,2,2)，DB 1—→·EF →＝(2,2,2)·(－m ，m －2,2)＝－2m ＋2m －4＋4＝0，故DB 1—→⊥EF →，即DB 1⊥EF ，同理可得DB 1⊥EH ，EF ∩EH ＝E ，EF ，EH ⊂平面EFH ，故DB 1⊥平面EFH ，故A 正确；平面EFH 的一个法向量为DB 1—→＝(2,2,2)，点D 到平面EFH 的距离为|DH →||cos 〈DH →，DB 1—→〉|＝|DH →·DB 1—→||DB 1—→|＝4＋2m 23＝1，解得m ＝3－2，不满足题意，故B 错误；设平面EFH 分别与A 1D 1，AB ，CC 1交于P ，Q ，R ，设P (p ,0,2)，则PF →·DB 1—→＝(－p ，m ,0)·(2,2,2)＝－2p ＋2m ＝0，p ＝m ，即P (m ,0,2)，同理可得，Q (2，m ,0)，R (0,2，m )，故|HR →|＝|PE →|＝|FQ →|＝22，PF ∥HR ∥QE ，如图，过点P 作PM ⊥HR 于M ，EN ⊥HR 于N ，则|PM →|＝62(2－m )，|EN →|＝62m ，截面面积为S ＝12(2m ＋22)×62(2－m )＋12×(22＋22－2m )×62m ＝－3(m －1)2＋33，当m ＝1时有最大值为33，故C 正确；截面的周长为2m ＋2(2－m )＋2m ＋2(2－m )＋2m ＋2(2－m )＝62，为定值，故D 正确．三、填空题9．(2024·曲靖模拟)“中国天眼”(如图1)是世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠(球冠是球面被平面所截的一部分，如图2所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的线段叫做球冠的高．若球面的半径是R ，球冠的高度是h ，则球冠的面积S ＝2πRh )．已知天眼的球冠的底的半径约为250米，天眼的反射面总面积(球冠面积)约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为________米参考数值：4π－1≈答案130解析由题意得(R －h )2＋2502＝R 2，则2Rh ＝h 2＋2502，则S ＝2πRh ＝πh 2＋2502π＝250000，所以h 2＝250000－2502ππ＝250所以h ＝2504π－1≈250×0.52＝130.10.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，M 为线段BB 1上的一动点，则过A ，M ，C 1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为________．答案32＋14解析由题意可知过A ，M ，C 1三点的平面截该三棱柱所得截面的周长即△AMC 1的周长，因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各侧面均为矩形，所以AC 1＝AC 2＋CC 12＝14，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面部分展开图如图所示，则在矩形ACC 1A 1中，AM ＋MC 1≥AC 1＝AC 2＋CC 21＝32，所以过A ，M ，C 1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为32＋14.。
立体几何中截面问题重难考点归纳总结
高三二轮专题复习立体几何中截面问题重难考点归纳总结作空间几何体截面的常见方法：（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3） 作延长线找交点法：若直线相交但是立体图形中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.考点一：截面形状的判断1．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．平面以任意角度截正方体，所截得的截面图形不可能为（） A ．等腰梯形B ．非矩形的平行四边形C ．正五边形D ．正六边形2．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是棱B 1B 、B 1C 中点，点G 是棱CC 1的中点，则过线段AG 且平行于平面A 1EF 的截面图形为（ ）A ．矩形B ．三角形C ．正方形D ．等腰梯形3．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体﹐则截面图形可能是______（填序号）．4．（多选题）一个正方体内有一个内切球，用一个平面去截，所得截面图形可能是图中的（ ）A ．AB ．BC ．CD ．D5．在正方体中，M ，N ，Q 分别为棱AB ，的中点，过点M ，N ，Q 作该正方体的截面，则所得截面的形状是（） A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形考点二：求截面面积6．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的表面积为（） A ． B ． C ． D ． 7．已知球O 的表面积为，则过球Q 一条半径的中点，且与该半径垂直的截面圆的面积为___________. 8．已知圆锥的侧面积为，若其过轴的截面为正三角形，则该圆锥的母线的长为___________. 9．已知正四棱柱中、的交点为，AC 、BD 的交点为，连接，点为的中点.过点且与直线AB 平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1，则正四棱柱的体积为______________.111-ABCD A B CD 111,B B C D 1O 2O 12O O 24π20π8π29π11A C 11B D 1O 2O 12O O O 12O O O 1111ABCD A B C D -10．已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，C ，E 的平面截得的截面面积为______. 11．已知圆锥的侧面积为20π，底面圆O 的直径为8，当过圆锥顶点的平面截该圆锥所得的截面面积最大时，则点O 到截面的距离为______________.12．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，点是棱的中点，则过线段且平行于平面的截面的面积为A ． B． C ． D13．已知棱长为的正四面体，，，分别是棱，，的中点，则正四面体的外接球被三角形所在的平面截得的截面面积是（ ）A ．B ．C ．D ． 14．已知三棱锥的所有棱长均相等，四个顶点在球的球面上，平面经过棱，，的中点，若平面截三棱锥和球所得的截面面积分别为，，则（ ） ABC ．D ． 15．已知正方体的长为2，直线平面，下列有关平面截此正方体所得截面的结论中，说法正确的序号为______．①截面形状一定是等边三角形：②截面形状可能为五边形；③截面面积的最大值为④存在唯一截面，使得正方体的体积被分成相等的两部分．16．已知某圆锥轴截面的顶角为，过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为，则该圆锥的1111ABCD A B C D -1124BE BB ==143AB AA =1A 1111ABCD A B C D -,E F 111,B B B C G 1CC AG 1A EF 198894ABCD E F N AB AC AD ABCD EFN 73π83π103π163πA BCD -O αAB AC AD αA BCD -O 1S 2S 12S S =38π364π1111ABCD A B C D -1AC ⊥αα120 2底面半径为（） ABC ．D ．17．在长方体中，已知，，分别为，的中点，则平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为___________.考点三：求截面周长18．如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱的四等分点（靠近点），过点作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.19．已知在棱长为6的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，过A ，E ，F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．20．正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为（ ）1111ABCD A B C D -122AA AB AD ===E F 1BB 11D C 11A BCD 1C CEF -1111ABCD A B C D -4AB =E BC F 11A D 1D ,,A E FA ．B ．C ．D ．21．在三棱锥中，，截面与，都平行，则截面的周长等于（ ）A ．B ．C ．D ．无法确定考点四：截面最值问题22．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 23．正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱AB 的中点，过E 作此正四面体的外接球的截面，则该截面面积的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 24．已知球O 是正三棱锥A -BCD （底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC =3，AB =E 在线段BD 上，且BD =3BE ．过点E 作球O 的截面，则所得截面面积的最小值是（ ） A ． B． C ． D ．25．如图，四边形为四面体的一个截面，若四边形为平行四边形，，，则四边形的周长的取值范围是___________.26．如图，设正三棱锥的侧棱长为，，分别是上的点，过作三棱锥的截面，则截面周长的最小值为________.+A BCD -AB CD a ==MNPQ AB CD MNPQ 2a 4a a P ABC -O PA PB PC ==ABC ∆P ABC -16Q BC Q O 13,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦13,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]46ππ，[]412ππ，[]4ππ，[]6ππ，2π3π4π5πEFGH ABCD EFGH 4AB =6CD =EFGH P ABC -240APB ∠=︒,E F ,BP CP ,,A E F AEF27．正三棱锥，点在棱上，且，已知点都在球的表面上，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为___________.考点五：有关截面的综合问题28．如图，在正方体中，点P 为线段上的动点（点与，不重合），则下列说法不正确的是（ ）A ．B ．三棱锥的体积为定值C ．过，，三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形D ．DP 与平面所成角的正弦值最大为 29．（多选题）在棱长为2的正方体中，以下结论正确的有（）A ．三棱锥外接球的体积是B ．当点在直线上运动时，的最小值是P ABC -AB ==E PA 3PE EA =P A B C 、、、O E O ααO 1111ABCD A B C D -11A C P 1A 1C BD CP ⊥C BPD -P C 1D 1111D C B A 131111ABCD A B C D -11B A DC -Q 1BC 1A Q QC +8+C ．若棱，，的中点分别是，，，过，，三点作正方体的截面，则所得截面面积为D ．若点是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是直线30．（多选题）如图，正方体的棱长为1，P 为的中点，Q 为线段上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面多边形记为S ，则下列命题正确的是（ ）A ．当时，S 为等腰梯形B ．当时，S 与的交点R 满足C ．当时，S 为六边形D ．当时，S31．（多选题）在正方体中，，点E ，F 分别为，中点，点P 满足，，则（ ）A ．当时，平面截正方体的截面面积为B ．三棱锥体积为定值 AB 1AA 11CDEFG E F G M 1111D C B A D 1C M 11A D 1111ABCD A B C D -BC 1CC 12CQ =34CQ =11C D 113C R =314CQ <<1CQ =1111ABCD A B C D -2AB =AB BC 1AP AA λ= [0,1]λ∈1λ=PEF 941P ECC -C ．当时，平面截正方体的截面形状为五边形D ．存在点P ，二面角为45°10,3λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦PEF P EF A --Word 版见：高考高中资料无水印无广告word 群559164877详细解析1．C 【详解】画出截面图形如图：可以画出等腰梯形，故A 正确；在正方体中，作截面（如图所示）交，，，分别于点，，，，根据平面平行的性质定理可得四边形中，，且，故四边形是平行四边形，此四边形不一定是矩形，故B 正确；经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形，故C 错误；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故D 正确． 故选：C1111ABCD A B C D EFGH 11C D 11A B AB CD E F G H EFGH //EF HG //EH FGEFGH高中数学教研群 QQ 群号929518278 精品资料每天更新2．D 【详解】取的中点，如图连接、、、，由题意得：，， 不在平面内，平面内，∴平面.不在平面内，平面内，∴平面.，平面，平面平面，过线段且平行于平面的截面图形为等腰梯形．故选：．3．①⑤【详解】由题意，当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件； 当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件， 综上可知截面的图形可能是①⑤.故答案为：①⑤4．AB 【详解】由组合体的结构特征可知：当截面过球与正方体切点时可知A 正确、C 错误；当截面过正方体的对角面时可知B 正确；此题是正方体的内切球，可知D 错误.故选：AB5．D 【详解】如图所示：分别为中点，M ，N ，Q 确定平面， 且，故，，故，同理可得，，，故截面为六边形.故选：D. BC H AH GH 1D G 1AD //GH EF 1//AH A F GH 1A EF EF ⊆1A EF ||GH 1A EF AH 1A EF 1A F ⊆1A EF ||AH 1A EF GH AH H = ,GH AH ⊆1AHGD ∴1//AHGD 1A EF AG AEF 1AHGDD ,,EF H 111,,AD DD B C αNH MQ ∥N α∈NH α⊂,Q H αα∈∈QH α⊂FQ α⊂EF α⊂EM α⊂6．B 【详解】根据题意，所得截面是边长为4的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面是半径为的圆，且高为4，所以其表面积.故选：B. 7．【详解】 设球的半径为，则，解得.设截面圆的半径为，由题知：， 所以截面圆的面积.故答案为： 8．【详解】 设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线为l ,又圆锥过轴的截面为正三角形，圆锥的侧面积为， ∴， ∴.故答案为：. 9．3【详解】设正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，由题知当截面平行于平面时，截面面积最小；当截面为平面时，截面面积最大，2()22222424S =⨯+⨯⨯=πππ32ππR 248R ππ=R =r r ==232S ππ==32π2329π22,9l r rl ππ==23l =23ABCD 11A B CD因为过点且与直线AB 平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1，所以， 于是正四棱柱的体积为.故答案为：3.10．由题意，正四棱柱中，，， 可得，在上取点，使得，连接，则有， 所以四边形是平行四边形，由勾股定理可得，所以所以， 所以四边形是平行四边形的面积为， 故答案为：O 21a ⎧=⎪⎨=⎪⎩13a h =⎧⎨=⎩1111ABCD A B C D -23a h =1111ABCD A B C D -1124BE BB ==143AB AA =1118,2AA BB CC BE ====1DD F 12D F =1,A F CF 11,//A F CE A F CE =1A ECF 11A E CE A C ====2221111cos 2A E CE A C A EC A E CE +-∠===⨯1sin A EC ∠=1A ECF 11sin A E EC A EC ⨯⨯∠==11设圆锥的底面圆的半径为r ，高为h ,母线长为l ,则，∴，h =3,由于h<r ,所以圆锥的轴截面为钝角三角形，所以过圆锥顶点的平面截该圆锥所得的截面为直角三角形时面积最大，如图，△SAB 为截面三角形，SO 为圆锥的高，设点O 到截面的距离为d ，则∴，即， ∴，即点O. 12．B 【详解】取BC 的中点H ，连接，4,20r rl ππ==5l =25,2SAB AB S == 14,2AOB OA OB S ===⨯= 1133SAB AOB S d S h ⋅=⋅ 12513323d ⨯⋅=d =,AH GH因为面AHGD1，面AHGD1，面AHGD1，同理，面AHGD1，又，则平面AHGD1∥平面A1EF，等腰梯形AHGD1，，故选B．13．D【详解】过点作平面的垂线，垂足为，交平面于点，设该四面体外接球球心为，连接，作图如下所示：因为四面体为正四面体，且面，故点为△的外心，则该四面体的球心一定在上，不妨设外接球球心为；因为分别为的中点，则//，//，又，且面，面，故平面//平面，故面，又为中点，故也为中点.因为正四面体的所有棱长为，故1,EF BC GH EF⊄GH⊂EF∴∥1A E∥1A E EF E⋂=98A BCD H EFN'O O,OB BHABCD AH⊥BCDH BCD AH O,,E F N,,AB AC AD EF BC FN CD,EF FN F BC CD C⋂=⋂= ,EF FN⊂EFN,BC CD⊂BCD EFN BCDAO'⊥EFN E AB'O AHABCD4243BH==则设该四面体的外接球半径为，即，则， 在△中，，即， 解得即外接球球心到平面， 设平面截外接球所得圆的半径为，则，解得，故截面圆的面积为.故选：D. 14．B 【详解】设平面截三棱锥所得正三角边长为a ，截面圆的半径为r ，则， 由正弦定理可得， ，故选：B15．④【详解】如图可知，截面形状可以是等边三角形、六边形、正六边形，∴①②明显错误；截面面积的最小值可以趋向于零，故③错误；当截面为正六边形时，截面过正方体的中心，此时正方体的体积被分成相等的两部分．故④正确.故答案为：④AH ===12O H AH ='=R OA OB R ==OH AH R R =-=Rt OHB 222OH BH OB +=222R R ⎫+=⎪⎪⎭R =OO R AO =-==''O EFN EFN r 222r +=2163r =163παA BCD -21S =sin 60a r ==︒22243πa S πr ∴==12S S =∴16．A 【详解】如图，由题可知，，又过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为，∴，即， 在中，.故选：A. 17．【详解】 以点为原点建立空间直角坐标系如图所示：120APB ∠= 30ABP ∠= 22122l =2l =Rt POB cos302r l === 98πD依题意得：，，，则，，所以，则；设为中点，因为则，所以点为三棱锥外接球的球心，则设球心到平面的距离为，又因为为中点，所以点到平面的距离为，由于，所以故截面圆的半径为，所以截面圆面积为. 故答案为：18如图，取的中点，取上靠近点的三等分点，()0,2,0C ()1,2,1E ()0,1,2F ()1,0,1EC =-- ()111EF ,,=-- 1010EC EF ⋅=+-= EF EC ⊥O CF EF EC ⊥1EO OC FO C O ===O 1C CEF -12R CF ==O 11A BCD h O CF F 11A BCD 2h 111244h C D ==⨯=h =r ==98π98π11C D H 1CC 1C G连接，易证，则五边形为所求截面.因为，所以， 则， 故该截面的周长是.19．如图，延长EF ，A 1B 1，相交于点M ，连接AM ，交BB 1于点H ，延长FE ，A 1D1，相交于点N ，连接AN，交DD 1于点G ，连接FH，EG，可得截面为五边形AHFEG .因为ABCD-A 1B 1C 1D1是棱长为6的正方体，且E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，由中位线定理易得：EF ＝：AG ＝AH ＝EG ＝FH AH ＋HF ＋EF ＋EG ＋AG ＝故答案为：20．B 【详解】如图，在正三棱柱中，延长AF 与CC 1的延长线交于M ，连接EM 交B 1C 1于P ，连接FP ，则四边形AEPF 为所求截面.,,,,AE EG GH HF FA //,//AE HF AF EG AEGHF 4AB =111182,3,1,3BE CE C H D H A F D F CG =======143C G =103AE EG ==5,GH HF AF ===AE EG GH HF AF ++++=+111ABC A B C -过E 作EN 平行于BC 交CC 1于N ，则N 为线段CC 1的中点，由相似于可得MC 1=2，由相似于可得：， 在中，，则，在中，，则在中，，则在中，， 由余弦定理：，则故选：B.21．A 【详解】 设，因为平面，平面平面，平面，所以，同理可得，，，故四边形为平行四边形， 所以，. 因为，所以，， 1MFC MAC △1MPC △MEN 111242,2333PC PC B P =⇒==1Rt AA F 112,1AA A F ==AF ==Rt ABE △2,1AB BE ==AE ==1Rt B EP 1121,3B E B P ==PE ==1C FP 11141,,603C F C P FC P ==∠=︒2224413121cos 60339PF ⎛⎫=+-⨯⨯⨯︒= ⎪⎝⎭PF ==AM k CM=//AB MNPQ ABC MNPQ MN =AB ÌABC //MN AB //PQ AB //MQ CD //NP CD MNPQ 11MN PQ AB AB k ==+1MQ NP k CD CD k==+AB CD a ==1a MN PQ k ==+1ak MQ NP k==+所以四边形的周长为. 故选：A.22．A 【详解】设在底面上的射影为，因为，所以为的中心，由题可知，，由，解得 在正中，可得.从而直角在中解得. 进而可得，，，因此正三棱锥可看作正方体的一角， 正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，正方体对角线的中点为球心. 记外接球半径为，则所以过的平面截球所得截面的面积最大为； 又为中点，由正方体结构特征可得 由球的结构特征可知，当垂直于过的截面时， MNPQ 2211a ak MN PQ MQ NP a k k ⎛⎫+++=+= ⎪++⎝⎭P ABC M PA PB PC ==M ABC ∆ABC S ∆1136P ABC ABC V PM S -∆=⨯⨯=PM =ABC ∆AM =ABC 1PA =PA PB ⊥PB PC ⊥PC PA ⊥P ABC -P ABC -O R R Q O 2max 34S R ππ==Q BC 1122OQ PA ==OQ Q截面圆半径最小为. 因此，过的平面截球所得截面的面积范围为. 故选：A.23．A 【详解】如图，将正四面体补为边长是ABCD 的外接球为正方体 的外接球，球心O在体对角线的中点，且球的半径；当OE 垂直于截面时，截面面积最小，截面圆的半径为面积为；当截面过球心O 时，截面面积最大，截面圆的半径为，面积为故选:A24．A【详解】解：如图，O 1是A 在底面的射影，由正弦定理得，△BCD 的外接圆半径r ==2min 12S r ππ==Q O 13,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦R =12r ==4π1r R =6π1031sin 602r =⨯=由勾股定理得棱锥的高AO 1；设球O 的半径为R ，则，解得，所以OO 1=1；在△BO 1E 中，由余弦定理得 所以O 1E =1；所以在△OEO 1中，OE；当截面垂直于OE. 故选：A25．【详解】解：四边形为平行四边形，；平面，平面， 平面；又平面，平面平面，，同理可得；设，， ，， ； 又，，， ，且； 四边形的周长为 ，；四边形周长的取值范围是．故答案为：26．将正三棱锥的三个侧面展开如图，由图可知，为使的周长最小，只需让四点共线即可，则当为与交点时，的周长最小，由题意，，∴，得的周长3==()223R R =-2R =2113211,O E =+-⨯==2π(8,12) EFGH //EH FG ∴EH ⊂/ ABD FG ⊂ABD //EH ∴ABD EH ⊂ ABC ABC ABD AB =//EH AB ∴//EF CD EH x =EF y =∴EH CE AB CA =EF AE CD AC =∴1EH EF CE AE AC AB CD CA AC AC+=+==4AB =Q 6CD =∴146x y +=614x y ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭04x <<∴EFGH 2()2[6(1)]4xl x y x =+=+-12x =-81212x ∴<-<∴EFGH (8,12)(8,12)AEF 1,,,A E F A ,E F 1AA ,BP CP AEF 140BPC CPA APB ∠=∠=∠=︒1120APA ∠=︒1AA ===AEF的最小值为故答案为：27．【详解】，，， 同理，故可把正三棱锥补成正方体（如图所示），其外接球即为球，直径为正方体的体对角线，故，设的中点为，连接，则.所以，当平面时，平面截球O 的截面面积最小，，故截面的面积为.故答案为：28．D 【详解】由题可知平面，所以，故A 正确； 由等体积法得为定值，故B 正确； 设的中点为，当时，如下图所示：3π4PA PC PB === AB AC BC ===222PA PC AC ∴+=2CPA π∴∠=2CPB BPA π∠=∠=O 2R =PA F OF OF =OF PA ⊥3OE ==OE ⊥αα=3π3πBD ⊥11ACC A BD CP ⊥113C BPD P BCD BCD V V S AA --==⋅⋅ 11A C M 1P MC ∈此时截面是三角形，当时，如下图所示：此时截面是梯形，故C 正确；选项D ，在正方体中，连接，则为在平面上的射影，则为与平面所成的角，设正方体的棱长为1，，则当取得最小值时，的值最大，即时，， 所以D 不正确. 故选：D.29．ACD 【详解】对于A ：三棱锥的外接球即为正方体的外接球，因为正方体的外接球的直径即为正方体的体对角线，即所以外接球的体积是，故选项A 正确；1D QC 1PMA ∈1D QRC 1D P 1D P DP 1111D C B A 1D PD ∠DP 1111D C B A 1PD x =DP =1sin D PD ∠x 1sin D PD ∠111D P A C ⊥x 1sin D PD ∠11B A DC -1111ABCD A B C D -2R =R 34π3V =´=对于B ：把沿翻折到与在同一个平面（如图所示），连接，则是的最小值，其中是边长为的等边三角形，是直角边为的等腰直角三角形，所以， 即故选项B 错误；对于C ：分别取棱，，的中点，，，连接，，，，，，则易知过，，三点的截面是正六边形，1BCC 1BC 11A C B △1A C 1A C 1A Q QC +11A C B △1BCC 211A C A Q QC =+==1A Q QC +11A D 1CC BC H M N EF FH HG GM MN NE E F G EFHGMN所以截面面积为故选项C 正确；对于D ：因为是平面上到点和距离相等的点，所以点的轨迹是平面与线段的垂直平分平面的交线，即点的轨迹是平面与平面的交线，所以点的轨迹是直线，即选项D 正确．故选：ACD.30．ABD 【详解】解：过点A ，P ，Q 的平面截正方体，当时，其截面形状为梯形如图1，特别地当时，截面形状为等腰梯形， 当时，其截面形状为五边形如图2． 若，则，所以． 当时，与重合，其截面形状为四边形如图3，此时，因为P 为的中点，且，所以为的中点，所以，同理，所以四边形为平行四边形，所以四边形为菱形，其面积为ABD 正确． 故选：ABD.31．BCD 【详解】A 选项中，当时，与重合，则截面为等腰梯形，其面积为，故A 选项错误； 1(62⨯=M 1111D C B A D 1C M 1111D C B A 1DC 11A BCD M 1111D C B A 11A BCD 11A D M 11A D 102CQ <≤12CQ =112CQ <<34CQ =1113C Q C R QC CM ==113C R =1CQ =Q 1C PQ AP =BC CP AD ∕∕Q MN PC AE ∕∕QE AP ∕∕APQE APQE 112AC PE ⋅==1λ=P 1A 92B 选项中，因为平面，故P 到平面的距离不变，故三棱锥体积为定值．故B 选项正确：C 选项中，当时，其截面刚好为五边形，时，截面为五边形；故C 选项正确；D 选项中，当点P 与重合时，其二面角正切值为，此时二面角大于45°， 所以存在点P ，二面角为45°，D 选项正确；故选：BCD ．1//AA 1ECC 1ECC 1P ECC -13λ=103λ<<1A P EF A --。
立体几何中的截面问题
线段DD1上靠近D的三等分点，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1被过点A1，M，N的平
面所截，则所得截面的周长为
(B)
A．10＋8 2
B．10＋7 2
C．9＋8 2
D．9＋7 2
【解析】 如图，延长 C1C 至 Q，使得 CQ＝1，连接 MQ，NQ， 则四边形 A1MQN 为平行四边形．记 MQ 与 BC 交于点 R，NQ 与 CD 交于点 P，则截面为五边形 A1NPRM．易得 A1N＝4 2，A1M ＝5，MR＝ 32＋32＝3 2，NP＝ 22＋832＝130，PR＝ 12＋432 ＝53，故所得截面的周长为 A1M＋MR＋PR＋PN＋A1N＝5＋3 2 ＋53＋130＋4 2＝10＋7 2．
球心
O
到平面
MNPQ
的距离
d
＝
EG
＝
1 2
EC1
．
设
正
方
体
ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2 2，则 R＝12EF＝ 2，d＝EG＝12EC1＝1，所以球 O 被平面 MNPQ 所截的小圆半径 r＝ R2－d2＝ 2－1＝1，所以球 O 被平面 MNPQ 所截的小
圆面积为 πr2＝π．又易知 NM＝2，PN＝2 2，所以该正方体被平面 MNPQ 所截得的
图(1)
PQ⊂底面A1B1C1D1，所以PQ⊥CC1．因为A1C1，CC1⊂平面A1C1CA，A1C1∩CC1＝ C1，所以PQ⊥平面A1C1CA．因为CE⊂平面A1C1CA，所以PQ⊥CE，即l⊥CE．
1 (2023·汕头二模节选)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中， 直线l⊂平面A1B1C1D1，l∩A1C1＝E，A1E＝3EC1． (2)设点A与(1)中所作直线l确定平面α．请在图中作出平面α截正方 体ABCDA1B1C1D1所得的截面，并写出作法．
立体几何中的截面问题
立体几何中的截面问题一．基本原理：过正方体（长方体）上三点做截面.1.三点中有两点共面例1.如图，在正方体ABCD－A 1B 1C 1D 1中，E，F，G 分别在AB，BC，DD 1上，求作过E，F，G 三点的截面．思路：当三点中有两点共面时，做截面的思路就是先找共面两点所在直线与该平面所有的棱交点，而这些交点由同时在另外一个平面中，即该截面和正方体某个侧面的交点，这样利用公理1，逐次相连找到所有的交点，即可得到截面.解析：作法：①.由于F E ,共面，在底面AC 内，过F E ,作直线EF ，与DA 于L ，显然，此时L 即在侧面D A 1内，又在欲求截面内，而该截面与侧面D A 1又交于点G ，根据公理1，截面与侧面D A 1交于L .同理，过F E ,作直线EF 与DC 的延长线交于M ，此时M 即在侧面1DC 内，又在欲求截面内，根据公理1，截面与侧面1DC 交于M .②在侧面D A 1内，连接LG 交1AA 于K .③在侧面1DC 内，连接GM 交1CC 于H .④连接FH KE ,.则五边形EFHGK EFHGK 即为所求的截面．练习1.（三点两两共面）P，Q，R 三点分别在直四棱柱AC 1的棱BB 1，CC 1和DD 1上，试画出过P，Q，R 三点的截面作法．解析：作法：（1）连接QP，QR 并延长，分别交CB，CD 的延长线于E，F.（2）连接EF 交AB 于T，交AD 于S.（3）连接RS，TP.则五边形PQRST 即为所求截面．例2.（三点所在的棱两两异面）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，R Q P ,,分别为111,,CC AB D A 上三点，求过这三点的截面.分析：此题的难点在于R Q P ,,三点均不在同一个侧面（底面）中，这样我们就暂时无法通过侧面（底面）中连线与棱的交点来找到截面的边界点，于是需要先做出一个平面来，让上面三点RQ P ,,中有两点共面，这就转化成例1的情形，从而解决问题.解：如图，作1//BB QE 交11B A 与E ，则1,RC QE 确定一个平面，转化为例1的情形.连接QR EC ,1,交于点F ；连接PF 交1111,B A D C 延长线于H G ,；连接HQ 交11,BB AA 延长线于J I ,；连接JR 交BC 于K .则KRGPIQK 为所作截面.例3.利用平行关系确定截面在三棱锥A BCD -中，AB CD a ==，截面MNPQ 与AB ，CD 都平行，则截面MNPQ 的周长等于（）A．2a B．4a C．a D．无法确定解析：设AM k CM=，因为//AB 平面MNPQ ，平面ABC 平面MNPQ MN =，AB Ì平面ABC ，所以//MN AB ，同理可得//PQ AB ，//MQ CD ，//NP CD ，故四边形MNPQ 为平行四边形，所以11MN PQ AB AB k ==+，1MQ NP k CD CD k ==+.因为AB CD a ==，所以1a MN PQ k==+，1ak MQ NP k ==+，所以四边形MNPQ 的周长为2211a ak MN PQ MQ NP a k k ⎛⎫+++=+= ⎪++⎝⎭.故选：A.二．截面的的画法小结1.确定截面的主要依据有（1）平面的四个公理及推论．（2）直线和平面平行的判定和性质．（3）两个平面平行的性质．2.作截面的几种方法（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。
立体几何截面问题技巧
立体几何截面问题技巧一、立体几何截面问题的小烦恼立体几何里的截面问题啊，就像一个小怪兽，有时候真的很让人头疼呢。
不过别担心，咱一起把它搞定。
二、常见的立体几何形状与截面1. 正方体正方体可是最常见的啦。
当平面去截正方体的时候，那截面的形状可就多了去了。
可能是三角形，比如说沿着正方体的一个顶点和相对的两条棱的中点去截，就得到一个等腰三角形截面呢。
还可能是四边形，像平行四边形、矩形啥的。
要是斜着从正方体的对角去截，还能得到一个菱形截面哦。
如果从正方体相对的两个面的对角线去截，那就是一个矩形截面啦。
2. 棱柱棱柱也有很多好玩的截面情况。
三棱柱呢，如果平面平行于底面去截，那截面就和底面形状一样，是个三角形。
要是斜着截三棱柱，可能得到四边形截面。
对于长方体这种特殊的四棱柱，和正方体类似，也有很多不同形状的截面。
3. 棱锥棱锥也不简单。
比如三棱锥，平面从顶点开始截，可能得到三角形截面。
要是从棱锥的侧面去截，就可能得到四边形截面之类的。
三、做截面问题的小技巧1. 确定平面的位置要想知道截面长啥样，首先得搞清楚平面在哪里。
可以通过找平面和立体图形的棱的交点来确定。
比如说在正方体里，想象一个平面从某个棱开始切入，然后看这个平面会和其他的棱在哪里相交，这些交点连起来就是截面的轮廓啦。
2. 利用空间想象力这可太重要了。
闭上眼睛，在脑海里把立体图形和平面的相交情况想象出来。
就像你在看一场3D电影一样，让那些线条和形状在你的脑袋里动起来。
如果想象不出来，可以拿个实物模型，比如正方体的小积木，用一张纸当作平面去模拟截的过程，这样会直观很多。
3. 从特殊到一般先从简单的特殊情况入手。
比如说先考虑平面平行于底面或者垂直于某条棱的情况，把这些特殊情况的截面搞清楚了，再去思考那些斜着的、比较复杂的平面截的情况。
四、多做练习题巩固多做练习题就像是给我们的小脑袋瓜“健身”一样。
在做练习题的时候，要仔细分析题目里给出的立体图形的特点，还有平面的位置关系。
立体几何中的截面问题
立体几何中的截面问题傅钦志(浙江省衢州中专,324000) 收稿日期:2006-12-19 修回日期:2006-12-28 (本讲适合高中)截面问题涉及到截面形状的判定、截面面积和周长的计算、截面图形的计数、截面图形的性质及截面图形的最值.本文介绍此类问题的求解方法.1 判断截面图形的形状例1 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 的中点E 、F 作一个截面,使截面与底面所成的角为45°.则此截面的形状为( ).(A )三角形或五边形(B )三角形或六边形(C )六边形(D )三角形或四边形(第六届希望杯全国数学邀请赛)图1讲解:如图1,显然,过点E 、F 必有一个截面与棱BB 1相交,此截面是三角形.设过点D 1的截面与底面所成的角为α,易求得tan α=tan ∠D 1G D=223<1.故α<45°.设过A 1C 1的截面与底面所成的角为β,易求得tan β=tan ∠O 1G O =22>1.故β>45°.于是,所求的另一截面应与A 1D 1、D 1C 1相交(不过其端点),为六边形.故选(B ).评注:先计算出特殊位置的截面与底面所成的角,再根据截面所处的位置确定截面的形状.若截面与棱DD 1相交,则截面为五边形;若截面与棱A 1D 1、D 1C 1都相交(但不过其端点),则截面为六边形;若截面与棱A 1B 1、B 1C 1都相交(但不过点B 1),则截面为四边形.2 截面面积和周长的计算 例2 如图2,正方体的三条棱为AB 、图2BC 、CD ,AD 是体对角线.点P 、Q 、R 分别在AB 、BC 、CD 上,A P =5,P B =15,BQ =15,CR =10.那么,平面PQR 向各方向延伸后与正方体的交线组成的多边形的面积是多少?(第16届美国数学邀请赛)讲解:因为B P =BQ ,所以,PQ ∥AC .这样,过点R 且平行于PQ 的直线交A F 于点U ,且AU =CR .因为过点R 且平行于PQ 的直线在平面PQR 上,所以,U 是相交得出的多边形的顶点.又UR 的中点是正方体的中心,故相交得出的多边形上的点关于正方体中心对称.因此,它的面积是梯形PQRU 面积的2倍.易知UR =202,PQ =152,PU =5 5.故所求面积为(UR +PQ )PU 2-UR -PQ22=35×2×2252=525.评注:解此题的关键是,正确画出平面PQR 与正方体相截的截面,并判断出它是关于正方体中心对称的.例3 一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”.棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是AB 的中点,F 是CC 1的中点.则过D 1、E 、F三点的截面图形的周长等于( ).(A )112(25+213+95)(B )112(15+413+95)(C )112(25+213+65)(D )112(15+413+65)(第十四届希望杯全国数学邀请赛)分析:要计算截面图形的周长,先要作出截面,其依据是平面的基本性质和确定平面的条件.作截面一般有两种方法:一是延长交线得交点;二是作平行线.图3解法1:如图3,分别延长D 1F 、DC 得交点P ,作直线EP 交BC 于点N ,交DA 的延长线于点S ,联结D 1S 交A 1A 于点M ,则五边形D 1MEN F 为截面图形.由相似三角形对应边成比例得A 1M =3MA ,CN =2NB .易得截面五边形D 1MEN F 的周长为112(25+213+95).故选(A ).图4解法2:如图4,作EM ∥A 1S ∥D 1F 交A 1A 于点M (S 为B 1B 的中点),作FN∥C 1T ∥D 1M 交BC于点N (B T =AM ),则五边形D 1MEN F为截面图形.同解法1知应选(A ).3 计算截面图形的个数例4 设四棱锥P -ABCD 的底面不是平行四边形,用平面α去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形.则这样的平面α( ).(A )不存在(B )只有一个(C )恰有两个(D )有无数多个(2005,全国高中数学联赛江苏赛区初赛)图5讲解:如图5,延长BA 、CD 交于点M ,联结PM ,则PM 为侧面P AB 与侧面PCD 的交线.同理,PN 为侧面P AD 与侧面P BC 的交线.设由直线PM 、PN 所确定的平面为β.作与平面β平行的平面α与四棱锥的各个侧面相截,则截得的四边形是平行四边形(图5中的四边形A 1B 1C 1D 1).易知,这样的平面α有无数个.故选(D ).例5 过正四面体ABCD 的顶点A 作一个形状为等腰三角形的截面,且使截面与底面BCD 所成的角为75°.这样的截面共可作出个.(第六届希望杯全国数学邀请赛)讲解:设正四面体的棱长为1.过点A 作AO ⊥平面BCD 于点O ,则AO =63.以O 为圆心、63cot 75°为半径在平面BCD 上作圆.易知此圆在△BCD 内,且所求截面与平面BCD 的交线是该圆的切线.当切线与△BCD 的一边平行时,对应的截面△AMN 是等腰三角形,则这样的截面有6个.图6当CB 1=DC 1,且B 1C 1和圆相切时(如图6),对应的截面△AB 1C 1是等腰三角形,这样的截面也有6个.作BE 与圆相切,交CD 于点E .由△BCE △ACE ,可得B E =A E ,对应的截面△AB E 也是等腰三角形,这样的截面也有6个.综上,满足条件的截面一共有18个.评注:借助于圆,进行恰当地分类,使问题巧妙地获得解决.4 确定截面图形的性质图7 例6 如图7,已知正方体ABC D -A 1B 1C 1D 1.任作平面α与对角线AC 1垂直,使得平面α与正方体的每个面都有公共点.记这样得到的截面多边形的面积为S ,周长为l .则( ).(A )S 为定值,l 不为定值(B )S 与l 均为定值(C )S 不为定值,l 为定值(D )S 与l 均不为定值(2005,全国高中数学联赛)讲解:先考察特殊情形.不妨设正方体棱长为1.如图7,取E 、F 、G 、H 、I 、J 分别为六条棱的中点,显然,正六边形EFGHIJ 是符合要求的截面,它的周长l 1=32,面积S 1=334.当截面为正△A 1BD 时,其周长l 2=32,面积S 2=32.注意到l 1=l 2,S 1≠S 2,由此可以断定S 不为定值,而l 有可能为定值.再考察一般情形.设六边形J 1E 1F 1G 1H 1I 1为任意一个符合要求的截面,则此截面与前面两个特殊的截面平行.由相似三角形对应边成比例,得J 1E 1D 1B 1=A 1E 1A 1B 1,E 1F 1A 1B =B 1E 1A 1B 1.所以,J 1E 1=2A 1E 1,E 1F 1=2B 1E 1,J 1E 1+E 1F 1=2(A 1E 1+B 1E 1)=2A 1B 1= 2.同理,另四边之和为2 2.因此,六边形J 1E 1F 1G 1H 1I 1的周长为定值3 2.故选(C ).评注:解本题应用了由特殊到一般的思维方法,这是求解复杂问题的常用方法之一.5 求截面图形的最值 例7 如图8,四面体ABCD 的各面都是图8锐角三角形,且AB =CD =a ,AC =BD =b ,AD =BC =c ,平面π分别截棱AB 、BC 、CD 、DA 于点P 、Q 、R 、S .则四边形PQRS的周长的最小值是( ).(A )2a (B )2b (C )2c (D )a +b +c (第十三届希望杯全国数学邀请赛)讲解:如图9,将四面体的侧面展开成平面图形.由于四面体各个面均为锐角三角形,图9且AB =CD ,AC =BD ,AD =BC ,所以,在展开的平面图形中AD BC A ′D ′,ABCD ′,其中,A 与A ′、D 与D ′在四面体中是同一个点,故A 、C 、A ′,D 、B 、D ′分别三点共线,且AA ′=DD ′=2BD .又四边形PQRS 在展开图中变为折线S PQRS ′(S 与S ′在四面体中是同一点),因而,当P 、Q 、R 在SS ′上时,S P +PQ +QR +RS ′最小,即四边形PQRS 周长最小.因为SA =S ′A ′,所以,最小值为l =SS ′=DD ′=2BD =2b .故选(B ).评注:解本题的关键是应用降维的思维方法,化空间为平面.例8 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =a ,BC =b ,CC 1=c (a >b >c ).记过BD 1的截面的面积为S .求S 的最小值,并指出当S 取最小值时截面的位置(即指出截面与有关棱的交点的位置).(第五届希望杯全国数学邀请赛)分析:先考虑截面所有可能的情形(截面可能是矩形,可能是平行四边形),再比较各种情形下截面面积的大小.讲解:(1)截面ABC 1D 1、截面BCD 1A 1、截面DBB 1D 1均为矩形,它们的面积分别记为S 1、S 2、S 3,则S 1=a b 2+c 2,S 2=b c 2+a 2,S 3=ca 2+b 2.因a >b >c ,易证S 1>S 2>S 3.故只须考虑截面DBB 1D 1即可.(2)截面为平行四边形,有如图10(a )、(b )、(c )三种位置(截面B ED 1F 、截面B PD1Q 、截面BRD 1S ),设它们的面积分别为S 4、S 5、S 6.图10对于截面B ED 1F ,作EH ⊥BD 1于点H (如图10(a )),则S 4=EH ·BD 1.因为BD 1是定值,所以,当EH 取最小值时,S 4有最小值S ′4.当EH 是异面直线BD 1、AA 1的公垂线时,它有最小值,且最小值是点A 1到平面DBB 1D 1的距离,即为Rt △A 1B 1D 1斜边B 1D 1上的高ab a 2+b 2.故S ′4=aba 2+b2·a 2+b 2+c 2.同理,S ′5=aca 2+c2·a 2+b 2+c 2,S ′6=bc c 2+b2·a 2+b 2+c 2.易证S ′4>S ′5>S ′6且S ′6<S 3.故截面BRD 1S 面积最小,最小值为bcb 2+c2·a 2+b 2+c 2.此时,B 1R =OG =ac2b 2+c2(如图10(d )).练习题1.正方体的截平面不可能是:①钝角三角形;②直角三角形;③菱形;④正五边形;⑤正六边形.下述选项正确的是( ).(A )①②⑤ (B )①②④(C )②③④ (D )③④⑤图11 (2005,全国高中数学联赛浙江省预赛)(提示:正方体的截面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形,但不可能是钝角三角形、直角三角形;对四边形来讲,可以是等腰梯形、平行四边形、菱形、矩形,但不可能是直角梯形;对五边形来讲,可以是任意五边形,不可能是正五边形;对六边形来讲,可以是正六边形.答案:(B ).)2.已知正四面体ABCD 的棱长为2,所有与它的四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为( ).(A )4 (B )3 (C )3 (D )3+3(2003,全国高中数学联赛山东省预赛)(提示:截面分两类:(1)截面的一侧有1个点,另一侧有3个点,这种截面共有4个;(2)截面的两侧各有2个点,这种截面共有3个.答案:(D ).)3.过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1的截面面积为S ,记S 1和S 2分别为S 的最大值和最小值.则S 1S 2为( ).(A )32(B )62(C )233(D )263(2004,湖南省数学竞赛)(答案:(C ).)4.证明:经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体一个侧面的面积.(第18届全苏数学奥林匹克)(提示:易知截面为四边形或六边形.若截面为四边形,那么,它与正方体某两相对侧面不相交,且截面在这两个侧面上的射影为整个侧面.若截面为六边形,考察正方体侧面展开图,知截面周长p ≥32a ,截面面积S >12p ×a2≥324a 2>a 2.)5.如图11,棱锥S -ABCD 的底面是中心为O的矩形ABCD ,AB =4,AD =12,SA =3,SB =5,SO =7.过顶点S 、底面中心O 和棱BC 上一点N 作棱锥的截面.问BN 为何值时,所得的截面△SMN 的面积取得最小值?这个最小值是多少?(1996,北京市数学竞赛复赛(高一))(提示:由条件易知SA ⊥平面ABCD .又OM =ON ,故S △SMN =2S △SMO .易知,当点M 到SO 的距离为异面直线AB 、SO 的距离时,S △SMO 最小.此时,S △SMO =421313,BN =71113.)●命题与解题●一类分式不等式的一种统一证法张友意 张 (湖南师范大学数学与计算机科学学院,410081) 收稿日期:2006-09-07 修回日期:2006-12-26 文[1]给出了赫尔德(H lder )不等式的等价形式:设{a i },{b i },…,{l i }(i =1,2,…,n )为正数列,α,β,…,λ为正数,且δ=α-(β+…+λ)≥1,n ≥2,则∑ni =1a αibβi…l λi≥(∑ni =1a i )αnδ-1(∑ni =1b i )β…(∑ni =1l i )λ.①式①等号成立的充要条件是,当δ=1时,各数列中对应的各项成比例,而当δ>1时,各数列均为常数列.特别地,当n ≥2且α=m +1,β=m (m >0)或 α=-m ,β=-(m +1)(m <-1)时,可得下面的权方和不等式.权方和不等式:若a i >0,b i >0(i =1,2,…,n ),m >0或m <-1,则。
高三培优讲义18---立体几何体中的截面问题(1)
专题3-4 立体几何体中的截面问题（常考题型梳理）一、如何做截面？作出过EFG 三点的截面C 1DABB 1A GC 1DABB 1A G二、如何确定截面是否已经“搞定”？题型一 作截面类型1：三个点在棱上 1．作出过EFG 三点的截面2．作出过EFG 三点的截面,EFG 为所在棱上中点（三条边都在正方体内部）ED 1C 1CGD FABA 1B 1EF D 1C 1CG D ABA 1B 1GF ED 1C 1CDABA 1B 1ED 1C 1CDFABA 1B 1G 重点题型·归类精讲3．如图①，正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，P 为线段BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A 、P 、Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，若12CQ <<，请在图中作出截面S （保留尺规作图痕迹）；4．如图，已知正方体1111ABCD A B C D −，点E 为棱1CC 的中点，在图中作出平面1BED 截正方体所得的截面图形(如需用到其它点，需用字母标记并说明位置)，并说明理由.类型二：两个点在棱上，一个点在面上5．已知G 是底面ABCD 上一点，E,F 为棱上的点，作出过EFG 三点的截面1C DBA B 1GE F题型二 补全截面再判断位置关系武汉调研&浙江杭州二模6．（多选）如图，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，满足直线MN //平面ABC 的是( )2023·温州模拟7．下列正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，则能满足//AB 平面MNP的是（ ）A ．B ．C ．D ．题型三 确定截面形状8．在正方体1111ABCD A B C D −中，1BB 和11C D 的中点分别为M ，N ．如图，若以A ，M ，N 所确定的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状为( )A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形AAMCBBCAB MC BNCMDCAB M9．如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，2AB =，E 为棱BC 的中点，F 为棱11A D 上的一动点，过点A ，E ，F 作该正方体的截面，则该截面不可能是( )A ．平行四边形B ．等腰梯形C ．五边形D ．六边形2023·重庆巴蜀中学高三校考10．（多选）已知截面定义：用一个平面去截一个几何体，得到的平面图形（包含图形内部）称为这个几何体的一个截面.则下列关于正方体截面的说法，正确的是（ ） A ．截面图形可以是七边形B ．若正方体的截面为三角形，则只能为锐角三角形C ．当截面是五边形时，截面可以是正五边形D ．当截面是梯形时，截面不可能为直角梯形2024届雅礼中学月考（二）11．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点M ，N 分别为棱11B C ，CD 上的动点（包含端点），当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为______边形12．如图正方体1111ABCD A B C D −，棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段1CC 上的动点，过A ､P ､Q 的平面截该正方体所得的截面记为Ω.若1CQ CC λ→→=，则下列结论错误的是（ ）A ．当102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,时，Ω为四边形B ．当12λ=时，Ω为等腰梯形 C ．当3,14λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，Ω为六边形D ．当1λ=时，Ω6题型四 截面周长，面积相关计算13．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，点EF 分别是棱111,B B B C 的中点，点G 是棱1C C 中点，则过线段AG 且平行于平面1A EF 的截面的面积为________．14．如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，则过三点A,D 1,E 的截面面积等于（ ）FED 11CDBA B 1A ．3 2B ．3 102C ．92D ．315．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D −中，M ，N 分别为棱AB ，11B C 的中点，过C ，M ，N 三点作正方体的截面，则以B 点为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为( )A ．83B ．8C 83D 163162ABCD A B C D −''''中，点E 、F 、G 分别是棱A B ''、B C ''、CD 的中点，则由点E 、F 、G 确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 ．17．如图，在正方1111ABCD A B C D −中，2,,,,,AB E F P M N =分别是11,,,,AB CC DD AD CD 的中点，存在过点,E F 的平面α与平面P MN 平行，平面α截该正方体得到的截面面积为______D1C CDBB 1A题型五 球的截面计算计算球截面基本规律 1.确定球心和半径2.寻找做出并计算截面与球心的距离3.要充分利用“球心做弦的垂直垂足是弦的中点”这个性质4.强调弦的中点，不一定是几何体线段的中点。
立体几何中的 截面问题
立体几何中的截面问题立体几何中的截面问题一、引言1·1 概述本文档将详细介绍立体几何中的截面问题。
截面问题是立体几何中常见的问题类型之一，涉及到在给定几何体上进行切割，求解切割平面与几何体的交线或截面的形状、性质等问题。
1·2 目的本文档的目的是为读者提供关于立体几何中截面问题的全面了解，包括截面的定义、不同几何体的截面特征、相关定理和推论的证明方法、截面问题的应用等。
1·3 适用范围本文档适用于对立体几何有一定了解的读者，特别是对截面问题感兴趣的学生、教师和研究人员。
二、截面的定义与分类2·1 截面的定义截面是指一个平面与立体几何体相交所得的曲线、线段或点集。
2·2 平行截面与垂直截面根据切割平面与几何体的相对位置，我们可以将截面分为平行截面和垂直截面两种类型。
三、不同几何体的截面特征3·1 球体的截面3·1·1 截面形状球体的截面是一个圆或一个点。
3·1·2 截面性质球体的截面是等面积的，并且与球心的连线垂直于截面。
3·2 圆柱体的截面3·2·1 截面形状圆柱体的截面可以是一个圆、一个椭圆、一条直线或两个平行线段。
3·2·2 截面性质圆柱体的截面与轴线平行或垂直，并且截面上的点到轴线的距离是恒定的。
3·3 圆锥体的截面3·3·1 截面形状圆锥体的截面可以是一个圆、一个三角形、一个直线或两个平行线段。
3·3·2 截面性质圆锥体的截面与轴线平行或垂直，并且截面上的点到轴线的距离是变化的。
3·4 正多面体的截面3·4·1 截面形状正多面体的截面可以是一个正多边形、一个多边形、一个直线或两个平行线段。
3·4·2 截面性质正多面体的截面与对称轴平行或垂直，并且截面上的点到对称轴的距离是恒定的。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。