用导数法求函数最值

用导数法求函数最值

中学数学的最值知识是进一步学习高等数学中最值问题的基础，因此最值问题历来是各类考试的热点。利用中学数学知识解决最值问题方法很多，如：配方法、不等式法、数形结合法、换元法、判别式法等等，但在我们学习了导数知识后，发现用导数法来求函数的最值要比初等方法快捷简便，因此导数法求最值也是一种不可忽视方法：

在闭区间[,]a b 上连续的函数()f x 在[,]a b 上必有最大值与最小值。

设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，求()f x 的最大值与最小值的步骤如下：

(1) 求()f x 在(,)a b 内的极值；

(2) 将()f x 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的 一个是最大值，最小的一个是最小值。

应注意：（1）()f x 的极值是局部概念，而最大(小)是值

则可看作整体概念，即在定义域内最大或最小如图所示 : （2）求函数的最值与求函数极值不同的是，在求可导函数的最值时，不需对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值，只需将导数为零的点和端点的函数值进行比较即可。

（3）可利用函数的单调性求()f x 在区间上的最值，若()f x 在[a,b]上单调增加，则()f x 的最大值为()f b ，最小值为()f a ；若()f x 在[a,b]上单调减少，则()f a 为函数最大值，()f b 为最小值。

例1：求函数53231y x x x =--+在[2,2]-上的最大值与最小值。

解：由 53231y x x x =--+得'42221091(101)(1)y x x x x =--=+-令'0y =解得

121,1x x =-=，列表讨论如下：

又因为当1x =-时y =532(1)3(1)(1)1-----+ =3 当1x =时5213111y =--+ =1-

而函数在两个端点的函数值分别为37-，39，因此函数y 的最大值为39，最小值为37- 例2：(1)求函数()f x 32

11232

x x x =

--在闭区间[1,1]-最小值及[2,3]-上的最大值。 (2)求函数2()(10),f x x x x N +=-∈的最大值。

解：(1) 对于()f x 32

11232

x x x =

--'2()2f x x x =--(1)(2).x x =+- 当(1,1)x ∈-时，'()0f x <，所以函数在区间 [1,1]-上为减函数， ∴函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值在1x =处取得，最小值是13

6

-

， 当(2,3)x ∈-时，函数有两个极值点710

(1),(2)63

f f -=

=-，而区间两个端点处的函数值为 23(2),(3)32f f -=-=-，∴函数()f x 在[2,3]-上的最大值在1x =-处取得，最大值为7

6

(3) 对于函数2()(10) (0),f x x x x =->'2()203(203).f x x x x x =-=-

由'()0f x >，得2003x <<

；'()0f x <，得203x >，从而()f x 在20

(0,)3

上是增函数，在 20(

,)3+∞上是减函数，故当20

3

x =时，()f x 取最大值，对于x N +∈，我们只要检验6x =与 7x =，函数值(6)144,(7)147f f ==

，故函数2()(10),f x x x x N +=-∈的最大值为147

评注：(1)求闭区间上可微函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不再判断，只须直接与端点的函数值比较即可获得

(4) 当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值必为函数的最值。