等边三角形的判定定理教学设计

《等边三角形的判定定理》教学设计

教学目标

1、在具体情境中经历“探索—发现—猜测—证明”的过程，认识证明的必要性。

2、掌握等边三角形的两个判定定理的证明过程，并能用它们证明有关命题。

3、理解定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。”的证明思路，并能进行简单应用。

4、通过定理的逻辑证明，让学生逐步学会用数学符号语言有条理地表达思维过程，发展学生的推理意识和能力。

教学重点

探索等边三角形的两个判定定理，以及定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。”。

教学难点

证明定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。”时辅助线的作法。

教学过程

1、情境导入

观察与思考；

（1）如图，具备什么条件的三角形是等腰三角形？

（2）如图，具备什么条件的三角形是等边三角形？

（3）

如图，具备什么条件的等腰三角形是等边三角形呢？

2、探索定理

（1）探索判定定理：有三个角相等的三角形是等边三角形

（2）探索判定定理：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形

要分两种情况进行证明。

归纳形成等边三角形的判定定理

（4）探索定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

补充条件

（让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明）

[生]用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．

(1)

D C A

B

(2)

D C

A

B

其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD ≌△ACD ，所以AB=AC ，又因为Rt △ABD 中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． [生]图（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC 是等边三角形．

[师]同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？

[生]在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半． [师]我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？

[生]可以，在图（1）中，我们已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC ．•而∠ADB=90°，即AD ⊥BC ．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=1

2

BC ．所以BD=

1

2

AB ，•即在Rt △ABD 中，∠BAD=30°，它所对的边BD 是斜边AB 的一半． [师生共析]这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起．•下面我们一同来完成这个定理的证明过程．

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么它所对的直角边等于斜边的一半．

已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．

求证：BC=

1

2

AB ． C

A

B

D

C A

分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD ． 证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°． 延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD （如下图） ∵∠ACB=60°， ∴∠ACD=90°． ∵AC=AC ，

∴△ABC ≌△ADC （SAS ）．

∴AB=AD （全等三角形的对应边相等）．

∴△ABD 是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）． ∴BC=

12BD=1

2

AB ． [师]这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角

形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看一个例题． （演示课件）

[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，

立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m ，∠A=30°，立柱BD 、

DE 要多长？

分析：观察图形可以发现在Rt △AED 与Rt △ACB 中，由于∠A=30°，所以DE=12AD ，BC=1

2

AB ，又由D 是AB 的中点，所以DE=

1

4

AB ． 解：因为DE ⊥AC ，BC ⊥AC ，∠A=30°，由定理知

BC=

12AB ，DE=1

2

AD ， 所以BD=1

2×7.4=3.7（m ）．

又AD=1

2AB ，

所以DE=12AD=1

2

×3.7=1.85（m ）．

答：立柱BC 的长是3.7m ，DE 的长是1.85m ．

[师]再看下面的例题．

[例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高． 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高． 求：CD 的长．

分析：观察图形可以发现，在Rt △ADC 中，AC=2a ，

而∠DAC 是△ABC 的一个外角，•则∠DAC=15°×

2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，•可求出CD ．

解：∵∠ABC=∠ACB=15°， ∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°． ∴CD=

1

2

AC=a （在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．

[师]下面我们来做练习． Ⅲ．随堂练习

（一）课本P146练习

Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=2∠A ，∠B 和∠A 各是多少度？边AB 与BC•之间有什

D C A

E B D

C

A