范德蒙德行列式的几点应用

第2讲 范德蒙德行列式的几点应用
我们知道，n 阶范德蒙德行列式
()211112122
2
121111n n n i
j
j i n
n n
n
n
x x x x x x V x x x x x --<-=
=
-∏≤≤，
当这些i x 两两互异时，0n V ≠．这个事实有助于我们理解不少结果．
例1 证明一个n 次多项式之多有n 个互异根． 证 设()2012n n f x a a x a x a x =+++
+有1n +个互异的零点121,,
,n x x x +，则有
()20120n i i i n i f x a a x a x a x =+++
+=，1 1i n +≤≤．
即
这个关于01,,
,n a a a 的齐次线性方程组的系数行列式
()211122
2
2
11
21
1
1
11
01n
n i
j
j i n n n n n x x x x x x x x x x x <++++=
-≠∏≤≤，
因此0120n a a a a ===
==．这个矛盾表明()f x 至多有n 个互异根． 例2 设12,,
,n a a a 是n 个两两互异的数．证明对任意n 个数12,,
,n b b b ，存在惟一的次数小
于n 的多项式()L x ：
()1
n
j i i j i
i j
x a L x b a a =≠-=-∑∏
，
使得()i i L a b =，1 i n ≤≤．
证 从定义容易看出()L x 的次数小于n ，且()i i L a b =，故只需证明唯一性即可． 设()2
10121n n f x c c x c x c x --=+++
+满足
()i i f a b =，1 i n ≤≤，
即
这个关于0121,,,
,n c c c c -的线性方程组的系数行列式
()211112122
2
1211101n n i
j
j i n
n n
n
n
a a a a a a a a a a a --<-=
-≠∏≤≤，
故0121,,,
,n c c c c -是唯一的，必须()()f x L x =．
这个例子就是有名的拉格朗日插值公式．
例3 设()()()121,,
,n f x f x f x -是1n -个复系数多项式，满足 ()()()121211|n n n n n n x x f x xf x x f x ---++
+++
+，
证明()()()1211110n f f f -==
==．
证 设()()()()()211211n n n n n n f x xf x x f x p x x x ---+++=+++，取22cos
sin
i n n
ππ
ω=+，分别以2
1,,
,n x ωωω-=代入，可得
这个关于()()()1211,1,,1n f f f -的齐次线性方程组的系数行列式
()()()
2222
121
11
01n n n n n ωωωωωω-----≠，
因此()()()1211110n f f f -==
==．
例4 设n 是奇数，()()()121,,
,n f x f x f x -是1n -个复系数多项式，满足
()()()123221211|n n n n n n n n x x x f x xf x x f x -------+-
+++
+，
证明()()()1211110n f f f --=-=
=-=．
证 注意到当n 是奇数时，
()()123111n n n n x x x x x ---+=+-+-
+，
可按照例3的思路完成证明．
例5 设A 是个n 阶矩阵，证明A 的属于不同特征值的特征向量线性无关．
证 设12,,
,r λλλ是A 的两两不同的r 个特征值，非零向量12,,
,r ααα适合
i i i A αλα=，1 i r ≤≤，
假设
11220r r x x x ααα++
+=，
那么有
()11220j r r A x x x ααα++
+=，1 1j r -≤≤．
即
()1110r r r
j
j
j i i i i i i i i i i A x x A x ααλα===⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑，
注意到
()
0j i
r r
λ⨯≠，
必须11220r r x x x ααα====，于是120r x x x ==
==，这证明了12,,
,r ααα线性无关．
例6 计算行列式
()()()()()(
)()()
()
1112121222111211
11n n n n n n n x x x x x x D x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ---=，
其中()1
1k
k k k nk x x a x
a ϕ-=++
+．
解 注意到下面的等式： 即得
()1n i
j
j i n
D x x <=
-∏≤≤．
例7 计算行列式
1212111111111n n n x x x D x x x n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭=
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，
其中()()11!x x x x k k k --+⎛⎫= ⎪⎝⎭
．
解 直接利用例6可得
()()111!2!
1!
n i
j
j i n
D x x n <=
--∏≤≤． 例8 设12,,
,n a a a 是正整数，证明n 阶行列式
能被()()2
12
1221n n n n ----整除．
证 直接运用例6、例7可得 能被()()()2
121!2!
1!1221n n n n n ---=--整除．
例9 计算n 阶范德蒙德行列式
()()
()2
21212
42111
11
1
1
11
1n n n n n n V εεεεεεε
ε
ε
-----
=， 其中22cos
sin
i n n
ππ
ε=+⋅． 解 注意到1k
ε=当且仅当|n k ，可得
()()()
1222000
00
010
00
00
n n n n n n
V n n n
--==-， 由此()()
122
2n n n n V i n --=±，n V 的模2
n n V n =．现在来确定n V 的幅角：令cos
sin
i n
n
π
π
α=+，2
εα=，
故
对于上面考虑的j 和k ，总有0k j n <-<，这意味着()sin
0k j n
π
->，因此
()2
01
2sin
n n j k n k j V n n
π<--=
=∏
≤≤，
由此可设n n V V β=⋅，其中
这样就求得了()()
1322
2
n n n n V i
n --=．
例10 证明缺项的n 阶范德蒙德行列式 证 按n V 的第一行展开行列式，可得 例11 设有n 个常数12,,
,n b b b ，n 个两两不同的常数12,,,n a a a 以及由x 的恒等式
定义的一个多项式()p x ．对于一个已知多项式()t φ，定义另一个多项式()Q x ，它为上面的恒等式
中将()12,,,
,n p x b b b 分别代之以()()()()12,,,,n Q x b b b φφφ所得的x 的恒等式所确定．证明用
多项式()()
()12n x a x a x a ---除以()()p x φ所得的余式为()Q x ．
证 由于n 阶范德蒙德行列式
()211112122
2
1211101n n k
j j k n
n n
n
n
a a a a a a a
a a a a --<-=
-≠∏≤≤，
按题设这里的行列式的最后一列展开，可知()p x 是个次数小于n 的多项式．从条件知对每个i a ，
()()2121211111
1111
212122
2
2
22
2
2212100
00111011
1
1n i i
i i i i n n n n n n n
n
n
n
n
n
n
n
p a b a a a p a a a a b a a a b a a a b a a a b a a a b a a a b --------==， 必须()i i p a b =，1 i n ≤≤．由拉格朗日插值公式知
()1
n
j i i j i
i j
x a p x b a a =≠-=-∑∏
．
同理可求出由恒等式
所定义的多项式
()()1
n
j i i j i
i j
x a Q x b a a φ=≠-=-∑∏
．
设()()
()()()
()()12n p x q x x a x a x a r x φ=⋅---+，其中()r x 的次数小于
n ．为证
()()
r x Q x =，只需证明1 i n ≤≤时，()()i i r a Q a =即可．事实上，对每个i a ，()()()()()i i i i r a p a b Q a φφ===是易见的，因此结论成立．
例12 设()f y 在[],a b 上连续，在(),a b 内存在2阶导数，证明在a x b <<上有
()()()()
()12
f x f a f b f a x a b a f c x b ---
--''=-，
这里(),c a b ∈．
特别地，存在(),c a b '∈，使
()()()()2
224b a a b f b f f a f c -+⎛⎫
'''-+=
⎪⎝⎭
． 证 在[],a b 上构造函数
()()()
()()
2222
1
1
11
y y f y a a f a F y x x f x b b f b =
， 则()F y 在[],a b 上连续，在(),a b 内存在2阶导数．因()()()0F a F x F b ===，由中值定理存在
12a x x x b <<<<，使()()120F x F x ''==，故再运用一次中值定理，存在()12,c x x ∈，使
()0F c ''=，即
()()()
()()
222
0021
011
f c a a f a F c x x f x b b f b ''''=
=， 展开行列式即得
()()()()
()12
f x f a f b f a x a b a f c x b ---
--''=-．
特别地，取2
a b
x +=
，则有相应的(),c a b '∈，使上式成立，即 ()()()()21222
a b f f a f b f a a b b a a
f c a b b +⎛⎫- ⎪-⎝⎭-
+--'''=+-，
化简即得
()()()()2
224b a a b f b f f a f c -+⎛⎫
'''-+= ⎪
⎝⎭
． 例13 设()f x 在[],a b 内存在1n -阶导数，12n a x x x b =<<
<=．证明存在(),c a b ∈，使
()
()
()()()1
11!n n
i i i j j i
f x f c n x x -=≠=--∑∏．
证 在[],a b 上构造函数
()()()(
)()
212
1
1
111212
2
2
2211111n n n n n
n n
n x x x f x x x x f x F x x x x f x x x x f x ----=， ()F x 在[],a b 内存在1n -阶导数．因()()()120n f x f x f x ==
==，反复利用微分中值定理，
存在(),c a b ∈，使()
()10n F
c -=，即
(
)
()()(
)
()()
()()
12
2
1
1111112212
2
2
2
22
2100001!
1
01
1n n n n n n n n n
n n n
n n f c x x x x f x F c x x x x f x x x x x f x ---------==．
按第一行展开行列式得
()()()()
()()
221111*********
222
2
22111111!
11n n n n n n n n
n
n n
n
n
x x f x x x x x x f x x x x n f c x x f x x x x --------=，
左边按最后一列展开行列式，化简可得
()
()
()()()1
11!n n
i i i j j i
f x f c n x x -=≠=--∑∏． 例14 设()f x 在[],a a nh +内存在n 阶导数，这里0h >．证明存在a c a nh <<+，使
()()()()()()()(
)
()12112n
n n n n f a nh f a n h f a n h f a h f c ⎛⎫⎛⎫
+-+-++--
+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
证 置i x a ih =+，0 i n ≤≤，则012n a x x x x a nh =<<<<=+．于是例14在本质上是
例13的特殊情形．。