从算术到代数
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方法求得 x =13 这里 = 用来表示等式左右两端对称的
等量关系 从表示等量关系 保持等量关系 到求得方程的解 体
现了方程的结构特点 用方程的方法解决问题 思考的过程 往往是顺向的
3 从解决问题方法多样性的角度来看 算术的方法 列表的方法都不失为解决问题的途径 但是从思维发展的角 度来说 代数的思考是在抽象层面上的思考 代数的方法具 有一般性 有助于培养高层次的思维[2] 按照维果茨基
女 辽宁沈阳人 副教授 从事数学教育研究
80
数学教育学报
第 13 卷
进一步细化 表面结构涉及如何进行符号表示的问题 系统 结构涉及如何进行符号运算的问题 如上面我们所谈论的长 方形的周长问题 它可以表示为 2(a+b) 也可以表示为 2a+2b 它们的表面结构是不一样的 但是根据运算律它们 实质上是一样的
这种训练对于学生从算术向代数的过渡是有意义的 可 以看出 这里所表现出来的正是算术中潜在的代数结构 为 了发现和利用这些机会 即算术中潜在的代数结构 教师应 该长着 代数的眼睛和耳朵
用代数的方法解决问题和用算术的方法是不同的 让我 们看下面的例子
例 1 父亲给了玲玲 15 元钱 玲玲买文具花去了 17 元 后还剩下 11 元 你知道玲玲自己原来有多少钱吗
新的代数课程 从对运算的强调转向更加关注对问题的
表示或数学建模 转向关注学生是否能用数学的眼光把实际
情境数学化 用数学的方法解决实际问题[4~6] 因此 帮助
学生理解符号表示和符号运算 考虑我们在教学上可以做什
么 特别是在算术向代数过渡的阶段 是十分有益的 教师
对课程的深刻理解和高水平的教学设计将为学生能力的发
研究算术方法和代数方法各自的特点 研究它们之间的 联系与不同 对于提高教师的专业水平 以及有效地进行教 学设计和有针对性地对学生进行指导是十分重要的
1结 构
结构 是代数最基本的方面之一 我们这里所说的结构 正如弗赖登塔尔所指出的 结构是从语言表达抽象出来的 一 种 形 式 [1] 他 给 出 了 一 个 代 数 结 构 的 简 单 的 例 子 a + b = c 即将一个数 a 和另一个数 b 加到一起 就会得到 数 c 回想在算术中 当写两个数相加的形式时 如 2+7 通常就是要算出 2 和 7 的和 9 2+7 通常只是一个过程 9 是 2+7 的结果 而代数式 a+b 这个形式本身 既表示 a 和 b 这两个数作加法运算 也表示 a 和 b 相加的结果 即 a+b 本身既可以看作运算过程 又可以看作运算结果 也就 是作为一个对象看待 将 2+7 作为一个数的解释是真正的代 数 它与文字演算紧密相关
4 表示等量关系
在用方程的方法解决问题时 我们教师的体会与国外的 研究有相同之处 研究结果表明 大部分错误都是由于不能 够形成问题情景的数学模型而引起的 而不是由于不能够理 解问题情景或不会解代数方程[3] 因此 学生对等量关系的 理解和表示的过程不能进行得时间过短或速度过快 教师需 要借助于多种途径精心进行教学设计 帮助学生理解和表示 等量关系
本 你知道两种书各有多少本吗 1 利用算术的方法
解法一
(8 17−100) (8−4) = 36 4 = 9 17−9 = 8 解法二
(100−4 17) (8−4) = 32 4 = 8 17−8 = 9 解法三 若 100 元钱都买 4 元一本的书 可以买 100 4 = 25 本 少买 2 本 4 元的书 就可以买一本 8 元的书 因此可以 列出如表 1 所示的数目与价值关系表
表 1 书的数目与价值的关系
单价
数
量
4 元 25 23 21 19 17 15 13 11 9
8元 0 1 2
3 45 6 7 8
只有买 4 元的书 9 本 8 元的书 8 本才合题意 2 利用代数的方法 可以设买 8 元一本的书 x 本 4
元一本的书 y 本 列方程组 x + y = 17 8x + 4 y = 100
如果说把代数式作为一个运算过程来理解 对于开始学 代数的学生来说还不是太困难的话 那么把代数式作为一个
结果对象来理解就是比较困难的了 我们不妨举马明先生的
一段学生时期的回忆作为例证
已知长方形的长为 a 尺 宽为 b 尺 求其周长 我算 的结果是 2(a+b)尺 我拿着这个结果去问老师 究竟这个
长方形的周长是多少 老师说 不是已经算出来了吗
利用逆运算的方法解方程和利用代数的方法 方程的结
第2期
史炳星 从算术到代数
81
构性质 解方程是大不相同的 它是一种算术的思考 算术 思考的特点 最主要的是过程性的思考 主要集中在得到正 确的结果 而代数的思考常被描述为关系的或结构的 它的 目的往往是为了建立模型 对一般性和结构进行证明或进行 交流 尽管代数的特性可以从结构和过程两方面都可以感受 到 但是代数课程 特别是在从算术向代数过渡的阶段 最 主要的方面基本上是结构的 从这个角度来看 利用逆运算 的解法不利于形成对代数方法的认识 不利于学生向代数思 维的转化
利用消元法 解得 x = 8 y = 9 这两种方法是有区别的
1 用算术的方法寻求问题的结果 是从具体问题的已 知数出发 通过对已知数或计算产生的中间数进行一系列的 计算而达到问题的解 并不将问题形式化 这里 = 用来 表示计算结果 利用算术的方法 思考的过程往往是逆向的
2 而用方程的方法 需要首先分析问题中的等量关系 把问题表示为含有未知量的等式 建立数学模型 把问题 形式化 然后利用等式的性质对方程进行恒等变形 在变化 的过程中始终保持方程两端对称的等量关系 利用程序化的
关键词 算术 代数 结构 过程 对象 中图分类号 G421 文献标识码 A 文章编号 1004–9894 2004 02–0079–03
从算术向代数过渡 是学生数学学习过程中极为重要的 转变阶段 算术中的基本对象是数 包括数的表示 数的意 义 数之间的关系 数的运算等 这些知识对学生是基本的 它们将为学生今后的代数学习打下坚实的基础 所不同的 是 代数中的基本对象除了数 还出现了更具广泛意义的基 本对象 符号 这是代数不同于算术的典型特征 在代数 中 用字母表示数 用符号表示运算法则 运算性质 计算 公式等 将数的知识提升到一般化的水平 在代数的课程中 学生要学习符号的意义 进行符号之间的运算 形式变换 和转换 用符号进行表示 用符号解决问题 在此过程中 学生还要学习许多新的概念 如代数式 变量 参数 图像 方程 函数等 而且他们还需要懂得代数的结构 因此 代 数的内容和方法对学生提出了更高的要求 是学生所面对的 又一次挑战 学生从算术向代数的过渡 是从对数的思考向 对符号的思考的转变 是从算术思维向代数思维的转变 是 思维层次从个别到一般 具体到抽象的飞跃
其中代数式 1 是一个整体 是作为一个对象 而通常不是 n
作为 1 和 n 这两个对象
算术运算和代数运算的根本区别在于算术运算是过程
性的 算术运算的目的是为了求出算式的结果 而代数运算
是结构性的 是形式变换 代数运算具有过程和结果双重性
我们下面进一步对结构进行说明
凯伦 Kieran 1989 把结构分为表面结构和系统结构 两个层次 表面结构是指由不同的项 不同的运算构成的一
如何引入等量关系的表示 弗赖登塔尔给出了如下的 一个例子 教师首先拿起一个带有刻度的玻璃杯 其中水面 的高度是 k 然后又拿起另一个带有刻度的玻璃杯 其中水 面的高度是 c 然后教师把这两杯水都倒入第三个玻璃杯
此时这个玻璃杯含有水 b 学生利用画图表示 k c b 之间 的联系 并且得到关系式表示 c = b−k b = c+k k = b−c
又如方程的结构 方程的结构既包含了等量关系 又包 含代数式的运算结构和等式变形的结构
2解 法
等号 = 表示等式两边对称的等价关系 a = b 即是说 a b 是同一个对象 但是在算术中经常被用来 宣布一个 结果 如 2+3 =
= 所传达的信息是要把 2+3 的结果算出来 宣布 2+3 的结果是多少 在算术方法中 小学生用 = 表示计算结 果 而不是用来表示等式两边对称的等量关系 这使得小 学生在进行运算的过程中 出现诸如 2+15 = 17−11 = 6 之类 的错误 这种对等号意义的错误理解 将会给用方程的方法 解决问题带来障碍
展提供一个坚实的平台
参考文献
[1] [荷]弗赖登塔尔 作为教育任务的数学[M] 上海 上海教育出版社 1995 [2] 王长沛 数学教育与素质教育[M] 北京 中华工商联合出版社 1999 [3] Reeuwijk M van. From informal to formal, progressive formalization: An example on solving systems of equations [A].
面 同时 对于 2(a+b) 不论 a 和 b 代入何值 它都代表 周长 代表长为 a 宽为 b 的长方形的周长 是作为一个对
象 或者说是作为一个整体来理解的 它在这一背景下有着
确定的含义 我们可以进一步用下面的例子说明
用通项公式 1 (n = 1, 2, L) 表数列1 1 1 L 1 L 时
n
23 n
种代数表达形式 如 a+b −3x + 2(x +1) = 5 它们反映了
不同的数量关系 而系统结构是指源于数学系统内的运算性
质如
−3x + 2(x +1) = −3x + 2x + 2 = −x + 2 = 2 − x
分配律
合并同类项 交换律
表面结构和系统结构的区分 使得对于代数结构的认识
收稿日期 2003–12–07 作者简介 史炳星 1947
第 13 卷第 2 期 2004 年 5 月
数学教育学报
JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION
Vol.13, No.2 May, 2004
从算术到代数
史炳星
北京教育学院 数学系 北京 100044
摘要 从算术向代数过渡 是学生数学学习过程中极为重要的转变阶段 符号是代数不同于算术的典型特征 学生从算 术向代数的过渡 是从对数的思考向对符号的思考的转变 是从算术思维向代数思维的转变 是思维层次从个别到一般 具 体到抽象的飞跃
琳斯 Lins 1994 给出了一个类似的例子 两个完全 一样的容器 如图 1 但盛有不同量的水
a 容器中再倒入 9 桶水就会满 百度文库 容器中再倒入 5 桶水就会满 对这两个容器 你能得到哪些结论 学生列出 了各种形式不同的等式 例如 x+9b = y+5b 并且化为了
x+4b = y
a
b
图 1 容器盛水示意图
1 利用算术的方法 有 17+11 = 28 28−15 = 13
玲玲自己原来有 13 元
2 利用方程的方法 设玲玲原有 x 元 列方程 得
x +15−17 = 11 解得 x = 13 在学习方程的初期 有的学生列出方程 17+11−15 = x
这本质上仍是算术方法 例 2 用 100 元钱买 8 元一本的书和 4 元一本的书共 17
Vygotsky 1962 的说法 代数对算术就像书面语言对口 头语言 因此 我们的教学应该引导学生从算术的思考逐步 地过渡到代数的思考 逐步地从非形式化的水平上升到形式 化的水平
3 利用逆运算的方法解方程
一些教科书中 可能是出于使学生易于理解的原因 先 教学生利用逆运算的方法解方程 如解方程 2x−1 = 3 首先 指出 2x−1 = 3 相当于 2x 与 1 的差是 3 2x 是被减数 1 是 减数 3 是差 被减数等于减数加差 因此 2x = 1+3 = 4 其 次 指明 2x = 4 相当于 2 与 x 的乘积是 4 因此 乘数 x = 4 2=2
2(a+b)尺 我感到困惑不解 这是对初学者只知代数式表 示过程 不知代数式也表示结果的生动写照
因此 对代数式的意义的认识 学生不是一蹴而就的
而是需要一个理解的过程
代数式既表示运算过程 同时也表示运算结果 这件事
可以这样理解 如 2(a+b) 当我们代入数值 a = 2 b = 1 时 经过运算 就得到 2(2+1) = 6 这显示了代数式过程性的一
为了帮助学生理解等号的意义 国外有的教师设计了诸 如 有坏键的计算器 这样的问题 问题是这样的 一个计 算器上的 5 键坏了 不用 5 键 如何用这个计算器计 算 525−257 =
有学生用 424+101−247−10 = 268 有学生用 636−368 = 268 还有学生用 414−146 = 268 很明显 学生在这里利用 了 525−257 = 424+101−247−10 525−257 = 636−368 525−257 = 414−146 等 等量关系
等量关系 从表示等量关系 保持等量关系 到求得方程的解 体
现了方程的结构特点 用方程的方法解决问题 思考的过程 往往是顺向的
3 从解决问题方法多样性的角度来看 算术的方法 列表的方法都不失为解决问题的途径 但是从思维发展的角 度来说 代数的思考是在抽象层面上的思考 代数的方法具 有一般性 有助于培养高层次的思维[2] 按照维果茨基
女 辽宁沈阳人 副教授 从事数学教育研究
80
数学教育学报
第 13 卷
进一步细化 表面结构涉及如何进行符号表示的问题 系统 结构涉及如何进行符号运算的问题 如上面我们所谈论的长 方形的周长问题 它可以表示为 2(a+b) 也可以表示为 2a+2b 它们的表面结构是不一样的 但是根据运算律它们 实质上是一样的
这种训练对于学生从算术向代数的过渡是有意义的 可 以看出 这里所表现出来的正是算术中潜在的代数结构 为 了发现和利用这些机会 即算术中潜在的代数结构 教师应 该长着 代数的眼睛和耳朵
用代数的方法解决问题和用算术的方法是不同的 让我 们看下面的例子
例 1 父亲给了玲玲 15 元钱 玲玲买文具花去了 17 元 后还剩下 11 元 你知道玲玲自己原来有多少钱吗
新的代数课程 从对运算的强调转向更加关注对问题的
表示或数学建模 转向关注学生是否能用数学的眼光把实际
情境数学化 用数学的方法解决实际问题[4~6] 因此 帮助
学生理解符号表示和符号运算 考虑我们在教学上可以做什
么 特别是在算术向代数过渡的阶段 是十分有益的 教师
对课程的深刻理解和高水平的教学设计将为学生能力的发
研究算术方法和代数方法各自的特点 研究它们之间的 联系与不同 对于提高教师的专业水平 以及有效地进行教 学设计和有针对性地对学生进行指导是十分重要的
1结 构
结构 是代数最基本的方面之一 我们这里所说的结构 正如弗赖登塔尔所指出的 结构是从语言表达抽象出来的 一 种 形 式 [1] 他 给 出 了 一 个 代 数 结 构 的 简 单 的 例 子 a + b = c 即将一个数 a 和另一个数 b 加到一起 就会得到 数 c 回想在算术中 当写两个数相加的形式时 如 2+7 通常就是要算出 2 和 7 的和 9 2+7 通常只是一个过程 9 是 2+7 的结果 而代数式 a+b 这个形式本身 既表示 a 和 b 这两个数作加法运算 也表示 a 和 b 相加的结果 即 a+b 本身既可以看作运算过程 又可以看作运算结果 也就 是作为一个对象看待 将 2+7 作为一个数的解释是真正的代 数 它与文字演算紧密相关
4 表示等量关系
在用方程的方法解决问题时 我们教师的体会与国外的 研究有相同之处 研究结果表明 大部分错误都是由于不能 够形成问题情景的数学模型而引起的 而不是由于不能够理 解问题情景或不会解代数方程[3] 因此 学生对等量关系的 理解和表示的过程不能进行得时间过短或速度过快 教师需 要借助于多种途径精心进行教学设计 帮助学生理解和表示 等量关系
本 你知道两种书各有多少本吗 1 利用算术的方法
解法一
(8 17−100) (8−4) = 36 4 = 9 17−9 = 8 解法二
(100−4 17) (8−4) = 32 4 = 8 17−8 = 9 解法三 若 100 元钱都买 4 元一本的书 可以买 100 4 = 25 本 少买 2 本 4 元的书 就可以买一本 8 元的书 因此可以 列出如表 1 所示的数目与价值关系表
表 1 书的数目与价值的关系
单价
数
量
4 元 25 23 21 19 17 15 13 11 9
8元 0 1 2
3 45 6 7 8
只有买 4 元的书 9 本 8 元的书 8 本才合题意 2 利用代数的方法 可以设买 8 元一本的书 x 本 4
元一本的书 y 本 列方程组 x + y = 17 8x + 4 y = 100
如果说把代数式作为一个运算过程来理解 对于开始学 代数的学生来说还不是太困难的话 那么把代数式作为一个
结果对象来理解就是比较困难的了 我们不妨举马明先生的
一段学生时期的回忆作为例证
已知长方形的长为 a 尺 宽为 b 尺 求其周长 我算 的结果是 2(a+b)尺 我拿着这个结果去问老师 究竟这个
长方形的周长是多少 老师说 不是已经算出来了吗
利用逆运算的方法解方程和利用代数的方法 方程的结
第2期
史炳星 从算术到代数
81
构性质 解方程是大不相同的 它是一种算术的思考 算术 思考的特点 最主要的是过程性的思考 主要集中在得到正 确的结果 而代数的思考常被描述为关系的或结构的 它的 目的往往是为了建立模型 对一般性和结构进行证明或进行 交流 尽管代数的特性可以从结构和过程两方面都可以感受 到 但是代数课程 特别是在从算术向代数过渡的阶段 最 主要的方面基本上是结构的 从这个角度来看 利用逆运算 的解法不利于形成对代数方法的认识 不利于学生向代数思 维的转化
利用消元法 解得 x = 8 y = 9 这两种方法是有区别的
1 用算术的方法寻求问题的结果 是从具体问题的已 知数出发 通过对已知数或计算产生的中间数进行一系列的 计算而达到问题的解 并不将问题形式化 这里 = 用来 表示计算结果 利用算术的方法 思考的过程往往是逆向的
2 而用方程的方法 需要首先分析问题中的等量关系 把问题表示为含有未知量的等式 建立数学模型 把问题 形式化 然后利用等式的性质对方程进行恒等变形 在变化 的过程中始终保持方程两端对称的等量关系 利用程序化的
关键词 算术 代数 结构 过程 对象 中图分类号 G421 文献标识码 A 文章编号 1004–9894 2004 02–0079–03
从算术向代数过渡 是学生数学学习过程中极为重要的 转变阶段 算术中的基本对象是数 包括数的表示 数的意 义 数之间的关系 数的运算等 这些知识对学生是基本的 它们将为学生今后的代数学习打下坚实的基础 所不同的 是 代数中的基本对象除了数 还出现了更具广泛意义的基 本对象 符号 这是代数不同于算术的典型特征 在代数 中 用字母表示数 用符号表示运算法则 运算性质 计算 公式等 将数的知识提升到一般化的水平 在代数的课程中 学生要学习符号的意义 进行符号之间的运算 形式变换 和转换 用符号进行表示 用符号解决问题 在此过程中 学生还要学习许多新的概念 如代数式 变量 参数 图像 方程 函数等 而且他们还需要懂得代数的结构 因此 代 数的内容和方法对学生提出了更高的要求 是学生所面对的 又一次挑战 学生从算术向代数的过渡 是从对数的思考向 对符号的思考的转变 是从算术思维向代数思维的转变 是 思维层次从个别到一般 具体到抽象的飞跃
其中代数式 1 是一个整体 是作为一个对象 而通常不是 n
作为 1 和 n 这两个对象
算术运算和代数运算的根本区别在于算术运算是过程
性的 算术运算的目的是为了求出算式的结果 而代数运算
是结构性的 是形式变换 代数运算具有过程和结果双重性
我们下面进一步对结构进行说明
凯伦 Kieran 1989 把结构分为表面结构和系统结构 两个层次 表面结构是指由不同的项 不同的运算构成的一
如何引入等量关系的表示 弗赖登塔尔给出了如下的 一个例子 教师首先拿起一个带有刻度的玻璃杯 其中水面 的高度是 k 然后又拿起另一个带有刻度的玻璃杯 其中水 面的高度是 c 然后教师把这两杯水都倒入第三个玻璃杯
此时这个玻璃杯含有水 b 学生利用画图表示 k c b 之间 的联系 并且得到关系式表示 c = b−k b = c+k k = b−c
又如方程的结构 方程的结构既包含了等量关系 又包 含代数式的运算结构和等式变形的结构
2解 法
等号 = 表示等式两边对称的等价关系 a = b 即是说 a b 是同一个对象 但是在算术中经常被用来 宣布一个 结果 如 2+3 =
= 所传达的信息是要把 2+3 的结果算出来 宣布 2+3 的结果是多少 在算术方法中 小学生用 = 表示计算结 果 而不是用来表示等式两边对称的等量关系 这使得小 学生在进行运算的过程中 出现诸如 2+15 = 17−11 = 6 之类 的错误 这种对等号意义的错误理解 将会给用方程的方法 解决问题带来障碍
展提供一个坚实的平台
参考文献
[1] [荷]弗赖登塔尔 作为教育任务的数学[M] 上海 上海教育出版社 1995 [2] 王长沛 数学教育与素质教育[M] 北京 中华工商联合出版社 1999 [3] Reeuwijk M van. From informal to formal, progressive formalization: An example on solving systems of equations [A].
面 同时 对于 2(a+b) 不论 a 和 b 代入何值 它都代表 周长 代表长为 a 宽为 b 的长方形的周长 是作为一个对
象 或者说是作为一个整体来理解的 它在这一背景下有着
确定的含义 我们可以进一步用下面的例子说明
用通项公式 1 (n = 1, 2, L) 表数列1 1 1 L 1 L 时
n
23 n
种代数表达形式 如 a+b −3x + 2(x +1) = 5 它们反映了
不同的数量关系 而系统结构是指源于数学系统内的运算性
质如
−3x + 2(x +1) = −3x + 2x + 2 = −x + 2 = 2 − x
分配律
合并同类项 交换律
表面结构和系统结构的区分 使得对于代数结构的认识
收稿日期 2003–12–07 作者简介 史炳星 1947
第 13 卷第 2 期 2004 年 5 月
数学教育学报
JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION
Vol.13, No.2 May, 2004
从算术到代数
史炳星
北京教育学院 数学系 北京 100044
摘要 从算术向代数过渡 是学生数学学习过程中极为重要的转变阶段 符号是代数不同于算术的典型特征 学生从算 术向代数的过渡 是从对数的思考向对符号的思考的转变 是从算术思维向代数思维的转变 是思维层次从个别到一般 具 体到抽象的飞跃
琳斯 Lins 1994 给出了一个类似的例子 两个完全 一样的容器 如图 1 但盛有不同量的水
a 容器中再倒入 9 桶水就会满 百度文库 容器中再倒入 5 桶水就会满 对这两个容器 你能得到哪些结论 学生列出 了各种形式不同的等式 例如 x+9b = y+5b 并且化为了
x+4b = y
a
b
图 1 容器盛水示意图
1 利用算术的方法 有 17+11 = 28 28−15 = 13
玲玲自己原来有 13 元
2 利用方程的方法 设玲玲原有 x 元 列方程 得
x +15−17 = 11 解得 x = 13 在学习方程的初期 有的学生列出方程 17+11−15 = x
这本质上仍是算术方法 例 2 用 100 元钱买 8 元一本的书和 4 元一本的书共 17
Vygotsky 1962 的说法 代数对算术就像书面语言对口 头语言 因此 我们的教学应该引导学生从算术的思考逐步 地过渡到代数的思考 逐步地从非形式化的水平上升到形式 化的水平
3 利用逆运算的方法解方程
一些教科书中 可能是出于使学生易于理解的原因 先 教学生利用逆运算的方法解方程 如解方程 2x−1 = 3 首先 指出 2x−1 = 3 相当于 2x 与 1 的差是 3 2x 是被减数 1 是 减数 3 是差 被减数等于减数加差 因此 2x = 1+3 = 4 其 次 指明 2x = 4 相当于 2 与 x 的乘积是 4 因此 乘数 x = 4 2=2
2(a+b)尺 我感到困惑不解 这是对初学者只知代数式表 示过程 不知代数式也表示结果的生动写照
因此 对代数式的意义的认识 学生不是一蹴而就的
而是需要一个理解的过程
代数式既表示运算过程 同时也表示运算结果 这件事
可以这样理解 如 2(a+b) 当我们代入数值 a = 2 b = 1 时 经过运算 就得到 2(2+1) = 6 这显示了代数式过程性的一
为了帮助学生理解等号的意义 国外有的教师设计了诸 如 有坏键的计算器 这样的问题 问题是这样的 一个计 算器上的 5 键坏了 不用 5 键 如何用这个计算器计 算 525−257 =
有学生用 424+101−247−10 = 268 有学生用 636−368 = 268 还有学生用 414−146 = 268 很明显 学生在这里利用 了 525−257 = 424+101−247−10 525−257 = 636−368 525−257 = 414−146 等 等量关系