对称密码学及其应用-05第七章 序列密码的设计与分析
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《对称密码学及其应用》
线性反馈移位寄存器
显然，一个n阶线性反馈移位寄存器序列 a0,a1, a2,…,an,… 满足递推关系式 an+t=c1 an+t -1 + c2 an+t -2 + … + cn at，t≥0。 其中c1, c2,..., cn称为反馈系数，也叫抽头系数。
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26
《对称密码学及其应用》
m序列是伪随机序列的证明
由于寄存器中不会出现全0状态，所以不会出 现0的n游程，但必有一个1的n游程，而且1的游 不会更大，因为若出现1的n+1游程，就必然有两 个相邻的全1状态，但这是不可能的。这就证明了 1的n游程必然出现在如下的串中：
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19
《对称密码学及其应用》
线性反馈移位寄存器
在线性反馈移位寄存器中总是假定 c1,c2,…,cn中至少有一个不为0，否则 f(a1,a2,…,an)≡0，这样的话，在n个脉冲 后状态必然是00…0，且这个状态必将一 直持续下去。 一般对于n级线性反馈移位寄存器，总是 假定cn=1。
m序列密码的破译 序列的线性复杂度 B-M算法
非线性反馈移位寄存器的序列密码
非线性反馈移位寄存器序列 利用进位寄存器反馈的移位寄存器 非线性前馈序列
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2
《对称密码学及其应用》
本章目标
了解序列随机性的基本概念 重点：Golomb随机性公设 了解线性反馈移位寄存器的基本概念 m序列的基本概念及其随机性的讨论 LFSR的软件实现 m序列密码的破译 非线性反馈移位寄存器的序列密码
13
《对称密码学及其应用》
2. 线性移位寄存器的结构与设计
移位寄存器与移位寄存器序列 n阶反馈移位寄存器 m序列及其随机性 LFSR的软件实现
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14
《对称密码学及其应用》
2.1 移位寄存器与移位寄存器序列
一个8位移位寄存器
移入一个0以后的寄存器内容
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21
《对称密码学及其应用》
[例4]
设n=4，s0=（1,0,1,1），f（x1,x2,x3,x4）= x1 + x2，计算输出序列。 解：输出序列为101111000100110 1011110001 00110…。
可见该序列具有周期15， 是否序列都是周期的呢？
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1 + 1 + ∑ 2n −i −1 = 2n −1
i =1 n−2
0
1 1L 1 { ， 1 1 L 1 0 这两个状态只 { n −1个 1 n −1个 1
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《对称密码学及其应用》
m序列是伪随机序列的证明 ③ Golomb第三公设：{ai}是周期为2n-1的m序 列，对于任一正整数τ(0<τ<2n-1)， {ai}+{ai+τ}在一个周期内为0的位的数目正好 是序列{ai}和{ai+τ}对应位相同的位的数目。 设序列{ai}满足递推关系： ah+n=c1ah+n-1 c2ah+n-2 … cnah ⊕ ⊕ ⊕ 故ah+n+τ=c1ah+n+τ-1 c2ah+n+τ-2 … cnah+τ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ah+n ah+n+τ=c1(ah+n-1 ah+n+τ-1) c2(ah+n-2 ⊕ ⊕ ⊕ ah+n+τ-2) … cn(ah ah+τ) ⊕ ⊕ ⊕
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《对称密码学及其应用》
[例1]
讨论序列：
1010 1110 1100 0111 1100 1101 0010 000 1010 1110 1100 0111 1100 1101 0010 000…
的随机性。
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《对称密码学及其应用》
5
《对称密码学及其应用》
密码学意义上安全的伪随机序列
看起来是随机的 不可预测性
即使给出产生序列的算法或硬件和所有 以前产生的位序列的全部知识，也不可 能通过计算来预测下一个随机位是什么
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6
《对称密码学及其应用》
伪随机序列
看起来是随机的
满足伪随机序列的Golomb三条公设
显然，R(np)= 1，（ n = 0，1，2，…，）这称为同相自相关 函数 ；当τ≠np时，称R(τ)为异相自相关函数。nτ就是延 迟时间τ后的序列与原序列在一个周期内相同比特的个数， 反映了序列比特的均匀分布特性。如果nτ是一个常数，则说 明分布完全均匀，也就是说，通过这种平移比较得不到任何 其它信息。
15
《对称密码学及其应用》
2.1 移位寄存器与移位寄存器序列
[例2]
移入 0 0 1 0 1 0 0 0 单元1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 单元2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 单元3 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 单元4 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 输出 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0
长周期 m序列是伪随机序列 结论 [定理]
如何生成？
m序列是我们要寻找的序列。
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《对称密码学及其应用》
m序列的特性
[定理] GF(2)上的n长m序列{ai}具有如下性质： ① 0,1平衡性：在一个周期内，0、1出现的次数 分别为2n-1-1和2n-1。 ②游程特性：在一个周期内，总游程数为2n-1； 对1≤i≤n-2，长为i的游程有2n-i-1个，且0、1游 程各半；长为n-1的0游程一个，长为n的1游程 一个。 ③ {ai}的自相关函数为
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带反馈的移位寄存器
1 0 1 0
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《对称密码学及其应用》
2.2 n阶反馈移位寄存器
几个术语 反馈移位寄存器的状态 初始状态 反馈移位寄存器序列 状态序列
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《对称密码学及其应用》
线性反馈移位寄存器的定义
如果一个GF(q)上的n阶反馈移位寄存器的反馈 函数形如： f（x1,x2,…,xn-1,xn）= cn x1 + cn-1 x2 + … + c1 xn， 其中ci∈GF(q)，1≤i≤n，则称其为线性反 馈移位寄存器，用LFSR（Linear Feedback Shift Register）表示；否则，称其为非线性反馈 移位寄存器，用NLFSR（Nonlinear Feedback Shift Register）表示。
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《对称密码学及其应用》
[定理1 ]
n级线性反馈移位寄存器的输出序列是周 期的，周期最大为2n-1。 证明
密码设计者感兴趣序列 是什么？
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23
《对称密码学及其应用》
2.3 m序列及其随机性
定义：周期为2n-1的LFSR序列称为m序 列。 随机性如何？ m序列的特点：
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8
《对称密码学及其应用》
两个基本概念
[定义] 设序列{ki | i=1，2，…}的周期为p，令nτ= #{i | 1≤i≤p，ki = ki +τ}， dτ= #{i | 1≤i≤p，ki ≠ ki +τ}，则R(τ) = 序列{ki | i=1，2，…}的自相关函数。
0 11L1 0 {
n个1
当这n+2位通过移位寄存器时，便依次产生 以下状态：
0 11L1 11L1 { {
n−1个1
n个1
11L1 0 {
n−1个1
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《对称密码学及其应用》
m序列是伪随机序列的证明 由于 能各出现一次，所以不会有1的n-1游程。 于是在一个周期内，总游程数为
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《对称密码学及其应用》
[例3]
写出例2的反馈函数，当初始状态为1010 时，求输出序列的周期？
解：由图 可知反馈移位寄存器的阶数是4， 其反馈函数是：f（x1,x2,x3,x4）= x1 + x3 从表 7.2.1可知其输出序列为101000 101000…，周期为6。
⎧1, τ = 0 ⎪ R (τ ) = ⎨ 1 , 0 < τ ≤ 2n − 2 − n ⎪ 2 −1 ⎩
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《对称密码学及其应用》
m序列是伪随机序列的证明
证明： ① Golomb第一公设：在n长m序列的一个周期内， 除了全0状态外，每个n长状态（共有2n-1个）都恰 好出现一次，这些状态中有2n-1个在a1位是1，其余 2n-1-2n-1=2n-1-1个状态在a1位是0。 ②Golomb第二公设：对n=1,2，易证结论成立。 对n>2，当1≤i≤n-2时，n长m序列的一个周期 内，长为i的0游程数目等于序列中如下形式的状态数 目： 100…01*…*，其中n-i-2个*可任取0或1。 这种状态共有2n-i-2个。同理可得长为i的1游程数目 也等于 2n-i-2，所以长为i的游程总数为2n-i-1。
①说明{ai}中0与1出现的概率基本上相同; ②说明0与1在序列中每一位置上出现的概率相同; ③意味着通过对序列与其平移后的序列做比较，不能 给出其他任何信息。
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10
《对称密码学及其应用》
伪随机序列应满足的条件
从密码系统的角度看，一个伪随机序列 还应满足下面的条件： ① {ai}的周期相当大。 ② {ai}的确定在计算上是容易的。 ③ 由密文及相应的明文的部分信息，不能确 定整个{ai}。
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《对称密码学及其应用》
m序列是伪随机序列的证明
⊕ 令bj=aj aj+τ，由递推序列{ai}可推得 递推序列{bi}，{bi}满足 bh+n=c1bh+n-1 c2bh+n-2 … cnbh ⊕ ⊕ ⊕ {bi}也是m序列。为了计算R(τ)，只要 用{bi}在一个周期中0的个数减去1的个数， 再除以2n-1，即
小结
寻找生成一个具有良好随机特性密码序 列的方法：
线性移位寄存器LFSR、 非线性移位寄存器NLFSR、 有限自动机、 线性同余等方法 混沌密码序列技术。
这些方法都是通过一个种子（有限长）产生具有足够长 期的、良好随机性的序列，在传递、存储序列时，只需 递、存储生成器的方法和种子。
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0和1的个数相等 r游程基本上占游程总数的1/2r 异相自相关函数是一个常数
能通过我们所能找到的所有随机性统计检验
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7
《对称密码学及其应用》
两个基本概念
[定义] 在序列{ki | i=1，2，…}的周期为p，在它 的一个周期kl+1，kl+2，…，kl+p中，如果： km≠km+1= km+2=…= km+r≠km+r +1， l+1≤m+1<m+r≤l+p，则（km+1， km+2，…， km+r） 称为序列的一个r-游程（run）。 例： 设{ai}=(a1a2a3…)为0、1序列，例如 00110111，其前两个数字是00，称为0的2游程；接 着是11，是1的2游程；再下来是0的1游程和1的3游 程。
数学描述：
随机变量序列ξ1ξ2…ξi…，其中ξi（i = 1，2，…） 是相互独立的、等概率取值0，1的随机变量。
看起来是随机的 不可预测性 不能重复产生
如果采用完全相同的输入对序列发生器操作两 次，将得到两个不相关的随机序列 目的： 产生具有随机数统计特性，并且不可再现的数。
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《对称密码学及其应用》
北京邮电大学
《对称密码学及其应用》
第七章 序列Baidu Nhomakorabea码的设计与分析
计算机学院 李晖
lihuill@bupt.edu.cn
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1
《对称密码学及其应用》
主要内容
序列的随机性 线性反馈移位寄存器
线性移位寄存器的一元多项式表示 m序列的伪随机性
线性反馈移位寄存器的分析方法
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9
n τ − dτ p
，τ = 0，1，2，…称为
《对称密码学及其应用》
随机序列的特性
Golomb随机性公设： ① 在序列的一个周期内，0与1的个数相差至多为1。 ② 在序列的一个周期内，长为i的游程占游程总数的 1/2i (i=1,2,…)，且在等长的游程中0的游程个数和1的 游程个数相等。 ③ 异相自相关函数是一个常数。
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3
《对称密码学及其应用》
1. 序列的随机性
序列密码中必须解决的问题是： 密钥流的质量（随机性）如何刻画？ 如何保证？ 无限长密钥流如何产生？ 合法用户如何很容易地获得或再生该 密钥流？加密、解密如何同步？
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《对称密码学及其应用》
真正的随机序列
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《对称密码学及其应用》
线性反馈移位寄存器
显然，一个n阶线性反馈移位寄存器序列 a0,a1, a2,…,an,… 满足递推关系式 an+t=c1 an+t -1 + c2 an+t -2 + … + cn at，t≥0。 其中c1, c2,..., cn称为反馈系数，也叫抽头系数。
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《对称密码学及其应用》
m序列是伪随机序列的证明
由于寄存器中不会出现全0状态，所以不会出 现0的n游程，但必有一个1的n游程，而且1的游 不会更大，因为若出现1的n+1游程，就必然有两 个相邻的全1状态，但这是不可能的。这就证明了 1的n游程必然出现在如下的串中：
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《对称密码学及其应用》
线性反馈移位寄存器
在线性反馈移位寄存器中总是假定 c1,c2,…,cn中至少有一个不为0，否则 f(a1,a2,…,an)≡0，这样的话，在n个脉冲 后状态必然是00…0，且这个状态必将一 直持续下去。 一般对于n级线性反馈移位寄存器，总是 假定cn=1。
m序列密码的破译 序列的线性复杂度 B-M算法
非线性反馈移位寄存器的序列密码
非线性反馈移位寄存器序列 利用进位寄存器反馈的移位寄存器 非线性前馈序列
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《对称密码学及其应用》
本章目标
了解序列随机性的基本概念 重点：Golomb随机性公设 了解线性反馈移位寄存器的基本概念 m序列的基本概念及其随机性的讨论 LFSR的软件实现 m序列密码的破译 非线性反馈移位寄存器的序列密码
13
《对称密码学及其应用》
2. 线性移位寄存器的结构与设计
移位寄存器与移位寄存器序列 n阶反馈移位寄存器 m序列及其随机性 LFSR的软件实现
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《对称密码学及其应用》
2.1 移位寄存器与移位寄存器序列
一个8位移位寄存器
移入一个0以后的寄存器内容
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《对称密码学及其应用》
[例4]
设n=4，s0=（1,0,1,1），f（x1,x2,x3,x4）= x1 + x2，计算输出序列。 解：输出序列为101111000100110 1011110001 00110…。
可见该序列具有周期15， 是否序列都是周期的呢？
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1 + 1 + ∑ 2n −i −1 = 2n −1
i =1 n−2
0
1 1L 1 { ， 1 1 L 1 0 这两个状态只 { n −1个 1 n −1个 1
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《对称密码学及其应用》
m序列是伪随机序列的证明 ③ Golomb第三公设：{ai}是周期为2n-1的m序 列，对于任一正整数τ(0<τ<2n-1)， {ai}+{ai+τ}在一个周期内为0的位的数目正好 是序列{ai}和{ai+τ}对应位相同的位的数目。 设序列{ai}满足递推关系： ah+n=c1ah+n-1 c2ah+n-2 … cnah ⊕ ⊕ ⊕ 故ah+n+τ=c1ah+n+τ-1 c2ah+n+τ-2 … cnah+τ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ah+n ah+n+τ=c1(ah+n-1 ah+n+τ-1) c2(ah+n-2 ⊕ ⊕ ⊕ ah+n+τ-2) … cn(ah ah+τ) ⊕ ⊕ ⊕
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《对称密码学及其应用》
[例1]
讨论序列：
1010 1110 1100 0111 1100 1101 0010 000 1010 1110 1100 0111 1100 1101 0010 000…
的随机性。
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《对称密码学及其应用》
密码学意义上安全的伪随机序列
看起来是随机的 不可预测性
即使给出产生序列的算法或硬件和所有 以前产生的位序列的全部知识，也不可 能通过计算来预测下一个随机位是什么
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《对称密码学及其应用》
伪随机序列
看起来是随机的
满足伪随机序列的Golomb三条公设
显然，R(np)= 1，（ n = 0，1，2，…，）这称为同相自相关 函数 ；当τ≠np时，称R(τ)为异相自相关函数。nτ就是延 迟时间τ后的序列与原序列在一个周期内相同比特的个数， 反映了序列比特的均匀分布特性。如果nτ是一个常数，则说 明分布完全均匀，也就是说，通过这种平移比较得不到任何 其它信息。
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《对称密码学及其应用》
2.1 移位寄存器与移位寄存器序列
[例2]
移入 0 0 1 0 1 0 0 0 单元1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 单元2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 单元3 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 单元4 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 输出 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0
长周期 m序列是伪随机序列 结论 [定理]
如何生成？
m序列是我们要寻找的序列。
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m序列的特性
[定理] GF(2)上的n长m序列{ai}具有如下性质： ① 0,1平衡性：在一个周期内，0、1出现的次数 分别为2n-1-1和2n-1。 ②游程特性：在一个周期内，总游程数为2n-1； 对1≤i≤n-2，长为i的游程有2n-i-1个，且0、1游 程各半；长为n-1的0游程一个，长为n的1游程 一个。 ③ {ai}的自相关函数为
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带反馈的移位寄存器
1 0 1 0
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2.2 n阶反馈移位寄存器
几个术语 反馈移位寄存器的状态 初始状态 反馈移位寄存器序列 状态序列
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《对称密码学及其应用》
线性反馈移位寄存器的定义
如果一个GF(q)上的n阶反馈移位寄存器的反馈 函数形如： f（x1,x2,…,xn-1,xn）= cn x1 + cn-1 x2 + … + c1 xn， 其中ci∈GF(q)，1≤i≤n，则称其为线性反 馈移位寄存器，用LFSR（Linear Feedback Shift Register）表示；否则，称其为非线性反馈 移位寄存器，用NLFSR（Nonlinear Feedback Shift Register）表示。
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[定理1 ]
n级线性反馈移位寄存器的输出序列是周 期的，周期最大为2n-1。 证明
密码设计者感兴趣序列 是什么？
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《对称密码学及其应用》
2.3 m序列及其随机性
定义：周期为2n-1的LFSR序列称为m序 列。 随机性如何？ m序列的特点：
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《对称密码学及其应用》
两个基本概念
[定义] 设序列{ki | i=1，2，…}的周期为p，令nτ= #{i | 1≤i≤p，ki = ki +τ}， dτ= #{i | 1≤i≤p，ki ≠ ki +τ}，则R(τ) = 序列{ki | i=1，2，…}的自相关函数。
0 11L1 0 {
n个1
当这n+2位通过移位寄存器时，便依次产生 以下状态：
0 11L1 11L1 { {
n−1个1
n个1
11L1 0 {
n−1个1
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m序列是伪随机序列的证明 由于 能各出现一次，所以不会有1的n-1游程。 于是在一个周期内，总游程数为
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[例3]
写出例2的反馈函数，当初始状态为1010 时，求输出序列的周期？
解：由图 可知反馈移位寄存器的阶数是4， 其反馈函数是：f（x1,x2,x3,x4）= x1 + x3 从表 7.2.1可知其输出序列为101000 101000…，周期为6。
⎧1, τ = 0 ⎪ R (τ ) = ⎨ 1 , 0 < τ ≤ 2n − 2 − n ⎪ 2 −1 ⎩
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m序列是伪随机序列的证明
证明： ① Golomb第一公设：在n长m序列的一个周期内， 除了全0状态外，每个n长状态（共有2n-1个）都恰 好出现一次，这些状态中有2n-1个在a1位是1，其余 2n-1-2n-1=2n-1-1个状态在a1位是0。 ②Golomb第二公设：对n=1,2，易证结论成立。 对n>2，当1≤i≤n-2时，n长m序列的一个周期 内，长为i的0游程数目等于序列中如下形式的状态数 目： 100…01*…*，其中n-i-2个*可任取0或1。 这种状态共有2n-i-2个。同理可得长为i的1游程数目 也等于 2n-i-2，所以长为i的游程总数为2n-i-1。
①说明{ai}中0与1出现的概率基本上相同; ②说明0与1在序列中每一位置上出现的概率相同; ③意味着通过对序列与其平移后的序列做比较，不能 给出其他任何信息。
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《对称密码学及其应用》
伪随机序列应满足的条件
从密码系统的角度看，一个伪随机序列 还应满足下面的条件： ① {ai}的周期相当大。 ② {ai}的确定在计算上是容易的。 ③ 由密文及相应的明文的部分信息，不能确 定整个{ai}。
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《对称密码学及其应用》
m序列是伪随机序列的证明
⊕ 令bj=aj aj+τ，由递推序列{ai}可推得 递推序列{bi}，{bi}满足 bh+n=c1bh+n-1 c2bh+n-2 … cnbh ⊕ ⊕ ⊕ {bi}也是m序列。为了计算R(τ)，只要 用{bi}在一个周期中0的个数减去1的个数， 再除以2n-1，即
小结
寻找生成一个具有良好随机特性密码序 列的方法：
线性移位寄存器LFSR、 非线性移位寄存器NLFSR、 有限自动机、 线性同余等方法 混沌密码序列技术。
这些方法都是通过一个种子（有限长）产生具有足够长 期的、良好随机性的序列，在传递、存储序列时，只需 递、存储生成器的方法和种子。
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0和1的个数相等 r游程基本上占游程总数的1/2r 异相自相关函数是一个常数
能通过我们所能找到的所有随机性统计检验
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《对称密码学及其应用》
两个基本概念
[定义] 在序列{ki | i=1，2，…}的周期为p，在它 的一个周期kl+1，kl+2，…，kl+p中，如果： km≠km+1= km+2=…= km+r≠km+r +1， l+1≤m+1<m+r≤l+p，则（km+1， km+2，…， km+r） 称为序列的一个r-游程（run）。 例： 设{ai}=(a1a2a3…)为0、1序列，例如 00110111，其前两个数字是00，称为0的2游程；接 着是11，是1的2游程；再下来是0的1游程和1的3游 程。
数学描述：
随机变量序列ξ1ξ2…ξi…，其中ξi（i = 1，2，…） 是相互独立的、等概率取值0，1的随机变量。
看起来是随机的 不可预测性 不能重复产生
如果采用完全相同的输入对序列发生器操作两 次，将得到两个不相关的随机序列 目的： 产生具有随机数统计特性，并且不可再现的数。
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第七章 序列Baidu Nhomakorabea码的设计与分析
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《对称密码学及其应用》
主要内容
序列的随机性 线性反馈移位寄存器
线性移位寄存器的一元多项式表示 m序列的伪随机性
线性反馈移位寄存器的分析方法
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9
n τ − dτ p
，τ = 0，1，2，…称为
《对称密码学及其应用》
随机序列的特性
Golomb随机性公设： ① 在序列的一个周期内，0与1的个数相差至多为1。 ② 在序列的一个周期内，长为i的游程占游程总数的 1/2i (i=1,2,…)，且在等长的游程中0的游程个数和1的 游程个数相等。 ③ 异相自相关函数是一个常数。
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《对称密码学及其应用》
1. 序列的随机性
序列密码中必须解决的问题是： 密钥流的质量（随机性）如何刻画？ 如何保证？ 无限长密钥流如何产生？ 合法用户如何很容易地获得或再生该 密钥流？加密、解密如何同步？
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《对称密码学及其应用》
真正的随机序列