2021新高考数学新课程一轮复习课件：第二章 第3讲 函数的奇偶性与周期性

解析 因为函数 f(x)是奇函数，所以其图象关于原点中心对称，作出其 图象如下，
观察图象可知，不等式 f(x)＜0 的解集为(－2,0)∪(2,5]．
2
PART TWO
经典题型冲关
题型一 函数的奇偶性
角度 1 判断函数的奇偶性 1．(2020·成都市高三阶段考试)已知 y＝f(x)是定义在 R 上的奇函数，则 下列函数中为奇函数的是( ) ①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x. A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 答案 D
2．小题热身 (1)下列函数中为奇函数的是( ) A．y＝x2sinx B．y＝x2cosx C．y＝|ln x| D．y＝2－x
答案 A 解析 A 是奇函数，B 是偶函数，C，D 是非奇非偶函数．
(2)若 f(x)是 R 上周期为 2 的函数，且满足 f(1)＝1，f(2)＝2，则 f(3)－f(4) ＝___－__1___.
(2)f(x)＝(1－x)
1＋x 1－x；
解 (2)由11＋－xx≥0 得－1≤x<1， 所以 f(x)的定义域为[－1,1)， 所以函数 f(x)是非奇非偶函数．
lg 1－x2 (3)f(x)＝|x－2|－2；
解 (3)由1|x－－x22|>≠0，2， 得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．
2．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝ 3－x2＋ x2－3； 解 (1)由3x2－－x32≥ ≥00， ， 得 x2＝3，解得 x＝± 3，即函数 f(x)的定义域为{－ 3， 3}， ∴f(x)＝ 3－x2＋ x2－3＝0. ∴f(－x)＝－f(x)且 f(－x)＝f(x)， ∴函数 f(x)既是奇函数又是偶函数．
关于
□04 原点
对称
么函数 f(x)就叫做奇函数
2．周期性
(1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x
取定义域内的任何值时，都有 □01 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数 y＝f(x)为周
期函数，称 T 为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个
第二章 函数、导数及其应用
第3讲 函数的奇偶性与周期性
[考纲解读] 1.了解函数奇偶性的含义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．(重点) 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期 性．(重点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，函数的奇偶性与周期性是高考的 一个热点．预测 2021 年高考会侧重以下三点：①函数奇偶性的判断及应用； ②函数周期性的判断及应用；③综合利用函数奇偶性、周期性和单调性求参 数的值或解不等式.
(4)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对 称．( √ )
(5)已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数，若在(－∞，0)上是减函数， 则在(0，＋∞)上是增函数．( √ )
(6)若 T 为 y＝f(x)的一个周期，那么 nT(n∈Z)也是函数 f(x)的周期．( × )
解析 因为 f(x)是 R 上周期为 2 的函数， 所以 f(3)＝f(1)＝1，f(4)＝f(2)＝2， 所以 f(3)－f(4)＝1－2＝－1.
(3)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝x2＋1，则 f(－2)＋ f(0)＝__－__5____.
解析 因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 所以 f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0， 所以 f(－2)＋f(0)＝－5.
则 f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当 x>0 时，－x<0，则 f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)； 综上可知，对于定义域内的任意 x， 总有 f(－x)＝－f(x)，∴函数 f(x)为奇函数．
lg 1－x2Baidu Nhomakorabea∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝ －x .
lg [1－－x2] lg 1－x2
又 f(－x)＝
x
＝ x ＝－f(x)，
∴函数 f(x)为奇函数．
(4)f(x)＝x－2＋x2＋x，xx，<x0>，0.
解 (4)显然函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵ 当 x<0 时，－x>0，
(4)偶函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝2 对称，f(3)＝3，则 f(－1)＝ ___3_____.
解析 因为函数 y＝f(x)是偶函数，所以 f(－1)＝f(1)， 因为函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝2 对称， 所以 f(1)＝f(3)＝3. 综上可知，f(－1)＝3.
(5)设奇函数 f(x)的定义域为[－5，5]，若当 x∈[0,5]时，f(x)的图象如图 所示，则不等式 f(x)＜0 的解集为_(_－_2_,_0_)_∪_(_2_,_5_] __．
□02 最小 的正数，那么这个□03 最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期．
1．概念辨析 (1)“a＋b＝0”是“函数 f(x)在区间[a，b](a≠b)上具有奇偶性”的必要 条件．( √ ) (2)若函数 f(x)是奇函数，则必有 f(0)＝0.( × ) (3)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对 称．( √ )
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PART ONE
基础知识过关
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内
偶函数 任意一个 x，都有
□01 f(－x)＝f(x)
关于 ，
对称
那么函数 f(x)就叫做偶函数
□02 y 轴
奇函数
一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内
任意一个 x，都有□03 f(－x)＝－f(x) ，那
解析 因为 y＝f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，由 f(| －x|)＝f(|x|)，知①是偶函数；由 f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，知②是奇函数； 由 y＝f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 y＝x 是定义在 R 上的奇函数，奇×奇 ＝偶，知③是偶函数；由 f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，知④是奇函数．