范德蒙德行列式的几点应用

第2讲 范德蒙德行列式的几点应用

我们知道，n 阶范德蒙德行列式

()211112122

2

121111n n n i

j

j i n

n n

n

n

x x x x x x V x x x x x --<-=

=

-∏≤≤，

当这些i x 两两互异时，0n V ≠．这个事实有助于我们理解不少结果．

例1 证明一个n 次多项式之多有n 个互异根． 证 设()2012n n f x a a x a x a x =+++

+有1n +个互异的零点121,,

,n x x x +，则有

()20120n i i i n i f x a a x a x a x =+++

+=，1 1i n +≤≤．

即

这个关于01,,

,n a a a 的齐次线性方程组的系数行列式

()211122

2

2

11

21

1

1

11

01n

n i

j

j i n n n n n x x x x x x x x x x x <++++=

-≠∏≤≤，

因此0120n a a a a ===

==．这个矛盾表明()f x 至多有n 个互异根． 例2 设12,,

,n a a a 是n 个两两互异的数．证明对任意n 个数12,,

,n b b b ，存在惟一的次数小

于n 的多项式()L x ：

()1

n

j i i j i

i j

x a L x b a a =≠-=-∑∏

，

使得()i i L a b =，1 i n ≤≤．

证 从定义容易看出()L x 的次数小于n ，且()i i L a b =，故只需证明唯一性即可． 设()2

10121n n f x c c x c x c x --=+++

+满足

()i i f a b =，1 i n ≤≤，

即

这个关于0121,,,

,n c c c c -的线性方程组的系数行列式

()211112122

2

1211101n n i

j

j i n

n n

n

n

a a a a a a a a a a a --<-=

-≠∏≤≤，

故0121,,,

,n c c c c -是唯一的，必须()()f x L x =．

这个例子就是有名的拉格朗日插值公式．

例3 设()()()121,,

,n f x f x f x -是1n -个复系数多项式，满足 ()()()121211|n n n n n n x x f x xf x x f x ---++

+++

+，

证明()()()1211110n f f f -==

==．

证 设()()()()()211211n n n n n n f x xf x x f x p x x x ---+++=+++，取22cos

sin

i n n

ππ

ω=+，分别以2

1,,

,n x ωωω-=代入，可得

这个关于()()()1211,1,,1n f f f -的齐次线性方程组的系数行列式

()()()

2222

121

11

01n n n n n ωωωωωω-----≠，

因此()()()1211110n f f f -==

==．

例4 设n 是奇数，()()()121,,

,n f x f x f x -是1n -个复系数多项式，满足

()()()123221211|n n n n n n n n x x x f x xf x x f x -------+-

+++

+，

证明()()()1211110n f f f --=-=

=-=．

证 注意到当n 是奇数时，

()()123111n n n n x x x x x ---+=+-+-

+，

可按照例3的思路完成证明．

例5 设A 是个n 阶矩阵，证明A 的属于不同特征值的特征向量线性无关．

证 设12,,

,r λλλ是A 的两两不同的r 个特征值，非零向量12,,

,r ααα适合

i i i A αλα=，1 i r ≤≤，

假设

11220r r x x x ααα++

+=，

那么有

()11220j r r A x x x ααα++

+=，1 1j r -≤≤．

即

()1110r r r

j

j

j i i i i i i i i i i A x x A x ααλα===⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑，

注意到

()

0j i

r r

λ⨯≠，

必须11220r r x x x ααα====，于是120r x x x ==

==，这证明了12,,

,r ααα线性无关．

例6 计算行列式

()()()()()(

)()()

()

1112121222111211

11n n n n n n n x x x x x x D x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ---=，

其中()1

1k

k k k nk x x a x

a ϕ-=++

+．

解 注意到下面的等式： 即得

()1n i

j

j i n

D x x <=

-∏≤≤．

例7 计算行列式

1212111111111n n n x x x D x x x n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

⎝⎭=

⎛⎫⎛⎫

⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

，

其中()()11!x x x x k k k --+⎛⎫= ⎪⎝⎭

．

解 直接利用例6可得

()()111!2!

1!

n i

j

j i n

D x x n <=

--∏≤≤． 例8 设12,,

,n a a a 是正整数，证明n 阶行列式